Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг
.pdfВведем обозначение |
|
|
|
(^уот)а |
, (dynep)f |
(90) |
|
‘‘кор ■ |
At |
||
|
Величина аыпр, характеризующая изменение относительной ско рости точки при переносном движении и переносной скорости точки при ее относительном движении, называется поворотным, или кориолисовым, ускорением точки. В результате равенство (89) примет вид
&г6 = ®от “Ь ^пер “Ь ^кор • |
(® 0 |
|
|
||||||
Формула (91) выражает |
следу |
|
|
||||||
ющую т е о р е м у |
К о р и о л и- |
|
|
||||||
с а о с л о ж е н и и у с к о р е - |
|
|
|||||||
н и й*: |
при |
сложном |
движении |
|
|
||||
ускорение точки равно |
геометри |
|
|
||||||
ческой сумме трех ускорений: от |
|
|
|||||||
носительного, |
переносного и |
пово |
|
|
|||||
ротного, |
или |
кориолисова. |
|
|
|
||||
Найдем для |
вычисления акор |
|
-т я у, |
||||||
формулу, вытекающую из равенства |
|
|
|||||||
(90). При этом, рассматривая общий |
|
|
|||||||
случай, |
будем считать переносное |
Рис. |
188 |
||||||
движение, т. е. движение подвиж |
|||||||||
|
|
||||||||
ных осей Охуг, |
а |
с ними |
и кри |
|
|
вой АВ (см. рис. 182), слагающимся из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращения вокруг этого полюса с
угловой скоростью о, называемой переносной угловой скоросглью.
Величина со, как показано в § 63, от выбора полюса не зависит и на изображенных рис. 188, где полюс точка т, и рис. 189, где полюс О, имеет одно и то же значение.
Начнем с определения (duOT),/d/. При рассматриваемом перенос
ном движении вектор vox, направленный по касательной к кривой АВ, переместится вместе с этой кривой поступательно (придет- в
положение тхЬ, рис. 188) и одновременно повернется вокруг точки
от, до положения mtbi. В результате вектор v0T получит в перенос ном движении приращение (dv0T)t= b b 1= v b’dt, гдеу ь — скорость, с которой перемещается точка Ь при повороте вектора mlb = v oc вокруг то^ки mt. Так как этот поворот происходит с угловой ско
ростью о, |
то по формуле (76) vb=<oXmlb = a X v CT. В |
результате |
|
получаем |
(dyot)a= =vb'dt=(i)Xv0Tdt” |
и |
|
|
(<ь°т)* - й х и „ |
(92) |
|
|
сМ |
|
|
* Гюстав Кориолис (1792—1843) — французский ученый, известный своими трудами по теоретической и прикладной механике. Корйолнсово ускорение называют еще поворотным, так как оно появляется при наличии у подвижных осей вращения (поворота). '
1 1-1870 |
161 |
Теперь определим (dunep)f/d/. Скорость i/nep равна скорости той неизменно связанной с подвижными осями точки т кривой АВ, с которой в данный момент времени совпадает точкаJA (рис. 189).
Если точку О принять за полюс и обозначить через г вектор 0т=*
|
=ОМ то |
по формуле |
(81) |
||
|
|
Й„ер = й+<ОХЛ |
|
||
|
|
Совершив за промежуток вре |
|||
|
мени d / относительное перемеще |
||||
|
ние M M ' = v 0T-dt, |
точка |
придет |
||
|
в положение ЛГ, |
для которого |
|||
|
? = г + 7 Ш ' |
и |
|
|
|
|
|
уперSS V, + СОX г ’ =» |
|
||
|
|
«=», + |
(о х (г + М М ’). |
||
____ |
го, |
Следовательно, вследствие то- |
|||
что точка совершает относи |
|||||
тельное перемещение ММ*= v 0Tdt, |
вектор ипер получает |
прира |
|||
щение |
|
|
|
|
|
(dtfnep)* — у«р—упер= (Ох М М ’ = (Ох иот d/, |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
(<^nep)f |
— |
— |
|
|
(93) |
- di ■= |
Ш X Рот. |
|
|
||
Подставляя величины (92) и (93) в равенство (90), получим |
|||||
ал0р= 2 (й х 0 01). |
|
|
(94) |
Таким образом, кориолисовб ускорение равно удвоенномувектор ному произведению переносной угловой скорости (угловой скорости подвижной системы отсчета) на относительную скорость
точки.
