3.3. Задания

Исходные данные берутся исходя из варианта лабораторной работы №2 (метод STEM).

3.4. Ход работы

Последовательность решения рассмотрим на примере следующей задачи.

Цель работы: удовлетворить потребность 4 покупателей в товарах, производимых тремя заводами.

Учитываемые показатели: стоимость доставки единицы товара от каждого производителя к каждому потребителю, комфортабельность и безопасность перевозки единицы товара.

Показатели имеют следующие значения, представленные в нижеприведенной таблице (исходя из лабораторной работы № 2 – метод STEM (матрица оптимизации)), в столбец 4 добавим результаты расчета целевой функции:

Критерии	Вариант перевозки
	1	2	3	4
Затраты	-206	-895	-228	-354
Безопасность	412	1790	456	708
Комфортабельность	1481	495	1833	1719

Из решения транспортной задачи методом STEM найдены индексы важности каждого показателя, которые в условиях метода МАИ можно трактовать как количественные оценки весов критериев:

λ затраты	λ безопасность	λ комфортабельность
0,399	0,399	0,2

1 этап: определение иерархической структуры поставленной проблемы.

Заполняем документ Excel исходными данными (рис. 2.32).

Рис. 2.32. Внешний вид формы с исходными данными

2 этап: попарное сравнение элементов каждого иерархического уровня.

Создаем матрицу сравнений для критериев (рис. 2.33).

Рис. 2.33. Внешний вид формы с матрицей сравнения

Затем сравниваем заданные альтернативы по каждому критерию отдельно (рис. 2.34).

Рис. 2.34. Матрицы сравнения по каждому из критериев

Далее рассчитываются коэффициенты важности элементов каждого иерархического уровня. Для этого нужно вычислить компоненты собственных векторов полученных матриц попарного сравнения по формуле

(2.10)

где k – ранг матрицы.

Для матрицы попарного сравнения критериев используется функция степень 1/3 от произведения элементов i-й строки матрицы, т.к. ранг матрицы k = 3 (рис. 2.35).

Рис. 2.35. Матрицы сравнения для критериев с собственным вектором

Для расчета компонентов собственных векторов матриц попарного сравнения альтернатив по каждому критерию используется функция степень 1/4 от произведения элементов i-й строки матрицы (рис. 2.36).

Рис. 2.36. Матрицы сравнения для критериев с собственными векторами

3 этап: нормировка компонентов собственных векторов матриц сравнений, т.е. получение количественных оценок элементов каждого иерархического уровня. Для нормирования можно использовать формулу (2.11).

, (2.11)

где i – номер иерархического уровня, j – номер компоненты.

Оформляем результаты в виде столбца таблицы (рис. 2.37, 2.38).

Рис. 2.37. Матрица сравнений для критериев с весами критериев

4 этап: вычисление количественных индикаторов рассматриваемых альтернатив.

Вычисление индикаторов производим по формуле

(2.12)

где i – номер варианта перевозки.

Рис. 2.38. Матрицы сравнений для отдельных критериев с весами критериев

Полученные результаты оформляем в отдельную таблицу (рис. 2.39).

Результат: w₁ = 0,214; w₂ = 0,343; w₃ = 0,236; w₄ = 0,207. Тогда оптимальным будет решение, соответствующее наибольшему значению w_i. Получили практически равнозначные варианты, однако оптимальным будет четвертый вариант:

Затраты	-895
Безопасность	1790
Комфортабельность	495

Рис. 2.39. Матрицы сравнений для отдельных критериев с весами критериев

Контрольные вопросы

1. Назовите основные этапы МАИ.

2. Формула для расчета компонентов собственного вектора матрицы сравнения.

3. Сколько иерархических уровней используется при декомпозиции проблемы в МАИ?

4. Какая шкала используется в МАИ?

5. Поясните ход решения задачи выбора средствами Excel.

Оформление отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. цель и задачи работы;

2. постановку задачи и исходные данные;

3. порядок решения поставленной задачи;

4. полученные результаты;

5. выводы по лабораторной работе.

Литература: [1, с. 110 –130]; [2, с. 245 –250]; [3, с. 10 –15]; [11]; [12]; [13].

