- •Методические указания
- •Часть 4
- •Методические указания
- •Часть 4
- •Практические занятия
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Решение. Разделим переменные ;
- •Интегрируем обе части, полученного равенства
- •Возвращаясь к переменной у , получаем
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Разделяя переменные, получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие 4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
- •Пример 1. Решить уравнение
- •Занятие 5. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Пример 1. Найти частное решение уравнения
- •Разделяя переменные, находим
- •Следовательно, . Окончательно получим
- •Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
- •Занятие 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Пусть имеем уравнение
- •Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид
- •Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид
- •Библиографический список
- •Занятие 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида…………………………….30
- •Методические указания
- •Часть 4
- •Подписано к изданию 20.11.2013. Уч.- изд. Л. 2,6.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Занятие 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Пусть имеем уравнение
, (1)
где p и q - действительные числа.
Для уравнения с постоянными коэффициентами в некоторых случаях частное решение можно найти, не прибегая к интегрированию.
1. Пусть правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид , где - многочлен n –й степени. Тогда возможны случаи:
а) Число не является корнем характеристического уравнения В этом случае частное решение нужно искать в виде
. (2)
где - многочлен степени n с неизвестными коэффициентами. Подставляя выписанное решение в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему n+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов .
б) Число есть корень характеристического уравнения кратности r. Частное решение нужно искать в виде .
Пример 1. Найти общее решение уравнения.
Общее решение будет иметь вид .
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид . Так как коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме , т.е. положим . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь
.
Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
откуда Следовательно, частное решение будет
Общее решение
Пример 2. Найти общее решение уравнения.
Решение. Общее решение будет иметь вид .
Общее решение соответствующего однородного уравнения
Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид . Так как коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь
или
Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
откуда Следовательно, частное решение будет
Общее решение +
2. Пусть правая часть уравнения имеет вид
,
где - многочлены от х. Тогда форма частного решения определяется следующим образом:
а) если + i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде , где - многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов ;
б) если + i является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде .
Пример 3.Найти общее решение линейного неоднородного уравнения
Решение. Общее решение будет иметь вид .
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
.Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
Общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Правая часть данного неоднородного уравнения , очевидно, что i =2 i является корнем характеристического уравнения, частное решение будем искать в форме
где А и В – неизвестные коэффициенты.
Найдем производные :
Подставляя выражения и производных в заданное уравнение и приравнивая коэффициенты при и , получим два уравнения для определения А и В: . Откуда Следовательно, частное решение . Общее решение будет иметь вид
+ .
Пример 4. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения
Решение. Общее решение будет иметь вид .
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
Общее решение соответствующего однородного уравнения
.