С л у ч а й п о с т у п а т е л ь н о г о п е р е н о с н о г о д ви
ж е н и я . В этом случае со=0 и, следовательно, ак0, = 0. В резуль тате равенство (91) дает*
0 * 6 — O Q т “1" ^ n e p « |
( 9 5 ) |
* Этот результат виден и из рис. 188, 189. Когда кривая АВ перемещаетс поступательно, то вектор t»0T придетji положение mjft, показанное на рис. 188 пунк тиром, т. е. не изменится, и будет (duOT),= 0 . Одновременно при этом все точки кри вой АВ имеют одинаковые скорости и в точке М' (рис. 189) и„ер будет таким же, как в точке М, т. е. показанным пунктиром, вследствие чего (doBep)i=®.
163
т. е. при поступательном переносном движении абсолютное уско
рение точки равно геометрической сумме относительного и перенос
ного ускорений. |
Результат |
здесь аналогичен тому, который дает |
||||||
теорема |
о |
сложении |
скоростей. |
го, п е р е н о с н о |
||||
г о |
В ы ч и с л е н и е |
о т н о с и т е л ь н о |
||||||
и |
|
к о р и о л и с о в а |
у с к о р е н и й . |
Относительное уско |
||||
рение, |
поскольку при |
|
|
|||||
его |
нахождении |
движе |
|
|
||||
ние подвижных |
осей во |
|
|
|||||
внимание |
не принима |
|
|
|||||
ется, |
вычисляется обыч |
|
|
|||||
ными |
методами кинема |
|
|
|||||
тики точки (§ 40,43). Пе |
|
|
||||||
реносное ускорение |
вы- |
|
|
|||||
числяется.как ускорение |
|
|
||||||
точки, неизменносвязан |
|
|
ной с подвижными осями, т. е. как ускорение точки некоторого твердого тела, по формулам,
полученным для ускорений точек твердого тела в § 51, 58, 62, 63. Кориолисово ускорение вычисляется по формуле (94). _Модуль
кориолисова ускорения, если угол между векторами to и ^ |
обоз |
начить через а, будет равен |
|
Скор= 2|о)|. |y0T|sina. |
(96) |
Направлен вектор акор так же, как и вектор coXt»oT, т^е. пер пендикулярно плоскости, проходящей через векторы ш и аот, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение и с vor видно происходя щим против хода часовой стрелки (рис. 190, а).
Из рис. 190, а видно также, что_направление вектора акор можно определить, спроектировав вектор u0I_ на плоскость П, перпендику
лярную о , и повернув эту проекцию |
на 90° в сторону переносного |
вращения. |
|
Если относительная траектория — плоская кривая и перемеща
ется все время в своей плоскости, то угол а=90° |
(рис. 190, б) и в |
|||
этом случае |
по |
модулю |
|
|
|
|
«кор = 2 1со I. I |
I. |
(96') |
Кроме того, |
как |
видно из рис. 190, б, |
направление акор можно^в |
этом случае найти, повернув вектор относительной скорости v0T на 90° в сторону переносного вращения (т. е. по ходу или против часовой стрелки, в зависимости от направления вращения).
На рис. 191 для иллюстрации приведенных правил показано направление кориолисова ускорения шарика М, движущегося вдоль трубки АВ в случаях, когда трубка вращается в плоскости чертежа (ррс. 191, а) и когда она при вращении описывает конус (рис. 191, б\.
. Из формулы (96) видно, что кориолисово ускорение может обра щаться в нуль в следующих случаях]
11* 163
1)когда о)=0, т. е. когда переносное движение является посту
пательным [формула (95)] |
или если переносная угловая скорость |
в данный момент времени |
обращается в нуль; |
2) когда роти= 0, т. е. когда относительная скорость в данный момент времени обращается в нуль;
3) когда а = 0 , или а=180°, т. е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного
вращения, или если в данный момент времени вектор v0T паралле лен этой оси.
