- •Прикладная механика твердого деформируемого тела
- •Часть 2
- •Прикладная механика твердого деформируемого тела
- •Часть 2
- •Введение
- •Глава 1 основы теории упругости
- •1.1 Основные положения, допущения и обозначения
- •1.2 Уравнения равновесия элементарного параллелепипеда и элементарного тетраэдра
- •1.3 Нормальные и касательные напряжения по наклонной площадке
- •1.4 Определение главных напряжений и наибольших касательных напряжений в точке
- •1.5 Напряжения по октаэдрическим площадкам
- •1.6 Понятие о перемещениях. Зависимости между деформациями и перемещениями
- •1.7 Относительная линейная деформация в произвольном направлении
- •1.8. Уравнения совместности деформаций
- •1.9 Закон Гука для изотропного тела
- •1.10 Плоская задача в прямоугольных координатах
- •1.11 Плоская задача в полярных координатах
- •1.12 Возможные решения задач теории упругости
- •1.13 Решение задач в перемещениях
- •1.14 Решения задач в напряжениях
- •1.15 Случай температурного поля
- •1.16 Краткие выводы
- •Глава 2 простейшие осесимметричные задачи
- •2.1 Уравнения в цилиндрических координатах
- •2.2 Деформация толстостенного сферического сосуда
- •2.3 Сосредоточенная сила, действующая на плоскость
- •2.4 Частные случаи загрузки упругого полупространства
- •2.5 Вдавливание абсолютно жесткого шара в упругое полупространство
- •2.6. Задача об упругом смятии шаров
- •Глава 3 толстостенные трубы
- •3.1 Общие сведения. Уравнение равновесия элемента трубы
- •3.2 Исследование напряжений при давлении на одном из контуров
- •3.3 Условия прочности при упругой деформации
- •3.4 Напряжения в составных трубах.
- •3.5 Понятие о расчете многослойных труб
- •3.6 Примеры
- •Глава 4 пластины и мембраны
- •4.1 Основные определения и допущения
- •4.2 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины в прямоугольных координатах
- •4.3 Цилиндрический и сферический изгиб пластины
- •4.4 Изгибающие моменты при осесимметричном изгибе круглой пластины
- •4.5 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластины
- •4.6 Граничные условия. Наибольшие напряжения и прогибы. Условия прочности
- •4.7 Температурные напряжения в пластинах
- •4.8 Определение усилий в мембранах. Цепные усилия и напряжения
- •4.9 Приближенное определение прогиба и напряжений в круглой мембране
- •4.10 Примеры
- •Глава 5 оболочки
- •5.1 Общие сведения об оболочках
- •5.2 Понятие о расчете оболочки произвольной формы
- •5.3 Оболочка вращения, нагруженная нормальным давлением
- •5.4 Изгиб цилиндрической круговой оболочки
- •5.5 Определение усилий и перемещений в длинной цилиндрической оболочке
- •5.6 Длинная цилиндрическая оболочка, подкрепленная кольцами
- •5.7 Местные напряжения в сопряжении оболочек Уравнение совместности деформации.
- •5.8 Определение перемещении и усилий в короткой цилиндрической оболочке
- •5.9 Температурные напряжения в цилиндрической оболочке
- •5.10 Напряженное состояние цилиндрической оболочки и условие прочности
- •5.11 Примеры
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 2 Осесимметричные задачи теории упругости
5.7 Местные напряжения в сопряжении оболочек Уравнение совместности деформации.
При действии на оболочку равномерно распределенного давления в местах нарушения непрерывности меридионального сечения возникают местные усилия изгибающие моменты и поперечные силы. Например, оболочка, показанная на рис. 102 состоящая из
q
Рис. 102
цилиндрической части Ц и торцевой части Т в виде шарового сегмента, не имеет общей касательной в месте сопряжения этих частей. Поэтому по окружности СС их соприкосновения возникнут погонные усилия Q0 и М0 . Объясняется это тем, что линейные перемещения w и углы поворота касательных к изогнутой срединной поверхности, возникающие под действием равномерно распределенной нагрузки q, в общем случае различны для цилиндрической и торцевой частей оболочки. Для цилиндрической радиальные перемещения обычно больше, чем для торцевой, а угловые равны нулю. У торцевой части могут возникнуть угловые перемещения по окружности СС. Поэтому, если мысленно отделить торцевую часть от цилиндрической по сечению С С (рис. 103), в сечении возникнут линейный разрыв
Рис. 103
(5.74)
и угловой разрыв
, (5.75)
где и радиальные перемещения цилиндрической и торцовой частей от нагрузки q;
угловое перемещение торцевой части от нагрузки q.
