- •Методические указания
- •09.03.01 «Информатика и вычислительная техника»
- •Правила выполнения и оформления контрольной работы
- •1. Методы получения математических моделей технических объектов на макроуровне
- •1.1. Метод получения топологических уравнений на основе матрицы контуров и сечений
- •2. Математические модели технических объектов при моделировании на метауровне
- •2.1. Математические модели систем массового обслуживания
- •2.2. Моделирование систем массового обслуживания с отказами
- •2.3. Моделирование систем массового обслуживания с бесконечной очередью
- •Содержание
- •Методические указания
- •09.03.01 «Информатика и вычислительная техника»
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.2. Моделирование систем массового обслуживания с отказами
Системой массового обслуживания с ожиданием называется система, в которой заявка, пришедшая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получает отказ и покидает систему. В стационарном режиме определяют вероятности состояний системы (количество занятых каналов) и определяются по формулам:
В случае произвольного к =1,2,3,…….n
В дальнейшем удобно обозначать отношение
,
которое называется приведенной плотностью потока заявок и равно среднему числу заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки:
В полученных формулах все вероятности выражаются через .
Для определения воспользуемся соотношением
,
отражающим факт пребывания СМО в одном из возможных состояний, получим:
откуда
и формулы принимают вид:
Формулы называются формулами Эрланга. Они дают вероятности пребывания системы в состоянии с к - занятыми каналами в установившемся режиме обслуживания в зависимости от характеристик потока заявок и потока обслуживаний. В частности, есть вероятность того, что СМО простаивает; - вероятность того, что все каналы заняты, пришедшая заявка получает отказ; - вероятность обслуживания поступившей заявки (относительная пропускная способность СМО), Q=q - абсолютная пропускная способность системы.
Задача. Имеется четырех канальная система массового обслуживания (СМО) с отказами. Определить вероятности состояний и показатели системы в установившемся режиме обслуживания: относительные и абсолютные пропускные способности системы, если поступает 3 вызова в час, а среднее время обслуживания одной заявки равно 2 условным единицам. Что будет, если количество вызова увеличить в 2 раза; количество линий обслуживания увеличить на единицу; время обслуживания увеличить на 1 единицу? Смоделировать описанную систему СМО и проанализировать показатели системы.
Решение задачи. Решение проведем в Mathcad.
Вероятность простоя системы равна 0,008696, т.е. очень маленькая, вероятность отказа, наоборот, большая: 0,47. Относительная пропускная способность равна 0,53. Абсолютная пропускная способность системы равна 1,591.
Увеличим количество вызовов в 2 раза:
Увеличилась вероятность отказа системы, уменьшилась относительная пропускная способность системы, а абсолютная пропускная способность увеличилась.
Увеличим количество линий на 1, а количество вызовов в час оставим прежним:
Уменьшилась вероятность отказа системы, увеличились относительная пропускная способность (0,64) и абсолютная пропускная способность системы (1,919).
Уменьшим время обслуживания на 1, а количество вызовов в час оставим прежним.
Вероятность отказа системы значительно уменьшилась, а относительная пропускная способность (0,89) и абсолютная пропускная способность системы (2,67) значительно увеличились:
Вывод: возможно целесообразно открыть новую линию для обслуживания клиентов.
Задание 3. Имеется четырех канальная система массового обслуживания (СМО) с отказами. Определить вероятности состояний и показатели системы в установившемся режиме обслуживания: относительные и абсолютные пропускные способности системы, если поступает А вызова в час, а среднее время обслуживания одной заявки равно В условным единицам. Что будет, если количество вызова увеличить в С раз; количество линий обслуживания увеличить на единицу; время обслуживания увеличить на D единиц? Смоделировать описанную систему СМО и проанализировать показатели системы. Решение провести в Mathcad.
Вариант |
А |
В |
С |
D |
0 |
4 |
3 |
3 |
2 |
1 |
5 |
3 |
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
4 |
3 |
3 |
1 |
5 |
6 |
4 |
3 |
3 |
6 |
5 |
4 |
3 |
3 |
7 |
3 |
2 |
2 |
1 |
8 |
3 |
1 |
2 |
2 |
9 |
4 |
2 |
2 |
2 |