§ 67. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
А. П е р е н о с н о е д в и ж е н и е п о с т у п а т е л ь н о е . В случае, когда переносное движение является поступательным, характер задач и методы их решения аналогичны задачам на сложение скоростей (см. § 65).
Задач» 77^ Клин, движущийся прямолинейно по горизонтальной плоскости
с ускорением в}, перемещает вдоль вертикальных направляющих стержень DE (рис. 192). Определить ускорение стержня, если угол клина равен а.
Р е ш е н и е . Абсолютное ускорение ад точки D стержня направлено по вер тикали вверх. Его можно рассматривать как слагающееся из относительного ус
корения аот, направленного вдоль щеки клина, и переносного ускорения апер|
равного ускорению клина at (так как переносное движение, т. е. движение клина, является поступательным). Строя на основании равенства (95) соответствующий
параллелограмм и учитывая, что aj,ep==^i> найдем
в д = в 1 tg a .
Величина вд и определяет ускорение стержня.
Б. П е р е н о с н о е д в и ж е н и е в р а щ а т е л ь н о е . Покажем, как
вычисляется aag, когда переносное движение является вращением вокруг непод вижной оси.
Рассмотрим точку М, движущуюся по поверхности некоторого тела (напри
мер, шара) вдоль заданной кривой АМ В позакону s=7i(<). где*=ЛА! (рис. 193). При этом само тело вращается вокруг оси ВА по закону <р= / 2(0, где <р — угол по ворота тела. Первое из названных движений считаем относительным, а второе — переносным для точки М. Пусть требуется найти значение аав в некоторый мо мент времени t= tx. Расчет сводится к следующему.
164
1. Определение положения точки. Полагая в уравнении s= /, (f) время t= tlf
определяем положение точки М на кривой АВ при и изображаем точку на чертеже в этом положении.
2. Определение v0T и а0Т. По формулам кинематики точки (см. § 42, 43) нахо
дим:
: — S, Аот — ^от» а от — уот/ро
где рот — радиус кривизны кривой АВ в точке М. Определяем числовые значения
этих величин при t= t1и изображаем затем векторы и0-г,~аоти |
на чертеже (с уче |
том знаков иот и а5т; на рис. 193 векторы иот и ^ т показаны для случая, когда
»от> 0 и а5г> 0). _
3. Определение antf. Сначала находим ш—ф и е=ш и вычисляем их значения a>j и et при t = tv Затем определяем h — расстояние точки М от оси ВА в момент
времени fj. После этого находим a„eр и айер как ускорения той точки тела, с ко торой в данный момент времени совпадает точка Af, т. е. по формулам (см. § 51)
впер^Л*!, Дпер = htiii*
Изображаем векторы Д тР и"вЙер на чертеже (с учетом знака ajep; на рис. 193 вектор Ожр показан_для случая, когда et < 0 и, следовательно, а » р< 0).
4. Определение aKOp. Модуль и направление акор определяются так, как это
показано в конце § 66. Вектор акор также изображаем на чертеже. 5. Определение а,*- По теореме Кориолиса находим
в«б = в о т + во т + а пер + вп ер + в“кор-
Если сумму стоящих справа векторов трудно найти геометрически, то, проводя какие-нибудь координатные оси Мхуг (рис. 193), вычисляем проекции всех слагае мых векторов на эти оси. Тогда по тео реме о проекции суммы векторов на ось
в*б * = |
а шб]/ — ^ а1у> в » в * = 2 в ;* * |
После этого находим |
|
в » в = |
V в*в * 4 " в«в у “Н в*б *• |
Конкретный пример такого расчета см. в задаче 81.
Задача 78. Кулиса ОА вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг оси О (рис. 194). По прорези кулисы скользит ползун В с постоянной относитель ной скоростью и. Определить абсолютное ускорение ползуна в зависимости от его расстояния х до оси О.
Р е ш е н и е . По условиям задачи относительное движение ползуна по про рези кулисы является равномерным и прямолинейным; следовательно, вох= 0 .
