- •Введение
- •1. Правила выполнения курсового проекта (работы)
- •2. Правила сдачи курсового проекта (работы)
- •3. Правила оформления курсового проекта(работы)
- •4. Задания на курсовой проект (работу) Задание 1. Определение реакций опор составных конструкций с внутренними односторонними связями
- •Задание 2. Кинематический анализ многозвенного механизма
- •Задание 3. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы
- •Приложение а
- •Расчетно-пояснительная записка
- •Приложение б
- •Форма бланка задания на курсовой проект (работу)
- •Приложение в
- •Пример оформления содержания
- •Приложение г
- •Примеры библиографических описаний
- •Приложение д
- •Метод Гаусса
- •Приложение е
- •Метод квадратного корня
- •Приложение ж
- •Метод простой итерации
- •Приложение и
- •Метод Зейделя
- •Приложение к
- •Решение Задания 1 с помощью принципа возможных перемещений (пвп)
- •Приложение л
- •Заключение
- •Контрольные вопросы и дополнительные задания Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задание 3. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы
Схемы систем показаны на рис. 3.1 – 3.3, а необходимые данные приведены в табл. 6. Приняты следующие обозначения: 1 – груз массой ; 2 – блок массой и радиусом (сплошной однородный диск); 3 – блок массой и радиусом инерции ; 4 – сплошной однородный диск массой и радиусом ; 5 – диск массой и радиусом инерции ; 6 – тонкий однородный стержень массой и длиной ; 7 – стержень, масса которого не учитывается; – коэффициент жесткости пружины; – начальное отклонение груза 1 по вертикали от положения покоя, соответствующего статической деформации пружины; – проекция начальной скорости груза 1 на вертикальную ось.
На рис. 3.1 – 3.3 системы тел 1 – 7 показаны в положении покоя (при статической деформации пружин).
В вариантах 5, 6, 14 и 23 стержень 6 жестко соединен с диском 4.
Определить частоту и период малых свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы, пренебрегая силами сопротивления и массами нитей.
Найти уравнение движения груза 1 , приняв за начало отсчета положение покоя груза 1 (при статической деформации пружин). Найти амплитуду колебаний груза 1.
Указания. Это задача на применение к изучению движения механической системы уравнений Лагранжа II рода для консервативной системы сил. В задаче механическая система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной координатой и для нее должно быть составлено одно уравнение движения.
Рис. 3.1
Рис. 3.2
Рис. 3.3
Таблица 5. Расчетные данные к заданию 3
№ |
|
|
|
|
|
|
, ,
|
|
|
Начальные условия ( ) |
|
м |
кг |
Н/см |
, см |
, см/с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
– |
– |
– |
1 |
2 |
– |
3 |
40 |
0,1 |
5 |
|
0,5 |
– |
– |
0,2 |
1 |
2 |
2 |
3 |
40 |
0 |
6 |
|
0,5 |
|
– |
– |
1 |
– |
4 |
3 |
20 |
0,2 |
7 |
|
0,6 |
– |
– |
– |
1 |
2 |
3 |
2 |
36 |
0,2 |
0 |
|
0,6 |
– |
– |
0,15 |
1 |
– |
3 |
3 |
16 |
0 |
8 |
|
0,6 |
– |
– |
0,15 |
1 |
– |
1 |
1 |
40 |
0,3 |
7 |
|
– |
– |
– |
– |
1 |
– |
2 |
2 |
40 |
0,4 |
0 |
|
– |
– |
– |
– |
1 |
3 |
2 |
– |
40 |
0 |
6 |
|
0,6 |
– |
– |
– |
1 |
2 |
– |
3 |
38 |
0,5 |
5 |
|
0,6 |
– |
– |
– |
1 |
2 |
– |
3 |
32 |
0 |
6 |
|
– |
– |
– |
– |
1 |
2 |
– |
3 |
30 |
0,4 |
7 |
|
0,5 |
– |
– |
– |
1 |
2 |
– |
3 |
20 |
0,2 |
0 |
|
0,3 |
– |
– |
– |
1 |
1 |
1 |
2 |
32 |
0 |
8 |
|
0,4 |
– |
– |
0,1 |
1 |
– |
2 |
3 |
20 |
0 |
7 |
|
0,4 |
|
– |
– |
1 |
– |
2 |
2 |
20 |
0,1 |
0 |
|
– |
– |
– |
– |
1 |
2 |
3 |
– |
32 |
0,3 |
6 |
|
– |
– |
– |
– |
1 |
2 |
– |
2 |
20 |
0 |
5 |
|
– |
– |
– |
– |
1 |
2 |
1 |
– |
40 |
0 |
6 |
|
0,2 |
– |
– |
– |
1 |
1 |
– |
1 |
32 |
0,1 |
0 |
|
0,5 |
– |
– |
– |
1 |
2 |
– |
3 |
20 |
0,4 |
7 |
|
– |
– |
– |
– |
1 |
– |
2 |
3 |
32 |
0 |
8 |
|
– |
|
|
– |
1 |
2 |
4 |
– |
40 |
0,1 |
7 |
Таблица 5 (окончание) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
– |
– |
0,2 |
1 |
2 |
2 |
3 |
40 |
0,3 |
0 |
|
– |
– |
|
– |
1 |
– |
3 |
2 |
40 |
0 |
6 |
|
0,3 |
– |
– |
0,1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
40 |
0,2 |
5 |
|
– |
|
– |
– |
1 |
– |
2 |
– |
40 |
0,3 |
0 |
|
– |
– |
|
– |
1 |
2 |
3 |
– |
40 |
0 |
6 |
|
– |
– |
|
– |
1 |
2 |
3 |
– |
40 |
0,2 |
0 |
|
– |
– |
|
– |
1 |
2 |
3 |
– |
40 |
0 |
7 |
|
– |
– |
|
– |
1 |
2 |
3 |
– |
40 |
0,3 |
7 |
В качестве обобщенной координаты выбирается координата , характеризующая перемещение груза 1. Для составления уравнения Лагранжа необходимо найти кинетическую энергию системы и выразить все входящие в нее скорости через обобщенную скорость . Затем надо вычислить потенциальную энергию системы как сумму работ сил системы на перемещении из отклоненного положения системы в начальное. Дальнейший ход решения задачи разъяснен в примере 3.