Для уничтожения этих разрывов по сечению С С необходимо приложить погонные поперечные силы Q0 и изгибающие моменты М0 . Эти усилия вызовут в сечении следующие смещения: погонная поперечная сила Q0 линейные смещения и и угловые смещения и погонный изгибающий момент M0 линейные смещения и и угловые смещения и В общем случае эти смещения различны для торцевой и цилиндрической частей. Алгебраическая сумма линейных смещений должна равняться линейному разрыву , а алгебраическая сумма угловых смещений угловому разрыву
Таким образом, можно записать уравнения совместности деформаций (рис. 104)
(5.76)
. (5.77)
а) б)
Рис. 104
Эти уравнения показывают, что возникающие в сечении С С в непрерывной оболочке погонные усилия Q0 и М0 уничтожают линейный и угловой разрывы и и заставляют торцы цилиндрической и торцевой оболочек совпадать в переломе.
Приведенные рассуждения и уравнения (5.76) и (5.77) справедливы для сопряжения двух оболочек любого очертания и, в частности, для сопряжения цилиндрической оболочки с торцевой частью любого осесимметричного очертания шарового, конического или плоского.
Сопряжение цилиндрической оболочки с полусферическим днищем. Определим усилия Q0 и М0 для наиболее простого сопряжения цилиндрической оболочки с торцом в виде полусферы. В случае одинаковой толщины h цилиндрической и сферической частей можно считать, что по сечению С С общая касательная для этих частей поворачивается в их сопряжении под действием усилий Q0 на одинаковый угол и взаимный угол поворота отсутствует. Значит, в сечении С С не возникает погонного изгибающего момента, т. е. М0 = 0.
Остается только погонная поперечная сила Q0, которую можно найти из решения геометрического уравнения (5.74), положив в нем члены, зависящие от М0, равными нулю. Подставив в уравнение (5.74) абсолютные значения по формуле (5.10) и , найдем
. (5.78)
Приняв во внимание, что изгиб около сечения С С местный и достигает значительной величины как в цилиндрической, так и в сферической оболочке лишь вблизи от места сопряжения, условно заменим сферическую оболочку цилиндрической. В таком случае, подставив в уравнение (5.76) абсолютные значения по формуле (5.57) (расчетный случай 1) при M0 = 0 и по формуле (5.78), найдем
,
откуда
, (5.79)
или, подставив в формулу (5.79) значение 3 по формуле (5.69)
Таким образом, в случае сопряжения цилиндрической и полусферической оболочек одинаковой толщины, нагруженных радиальной сжимающей нагрузкой интенсивностью q, можно принять
Сопряжение цилиндрической оболочки с плоским днищем. Оболочка нагружена внутренним радиальным давлением q. Плоское днище рассматривается как круглая пластина с радиусом R, нагруженная равномерным поперечным давлением q и погонным моментом М0 по кромке. Ось х направлена по радиусу пластины.
Уравнение (5.60) углов поворота пластины
, (5.80)
где D1 цилиндрическая жесткость пластины.
В центре пластины при х = 0, угол наклона касательной плоскости равен нулю, поэтому первое граничное условие = 0 при х = 0, откуда С2 = 0.
Выражение для радиального погонного изгибающего момента
.
На контуре пластины
.
Этот погонный момент должен равняться и быть противоположным по знаку погонному моменту M0, действующему по кромке оболочки, поэтому второе граничное условие (Mr)x=R = M0, откуда
. (5.81)
Подстановка значения С2 = 0 и C1 по формуле (5.81) в уравнение (5.80) даст следующее значение для угла поворота на контуре пластины:
.
Радиальный изгибающий момент в произвольном сечении пластины на расстоянии х от центра
.
Если считать радиальное перемещение пластины пренебрежимо малым в уравнении совместности (5.76), можно принять . Тогда оно примет вид
.
Учитывая, что
,
получим
или, после подстановки радиальных перемещений wЦ ,
, (5.82)
где D — цилиндрическая жесткость оболочки.
Уравнение (5.77) примет вид:
. (5.83)
Уравнения (5.82) и (5.83) содержат две неизвестные величины: М0 и Q0. Решая систему, находим погонную поперечную силу и изгибающий момент в сопряжении оболочки с плоским торцом
; (5.84)
. (5.85)
Пользуясь выражениями радиальных смещений w и углов поворота сечений оболочек и уравнениями (5.76) и (5.77) совместности деформаций, можно аналогичным путем вывести формулы для погонных поперечных сил Q0 и погонных изгибающих моментов М0 , возникающих в сопряжении цилиндрической оболочки с торцевой, имеющей форму полусферы, шарового сегмента, конуса или плоской пластины, при различных толщинах оболочки в цилиндрической и торцевой частях. Зная Q0 и М0, можно вычислить wx, Qx и Мх в любой точке цилиндрической части, пользуясь формулами (5.33), (5.55), (5.56).