Движение кулисы ОА будет для ползуна В переносным. Следовательно, пере
носное ускорение амр ползуна равно ускорению той точки кулисы, с которой в данный момент времени совпадает ползун. Так как эта точка кулисы движется
165
по окружности радиуса ОВ—х и <о=const, то вектор а Пер= а пер и направлен вдоль
ВО, а по модулю a„ep=al}ep=<iftc.
Кориолисово ускорение акор—2а>и, так как движение плоское. Повернув
вектор относительной скорости и вокруг точки В на 90° в сторону переносного вра
щения (т. е, -по ходу часовой стрелки), находим направление акор. По теореме Кориолиса
ваб = а от "Ь °п ер Ч" акор'
Вданном случае вох= 0, а акор.перпендикулярно апер. Следовательно,
0*6= ^ Опер + Окор = ШУ to*.**-f- 4и*.
Задача 79. Эксцентрик, представляющий собой круглый диск радиуса R , вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси О, проходящей через край диска (рис. 195). По ободу диска с постоянной относительной скоростью и
скользит штифт М , начиная свое движение из точки А. Определить абсолютное ускорение штифта в произвольный момент времени t. Направления движений по казаны нгг чертеже.
Р е ш е н и е . В момент времени t штифт находится от точки А на расстоянии
s= A M = ut. Следовательно, в этот момент времени Z A 0 M = a , где |
|
a=s!(2R) = (u/2R)t, |
(а) |
так как угол о равен половине центрального угла ACM. |
движением. |
Считаем движение штифта М по ободу диска относительным |
|
Оно происходит по окружности радиуса R. Так как w0T=u=const, то |
|
а1т= й—0, <& = «*/#• |
(б) |
Направлен вектор ~а„т=аЗг по радиусу МС.
Движение диска будет для штифта М переносным движением. Следовательно,
переносное ускорение впер штифта равно ускорению той точки диска, с которой в данный момент совпадает штифт. Эта точка диска движется по окружности ра диуса 0M = 2R cos а. Так как для диска ш= const, то е= 0 и
|
Опер = ОМ •е = 0, аЦер = ОМ • со* г=2R<o* cos а. |
(в) |
|||
Направлен |
вектор апер= а2т вдоль линии МО. |
|
|
||
Поскольку движение происходит в одной плоскости, и в данном случае |
|||||
|
_ |
якор = 2ши. |
|
(г) |
|
Направление акор получаем, повернув вектор uOT= i7 вокруг точки М на 90а |
|||||
в сторону |
переносного движения (т. е. против хода |
часовой |
стрелки). |
||
Абсолютное ускорение |
штифта |
М определяется |
равенством |
||
|
|
ал6 = ап |
+ а пер + а к»р* |
|
(Д) |
tee
Для определения модуля’а.в проведем оси М ху (см. рис. 195) и спроектируем обе части равенства (д) на эти оси. Получим:
ваб * = = Я<>тЧ- а пер |
^ О К О р* Я*б у= 0 n e p Sln GC. |
|
Тогда |
|
|
|
Ot(,= V (аот+ OneР cos а — акop)1+ а£ер sin* а , |
|
где значения а, |
аот, апер, акор определены равенствами (а), (б)* (в), (г). |
|
Задача 80. |
Тело движется в северном полушарии вдоль меридиана с севера |
на юг поступательно (рис. 196) со скоростью иот= ц . Найти модуль и направление корнолисова ускорения тела, когда оно находится на широте X.
Р е ш е н и е . Пренебрегая размерами тела, рассматриваем его как точку. Относительная
скорость и тела рбразует с земной осью угол Я, Следовательно, -
<jk0p = 2<a к sin X,
где ш — угловая скорость Земли.
Таким образом, наибольшее кориолисово ускорение тело имеет на полюсе при л=90°. По мере приближения к экватору значение акор убы вает и на экваторе при Х=0 обращается в нуль
(на экваторе вектор v0T= u параллелен оси вра щения Земли).
Направление акор находим как направление векторного произведения. Так как акор=2шХи»
получаем, что вектор акор направлен перпенди кулярно плоскости, проходящей через векто
ры и, о), т. е. перпендикулярно плоскости меридионального сечения, на восток,
откуда кратчайшее совмещение вектора ю с вектором и видно против хода часовой стрелки.
