- •Оглавление
- •Часть 1 8
- •Часть 2 96
- •Часть 3 185
- •Введение
- •Часть 1 автоматизация проектирования. Основные понятия. Технические средства
- •1.2. Структура и основные принципы построения сапр
- •1.3. Автоматизированные рабочие места инженеров-конструкторов
- •Лекция №2 Виды обеспечения сапр
- •2.1. Инструментальная база сапр
- •Файловые системы fat
- •Файловая система fat32
- •Файловая система ntfs
- •Общая характеристика систем
- •2.3. Классификация устройств, обеспечивающих получение твердых копий конструкторской документации
- •Сканеры
- •Получение твердых копий
- •Технология печати
- •Струйные принтеры
- •Лазерные принтеры
- •Плоттеры
- •Архитектура системы
- •Лекция №3 Организация и управление данными в сапр
- •3.1. Информационный фонд сапр
- •Языки бд
- •Типовая организация современной субд
- •Организация систем автоматизированного проектирования на базе бд
- •3.2. Внутримашинное представление объектов проектирования
- •3.3. Организация обмена данными. Компьютерные сети
- •Лекция №4 Лингвистическое обеспечение автоматизированного проектирования
- •4.1. Организация программного обеспечения сапр. Языки программирования
- •Основные понятия и определения
- •Вычисления в AutoCad
- •Структура программы на AutoLisp
- •Структура программ
- •Объектно-ориентированное программирование
- •Часть 2 задачи автоматизации проектирования механизмов и машин в машиностроении
- •Лекция №5 Основы методологии проектирования технических объектов. Работа с информацией, вырабатываемой во время проектирования
- •5.1. Методология проектирования технических объектов
- •5.2. Работа с информацией
- •5.3. Сапр как объект проектирования
- •Лекция №6 Геометрическое моделирование и организация графических данных
- •6.1. Назначение и область применения систем обработки геометрической информации
- •6.2. Двухмерное проектирование с помощью системы AutoCad
- •6.3. Параметрическое проектирование с применением системы SolidWorks
- •Лекция №7 Виртуальное производство. Характеристики и основные принципы работы сапр технологических процессов обработки металлов давлением
- •7.1. Виртуальное производство
- •7.2. Предпосылки автоматизации проектирования технологических процессов
- •7.3. Математическое обеспечение виртуального производства
- •Лекция №8 сапр инженерных расчетов
- •8.1. Предпосылки автоматизации проектирования деталей приводных устройств
- •8.3. Автоматизация инженерных расчетов и подготовки рабочих чертежей
- •Лекция №9 Принципы построения и организация технического документооборота в масштабе предприятия
- •9.1. Автоматизация управления подготовкой производства
- •9.2. Структура и принципы организации работ
- •Документ – версия – итерация
- •Часть 3 методы оптимизации, применяемые при решении конструкторских задач
- •Лекция №10 Основы теории оптимизации. Проектные параметры. Критерии качества
- •10.1. Постановка задач оптимизации
- •Выбор целевой функции
- •Назначение ограничений
- •Нормирование управляемых и выходных параметров
- •10.2. Классификация оптимизационных задач
- •10.3. Подходы к решению обобщенных задач оптимизации. Математическая формулировка задач оптимизации
- •Безусловная оптимизация
- •Многомерный случай
- •Оптимизация при линейных ограничениях
- •Оптимизация при нелинейных ограничениях
- •Выбор метода оптимизации
- •Выбор метода безусловной оптимизации
- •Выбор метода для задачи с нелинейными ограничениями
- •Размер задачи
- •Структура ограничений
- •Методы нуль-пространства и ранг-пространства
- •Выбор метода, генерирующего допустимые точки
- •Выбор метода для решения задачи с нелинейными ограничениями
- •Роль пользователя
- •Программное обеспечение
- •Заключение
- •Билиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Безусловная оптимизация
Мы начнем изучения условий оптимальности с простейшей задачи о безусловной минимизации функции одной переменной:
найти .
Необходимые условия минимума в одномерной задаче без ограничений
A1. (16.6)
A2. . (16.7)
Любую точку , в которой выполнено равенство , называют стационарной точкой функции f. Стационарность - это одно из свойств точек минимума гладких функций; при этом, однако, стационарными будут и точки из локальных максимумов.
Кроме того, производная может обращаться в нуль в точках, где нет ни минимума, ни максимума; их называют точками перегиба.
Требование равенства нулю производной f(x*) называют необходимым условием оптимальности первого порядка. В названии отражено, что это условие касается только первой производной.
Из аналогичных соображений неравенство А2 принято называть условием второго порядка.
Многомерный случай
В данном разделе рассматривается минимизация функции n переменных:
найти .
Необходимые условия минимума:
C1. , т.е. x* является стационарной точкой.
C2. Матрица положительно полуопределена.
Условия, достаточные для того, чтобы точка x* была точкой сильного локального минимума в задаче. Они состоят в следующем:
D1. .
D2. Матрица положительно определена.
Оптимизация при линейных ограничениях
В большинстве прикладных оптимизационных постановок приемлемыми являются не все мыслимые значения переменных. Соответственно приходится вводить какие-то ограничения.
В том числе нередко используются ограничения в виде требований, чтобы некоторые линейные функции переменных были равны нулю, неотрицательны или неположительны. При этом линейной мы называем функцию вида , где - некоторая вектор-строка, а - число.
Хотя выше упоминается три типа линейных ограничений, в действительности достаточно рассмотреть только два из них:
(ограниченное-равенство) (16.8)
(ограниченное-неравенство). (16.9)
Простейшими среди линейных являются ограничения, заданные функциями l(x), зависящими только от одной переменной. В этом случае, если соответствующая переменная есть xi, возможны такие варианты:
(xi фиксируется на ) (16.10)
( есть верхняя граница для xi) (16.11)
( есть нижняя граница для xi). (16.12)
Условия (16.7) и (16.8) принято называть простыми ограничениями на переменную xi.
Оптимизация при нелинейных ограничениях
Ограничения, налагаемые на переменные, далеко не всегда содержат только линейные функции. Часто равенства и неравенства, определяющие допустимую область задачи, содержат нелинейности. Ограничения в данном случае примут вид:
(ограничение-равенство) (16.13)
(ограничение-неравенство). (16.14)
Достаточные условия оптимальности, представим в двух вариантах. Это связано с проблемой нулевых множителей Лагранжа. Первый набор условий получается если снять эту проблему, потребовав, чтобы все множители Лагранжа были положительны. Тогда достаточными условиями существования в x* сильного локального минимума в задаче будут следующие соотношения:
, причем , (16.15)
, или, что эквивалентно, (16.16)
(16.17)
Матрица положительно определена. (16.18)
Можно получить и другие, допускающие наличие нулевых множителей Лагранжа достаточные условия. В заключении, рассмотрим достаточные условия минимума с нулевыми множителями Лагранжа:
, причем , (16.19)
, или, что эквивалентно, (16.20)
(16.21)
Матрица положительно определена.