- •Введение
- •Основные задачи математической статистики
- •2. Генеральная совокупность, выборка
- •3. Статистический ряд. Гистограмма
- •Коэффициенты соотношений заемных и собственных средств предприятий
- •Сгруппированный ряд наблюдений
- •Числовые характеристики статистического распределения. Обработка опытов
- •5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность
- •Методы расчета сводных характеристик выборки
- •7. Проверка статистических гипотез
- •8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •9. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •10. Выравнивание статистических рядов
- •11. Критерии согласия
- •12. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения
- •13. Система двух случайных величин
- •13.1. Понятие о системе нескольких случайных величин
- •13.2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •13.3. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу
- •13.4. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
- •13.5. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)
- •13.6. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •13.7. Условное математическое ожидание
- •13.8. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •13.9. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •14. Элементы теории корреляции
- •14.1. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратической регрессии по несгруппированным данным
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Критические точки распределения
- •Библиографический список
- •Подписано к изданию 20.11.2007 .
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
12. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения
Как было сказано выше, сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении эмпирических и теоретических частот. Эмпирические частоты находят из опыта. Возникает вопрос о том, как найти теоретические частоты, если предполагается, что генеральная совокупность распределена нормально? Приведем один из способов решения этой задачи.
1. Весь интервал наблюдаемых значений X (выборки объема n) делят на s частичных интервалов одинаковой длины. Находят середины частичных интервалов ; в качестве частоты варианты принимают число вариант, которые попали в i-й интервал. В итоге получают последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:
…
… .
При этом .
2. Вычисляют выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение , например, методом произведений.
3. Нормируют случайную величину X, то есть переходят к величине и вычисляют концы интервалов :
, ,
причем наименьшее значение Z, то есть полагают равным , а наибольшее, то есть , полагают равным .
4. Вычисляют теоретические вероятности попадания в интервалы по равенству ( - функция Лапласа) и находят искомые теоретические частоты .
Пример. Найти теоретические частоты по заданному интервальному распределению выборки объема , предполагая, что генеральная совокупность распределена нормально.
Решение.
1. Найдем середины интервалов . Получим последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот :
5 7 9 11 13 15 17 19 21
15 26 25 30 26 21 24 20 13
2. Пользуясь методом произведений, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение:
, .
3. Найдем интервалы , учитывая, что , , 1/ , составив расчетную таблицу 12.
4. Найдем теоретические вероятности и искомые теоретические частоты для чего составим расчетные таблицы 13,14.
Таблица 12
Номер интервала |
Границы интервала |
Частота |
Номер интервала |
Границы интервала |
Частота |
||
i |
|
|
|
i |
|
|
|
1 2 3 4 5 |
4 6 8 10 12 |
6 8 10 12 14 |
15 26 25 30 26 |
6 7 8 9 |
14 16 18 20 |
16 18 20 22 |
21 24 20 13 |
|
|
|
|
Таблица 13
i |
Границы интервала
|
|
|
Границы интервала
|
||
|
|
|
|
|||
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
4 6 8 10 12 14 16 18 20 |
6 8 10 12 14 16 18 20 22 |
- -6,63 -4,63 -2,63 -0,63 1,37 3,37 5,37 7,37 |
-6,63 -4,63 -2,63 -0,63 1,37 3,37 5,37 7,37 - |
- -1,41 -0,99 -0,156 -0,13 0,29 0,72 1,14 1,57 |
-1,41 -0,99 -0,56 -0,13 0,29 0,72 1,14 1,57
|
Таблица 14
i |
Границы интервала
|
|
|
= - - |
=200 |
||
|
|
|
|
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
- -1,41 -0,99 -0,56 -0,13 0,29 0,72 1,14 1,57 |
-1,41 -0,99 -0,56 -0,13 0,29 0,72 1,14 1,57
|
-0,5 -0,4207 -0,3389 -0,2123 -0,0517 0,1141 0,2642 0,3729 0,4418
|
-0,4207 -0,3389 -0,2123 -0,0517 0,1141 0,2642 0,3729 0,4418 0,5 |
0,0793 0,0818 0,1266 0,1606 0,1658 0,1501 1,1087 0,0689 0,0582 |
15,86 16,36 25,32 32,12 33,16 30,02 21,74 13,78 11,64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомые теоретические частоты помещены в последнем столбце таблицы 7.