Вопрос о том, как изменяется движение тел по земной поверхности вследствие наличия кориолисова ускорения, рассматривается в динамике. Однако из получен-; ной формулы видно, что величина акор обычно мала, так как мала угловая ско рость Земли.
Задача 81. Прямоугольный треугольник ABC, гипотенуза которого А В = =26=20 см, a ZC B A = a= 60°, вращается вокруг оси Сгх (рис. 197) по закону <р= Ш —2Р. Вдоль гипотенузы АВ около ее середины О колеблется точка М по закону 5=6 cos (я//3) (ось 0£ направлена вдоль ОА), Найти абсолютное ускоре ние точки М в момент времени < ,= 2 с.
Р е ш е н и е . 1. Считая движение точки М вдоль гипотенузы АВ относитель ным, определяем положение этой точки на гипотенузе в момент времени t Из уравнения движения находим
£х= 6 cos (2я/3)=—6/2.
Следовательно, точка М находится в момент времени Ц на середине отрезка ОВ. Изображаем это положение на чертеже.
2. О п р е д е л е н и е иот. Так как относительное движение является пря молинейным, то
ti0T = I = —(яб/3) sin (я</3).
В момент времени / j = 2c
v0r i — — лЬ V 3/6, I vozi | = 5я У 3/3 см/с.
Знак минус указывает, что вектор иот направлен в момент времени ti от М к точке В.
3, О п р е д е л е н и е шие . Беря производные, находим: ш= ф = 10—4/, (01 = 2 0“ ®,
167
где <»!— значение ш в момент времени /t = 2с;
|
Е = (0 = — 4 с- ’. |
|
|
Знаки указывают, что с момента |
вра |
||
щение направлено против хода часовой стрел |
|||
ки (если смотреть с конца оси Сгх) и являет |
|||
ся замедленным. |
|
|
|
4. |
О п р е д е л е н и е |
аот. Так как от |
|
носительное движение является |
прямолиней |
||
ным, |
то |
|
|
°от = tf0T = — (л*/9) Ь соз (л//3).
Вмомент времени /х=2с а0т1= я**/18 = 5я*/9 см/с*.
5.О п р е д е л е н и е опер. Движение треугольника будет для точки М
переносным движением. Следовательно, переносное ускорение апер точки М рав но ускорению той точки треугольника, t которой в данный момент времени совпа дает точка М. Эта тонка треугольника движется по окружности радиуса M D=h, причем в момент времени /х= 2с
Л = (6/2) sin a = 5 У 3/2 см.
Таким образом, в этот момент времени
впер = ел = — 10 V" 3 см/с1, Опер= ш*Л = 10 У 3 см/с*.
Вектор aJiep направлен перпендикулярно плоскости ABC в сторону, противо
положную направлению вращения треугольника. Вектор аЦер направлен вдоль линии MD к оси вращения Сгх.
6 . О п р е д е л е н и е акор. По модулю в момент времени /х=2с
°кор = 2 1со | • Iс’от | sin а = 10я см/с*,
так как угол между v0T и осью Сгх равен в данном случае а .
Проектируя вектор v0T на плоскость, перпендикулярную оси Сг1 (проекция направлена вдоль линии MD), и повернув эту проекцию на 90° в сторону перенос
ного вращения, т. е. против хода часовой стрелки, найдем направление акор (оно
в данном случае совпадает с направлением "ajep)-
7. |
О п р е д е л е н и е а„g. Абсолютное ускорение точки М в момент вре |
мени |
в данном случае будет |
|
а а6 ~ a o^ -f- Опер Опер -f- О*op- |
Для нахождения модуля a,g проводим оси Мхуг (рис. 197) и вычисляем про екции всех векторов на эти оси. Получаем:
Оаб jc= ОкорЧ- I дпер | — Юя -f- 10 У 3 « 48,7 см/с*,
вшбу = а0Ts ln a —Опер = 5л* У 3/18— 10 У 3 я — 12,6 см/с*,
а»6 * = —аот cos a = —5я*/18 « 2,7 см/с*.