Пример 3.
Механическая система (рис. 3.4) состоит из груза 1 массой ; блока 2 (сплошного однородного диска) массой и радиусом ; тонкого однородного стержня 3 массой и длиной ; сплошного однородного диска 4 массой и радиусом . Система начинает двигаться из положения покоя ( при статической деформации пружины с коэффициентом жесткости ) с начальным отклонением груза 1 по вертикали от положения покоя и проекцией его начальной скорости .
Д
Рис. 3.4
Определить: циклическую частоту и период малых свободных колебаний системы, получить уравнение движения груза 1 и найти амплитуду его колебаний.
Решение:
Рассмотрим произвольное положение системы, когда она выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания (рис. 3.4). Механическая система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем координату перемещения груза 1. Поскольку все действующие активные силы (силы тяжести и сила упругости) потенциальные, воспользуемся уравнением Лагранжа II рода для консервативной системы:
, (3.1)
где и – кинетическая и потенциальная энергии системы, соответственно.
При исследовании малых колебаний в уравнении сохраняют малые величины , в первой степени, отбрасывая малые более высокого порядка. Для этого надо найти выражения для и с точностью до , , так как в уравнение (3.1) входят первые производные от и по и , а при дифференцировании многочлена его степень понижается на единицу.
Определим кинетическую энергию всей системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:
. (3.2)
Груз 1 движется поступательно, блок 2 и стержень 3 вращаются вокруг неподвижной оси, диск 4 совершает плоскопараллельное движение, поэтому
, , ,
. (3.3)
Моменты инерции блока 2 и стержня 3 относительно оси вращения и диска 4 относительно центральной оси имеют вид:
, , . (3.4)
Скорости , и угловые скорости , и тел системы выразим через обобщенную скорость :
, , . (3.5)
Скорость и угловую скорость найдем, учитывая, что рассматриваются малые колебания (значит ) и диск 4 катится без скольжения (точка – мгновенный центр скоростей тела 4):
. (3.6)
Учитывая соотношения (3.3) – (3.6) приведем выражение (3.2) к виду:
. (3.7)
Так как кинетическая энергия зависит только от , производные левой части уравнения (1) примут вид:
;
; (3.8)
.
Н айдем потенциальную энергию системы (см. рис. 3.5) как сумму работ сил тяжести тел системы и силы упругости пружины на перемещении из отклоненного положения системы (когда груз 1 имеет координату ) в начальное (состояние покоя):
, (3.9)
г
Рис. 3.5
, (3.10)
где – вертикальное смещение центра тяжести стержня.
Вычислим его с точностью до величины второго порядка малости относительно обобщенной координаты (см. рис. 3.5):
. (3.11)
Учитывая малость угла , разложим в ряд Тейлора:
(3.12)
Ограничиваясь в разложении (3.12) двумя первыми членами и учитывая, что
,
получаем из (3.11):
. (3.13)
Подставив (3.13) в (3.10) находим:
. (3.14)
Потенциальная энергия деформированной пружины 3 равна
, (3.15)
где – статическая деформация пружины 3, соответствующая начальному отклонению груза 1 по вертикали от положения покоя; – перемещение точки прикрепления пружины 3, соответствующее координате груза 1.
Из рис. 3.4 определяем
,
откуда
. (3.16)
Таким образом, потенциальная энергия пружины 3
, (3.17)
а потенциальная энергия механической системы
(3.18)
Учитывая, что в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины 3
, , (3.19)
приводим (3.18) к виду:
(3.20)
У равнение 3.19 можно также получить, составив одно из условий равновесия системы сил для положения покоя (см. рис. 3.6):
:
или
.
Отсюда .
В
Рис. 3.6
, (3.21)
Подставим (3.8) и (3.21) в (3.1):
(3.22)
или, обозначив
, (3.23)
приведем (3.22) к виду:
. (3.24)
Уравнение (3.24) является уравнением свободных колебаний с частотой . Подставив в (3.23) численные значения, находим:
с–1. (3.25)
Период свободных колебаний
с. (3.26)
Интегрируя уравнение (3.24), находим уравнение движения груза 1:
. (3.27)
Для определения констант интегрирования и составим уравнение скорости груза 1:
(3.28)
и воспользуемся начальными условиями:
при , . (3.29)
Из уравнений (3.27) – (3.29) находим:
, .
И окончательно:
м. (3.30)
Уравнение (3.30) можно представить в эквивалентной форме, если использовать другие константы интегрирования и :
, .
Тогда
,
м, (3.31)
рад.
Таким образом
м.
Ответ: с–1, с, м, м.