- •Методические указания
- •Воронеж 2015
- •Общие рекомендации студенту-заочнику
- •Правила выполнения и оформления курсовой работы
- •Программа раздела “численные методы” дисциплины “специальные главы математики”
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи курсовой работы Задача №1 интерполирование функций с помощью многочлена ньютона
- •Задача №4 численное интегрирование
- •Задача №5 численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача коши
- •Задача №6
- •Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Примеры решения задач Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Решение. Пусть дано уравнение с одним неизвестным вида
- •Задача №4
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Методические указания
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задача №2
Задание. Найдите приближенное решение системы методом простой итерации с точностью 0.01.
Решение. Пусть дана система линейных уравнений
(1)
Предполагая, что диагональные коэффициенты , разрешим первое уравнение системы (1) относительно , второе – относительно и т.д. Тогда получим эквивалентную систему
(2)
Где , при и при Введя матрицы
, , ,
систему (2) можем записать в матричной форме
. (3)
Для решения системы (3) применим метод последовательных приближений. За начальное приближение принимаем, например, столбец свободных членов .
Далее, последовательно строим матрицы-столбцы
, ,…. , , …
Если последовательность приближений имеет предел
,
то этот предел является решением системы (3) и, cледовательно, решением равносильной системы (1).
Для того чтобы процесс итераций сходился к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения, необходимо выполнение для приведенной системы (2) условия (достаточное условие сходимости метода итераций)
.
Приведем заданную систему уравнений к виду (2)
Отметим, что
Таким образом, достаточное условие сходимости выполнено, поэтому итерационная последовательность приближенных решений будет сходиться к решению системы.
В качестве начального приближения возьмем систему чисел ; ; ; .
После первого шага получим:
После второго:
Результаты вычислений заносим в таблицу 2:
Таблица 2
|
|
|
|
|
0 1 2 3 4 |
0.166 0.033 0.0268 0.0351 0.0367 |
0.545 0.3553 0.3979 0.3825 0.3828 |
0.166 0.208 0.1739 0.1712 0.175 |
0.385 0.3175 0.3526 0.3502 0.3501 |
Поскольку при 4-ой итерации получившиеся значения отличаются от предыдущих не более, чем на 0.01, то решение с требуемой точностью достигается на 4-ой итерации и его можно взять в качестве ответа.
Задача №3
Задание. Отделите корни и найдите приближенное решение заданного уравнения с точностью 0.01 методом Ньютона и методом итераций .
Решение. Пусть дано уравнение с одним неизвестным вида
= 0,
где - непрерывная функция переменной . Требуется найти корень этого уравнения. Представить решение этого уравнения в виде конечной формулы оказывается невозможным, поэтому мы откажемся от поиска точного значения корней и займемся их приближенным вычислением с заданной точностью.
Решение задачи отыскания корней осуществляется в два этапа. Первый этап называется этапом отделения (локализации) корней, второй – этап итерационного уточнения корней.
Известно, что если функция непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. , то внутри этого промежутка имеется хотя бы один корень уравнения.
Геометрически это означает, что график непрерывной функции, расположенной по разные стороны оси , пересекает эту ось, по меньшей мере в одной точке.
Отрезок , содержащий только один корень уравнения , называется отрезком локализации корня. Цель этапа локализации считается достигнутой, если для каждых подлежащих определению корней удалось указать отрезок локализации.
К сожалению, создать универсальный метод локализации корня не представляется возможным. В простых ситуациях хороший результат может давать графический метод. Часто применяется построение таблиц значений функции вида и, при этом о наличии корня на отрезке , судят по перемене знака функции на концах отрезка. Рассмотрим отделение корней на конкретном примере.
Пример. Локализуем корни уравнения
.
Для этого преобразуем уравнение к виду и построим графики функций и . Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями данного уравнения.
Рис. 1
Из рис.1 видно, что уравнение имеет два корня, расположенные на отрезках и .
Отделим корни уравнения табличным способом. Для этого составим таблицу значений функции (таблица 3).
Таблица 3
-
-3
-2
-1
0
1
-14.05
-4.14
1.63
3.00
-0.72
Из таблицы значений функции на промежутке с шагом изменения , равным 1, видно, что существуют корни на отрезках и , так как значения функции на концах отрезка имеют разные знаки.
После локализации корней производится итерационное уточнение каждого корня одним из существующих методов. Мы рассмотрим метод касательных и метод итераций.
1) Метод касательных. Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения , то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности .
Достаточные условия сходимости этого метода содержатся в следующей теореме.
Теорема. Пусть функция определена и дважды дифференцируема на отрезке , причем , а производные сохраняют знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность сходящуюся к единственному на решению уравнения .
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой (рис. 2).
Выберем, например, , для которого . Проведем касательную к кривой в точке . В качестве первого приближения корня возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью . Через точку снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение корня и т. д. (рис. 2).
Рис. 2
Вернемся к исходной задаче. Обозначим . Найдем производную данной функции .
Составим таблицу знаков функции:
|
- |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
+ |
+ |
- |
- |
- |
- |
- |
+ |
+ |
Уравнение имеет два действительных корня, лежащих в промежутках , . Уточним один из этих корней, например, принадлежащий отрезку , методом касательных. Для выбора начального приближения найдем , . Так как и , то за начальное приближение принимаем .
Для вычислений применяем формулу Ньютона
Результаты занесем в таблицу 4:
Таблица 4
-
0
1
2
3
4
3
2.438
2.138
2.048
2.04
54
14.418
2.76
0.201
0.0014
Поскольку , то решение с точностью 0.01.
2) Метод итераций. В основе методы итераций лежит принцип сжимающих отображений.
Теореме (принцип сжимающих отображений). Если функция - непрерывна и дифференцируема и , то у функции есть неподвижная точка, т.е. на [a,b] существует решение уравнения . Причем если , то последовательность сходится к этому решению и .
Для уточнения корня методом итераций приведем уравнение к виду . При этом должно выполняться условие для . Функцию будем искать из соотношения , считая, что , где число имеет тот же знак, что и в промежутке . Известно, что .
Так как , то можно взять . Тогда
Пусть , тогда . Вычисления располагаем в таблице 5.
Таблица 5
-
0
1
2
3
4
2
2.02
2.0302
2.0353
2.0378
0.2
0.1902
0.1887
0.1879
0.1876
Требуемая точность достигается на 3-ем шаге, поэтому .