168
После |
этого находим |
|
а а(5= | ^ Даб х Ч" а аб у "Ь а аб z W 5 0 ,4 СМ/С*. |
Вектор |
можно построить по его составляющим вдоль осей Охуг, |
Глава XIV*
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
$ 68. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ
Если тело движется относительно подвижных осей Охуг (см. рис. 182), а эти оси совершают одновременно переносное движение по отношению к неподвижным осям OiJC^Zi, то результирующее (абсолютное) движение тела называют сложным (см. §64).
Задачей кинематики в этом случае является нахождение зависи мостей между характеристиками относительного, переносного и абсолютного движений. Основными кинематическими характеристи ками движения тела, как мы знаем, являются его поступательные и угловые скорости и ускорения. Мы ограничимся в дальнейшем опре делением зависимостей только между поступательными и угловыми скоростями тела (кроме одного случая, рассмотренного в §71).
Рассмотрим сначала случай, когда относительное движение тела является поступательным со скоростью v u а переносное движение — тоже поступательное со скоростью v t . Тогда все точки тела в отно сительном движении будут иметь скорость vt, а в переносном —
скорость vt. Следовательно, по теореме сложения скоростей все точки тела в абсолютном движении имеют одну и ту же скорость
u=u1+ t'j, т. е. абсолютное движение тела будет .тоже поступатель ным.
Итак, при сложении двух поступательных движений со скоростя ми Vi и у, результирующее движение тела также будет поступатель
ным со скоростью. v= v1+ v t.
Задача сложения скоростей в этом случае сводится к задаче кинематики точки (см. § 65).
$ 69. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ВОКРУГ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ
Рассмотрим случай, когда относительное движение тела явля ется вращением с угловой скоростью a>i вокруг оси аа', укрепленной на кривошипе Ьа (рис. 198, а), а переносное — вращением криво шипа Ьа вокруг оси bb', параллельной аа', с угловой скоростью о,. Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной осям. Здесь возможны три частных случая.
169
1. |
В р а щ е н и я н а п р а в л е н ы в о д н у с т о р о н у . |
|
Изобразим сечение 5 тела -плоскостью, перпендикулярной |
осям |
|
(рис. 198, б). Следы осей в сечении S обозначим буквами Л |
и В. |
Легко видеть, что точка А, как лежащая на оси Аа', получает ско рость только от вращения вокруг оси ВЬ', следовательно, t»A=co,-АВ.
Точно так же vB—v)x-AB. При этом векторы vA и vB параллель
ны друг другу (оба перпендикулярны АВ) и направлены в разные стороны. Тогда точка С (см.‘ § 56, рис. 153, б) является мгновенным центром скоростей (vc =0) , а следовательно, ось Сс', параллельная осям Аа' и ВЬ', является мгновенной осью вращения тела.
Для определения угловой скорости со абсолютного вращения тела вокруг оси Сс' и положения самой оси, т. е. точки С, восполь зуемся равенством [см. § 56, формула (57)]
<i>=vBIBC=vAlАС, откуда <о= (VA + VB)IAB.
Последний результат получается из свойств пропорции. Подставляя в эти равенства vA—a t 'AB, VB —щ -АВ, найдем окон чательно:
©==а)1+оа„ |
(97) |
4>ilBC=<atIAC=®IAB. |
(98) |
Итак, если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его резуль тирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью (o=(o1+coa вокруг мгновенной оси, параллель ной данным; положение этой оси определяется пропорциями (98).
С течением времени мгновенная ось вращения Сс' меняет свое
положение, |
описывая цилиндрическую поверхность. |
|
2. |
В р а щ е н и я н а п р а в л е н ы в р а з н ы е с т о р о н ы . |
|
Изобразим опять сечение S тела (рис. 199) и допустим для опре |
||
деленности, |
что ©!>(!),. Тогда, рассуждая, как в предыдущем слу |
чае, найдем, что скорости точек А к В будут численно равны: оА=»
=со,ч4В, хув =(их-АВ\ при этом vA и vB параллельны друг другу и направлены в одну сторону. Тогда мгновенная ось вращения про-
170