Лабораторная работа № 4

Метод ELECTRE

Цель работы: выбрать оптимальный вариант из ряда представленных альтернатив средствами Microsoft Excel, используя метод ELECTRE 1.

4.1. Постановка задачи

Постановка задачи, решаемой с помощью ELECTRE, заключается обычно в следующем.

Дано: общая цель (или цели) решения задачи; критерии оценки альтернатив; альтернативы.

Требуется: выбрать наилучшую альтернативу.

4.2. Теоретический материал для изучения

В конце 60-х годов XX века группа французских ученых во главе с профессором Б. Руа предложила подход к попарному сравнению многокритериальных альтернатив, не основанный на критерии полезности. Оценка каждой альтернативы является относительной (по сравнению с другой альтернативой). Так возник метод ELECTRE (Elimination Et Choix Traduisant la Realite – исключение и выбор, отражающие реальность). В настоящее время разработан ряд методов семейства ELECTRE.

Методы ELECTRE направлены на решение задач с уже заданными многокритериальными альтернативами. В этих методах не определяется количественно показатель качества каждой из альтернатив, а устанавливается лишь условие превосходства одной альтернативы над другой.

Постановка задачи обычно имеет следующий вид:

Дано: N критериев со шкалами оценок (количественных), веса критериев (целые числа), альтернативы с оценками по критериям.

Требуется: выделить группу лучших альтернатив.

Основные этапы методов ELECTRE

1. На основании заданных оценок двух альтернатив подсчитываются значения двух индексов: согласия и несогласия. Эти индексы определяют согласие и несогласие с гипотезой о том, что альтернатива А превосходит альтернативу В.

2. Задаются уровни согласия и несогласия, с которыми сравниваются подсчитанные индексы для каждой пары альтернатив. Если индекс согласия выше заданного уровня, а индекс несогласия – ниже, то одна из альтернатив превосходит другую. В противном случае альтернативы несравнимы.

3. Из множества альтернатив удаляются доминируемые. Оставшиеся альтернативы образуют первое ядро. Альтернативы, входящие в ядро, могут быть либо эквивалентными, либо несравнимыми.

4. Вводятся более «слабые» значения уровней согласия и несогласия (меньший по значению уровень согласия и больший уровень несогласия), при которых выделяются ядра с меньшим количеством альтернатив.

5. В последнее ядро входят наилучшие альтернативы. Последовательность ядер определяет упорядоченность альтернатив по качеству.

Индексы согласия и несогласия

В различных методах семейства ELECTRE индексы согласия и несогласия строятся по-разному. Основные идеи построения этих индексов далее будут показаны на примере метода ELECTRE 1.

1. Каждому из N критериев ставится в соответствие целое число р, характеризующее важность критерия. Б. Руа предложил рассматривать р как «число голосов» членов жюри, голосующих за важность данного критерия.

2. Выдвигается гипотеза о превосходстве альтернативы А над альтернативой В. Множество I, состоящее из N критериев, разбивается на три подмножества:

1. – подмножество критериев, по которым А предпочтительнее В;

2. – подмножество критериев, по которым А равноценно В;

3. – подмножество критериев, по которым В предпочтительнее А.

3. Далее формулируется индекс согласия с гипотезой о превосходстве А над В (в других методах семейства ELECTRE используются индексы сильного и слабого превосходства).

Индекс согласия подсчитывается на основе весов критериев. Так, в методе ELECTRE 1 этот индекс определяется как отношение суммы весов критериев подмножеств и к общей сумме весов:

. (2.13)

4. Индекс несогласия d_AB с гипотезой о превосходстве А над В определяется на основе самого «противоречивого» критерия – критерия, по которому В в наибольшей степени превосходит А.

Чтобы учесть возможную разницу длин шкал критериев, разность оценок В и А относят к длине наибольшей шкалы.

Укажем очевидные свойства индекса согласия:

1. 0 < c_ab < 1;

2. c_ab = 1, если подмножество пусто;

3. c_ab сохраняет значение при замене одного критерия на несколько с тем же общим весом.

Приведем свойства индекса несогласия:

1) 0 < d_ab < 1;

2) d_ab сохраняет значение при введении более детальной шкалы по i-му критерию при той же ее длине.

5. Введенные индексы используются при построении матриц индексов согласия и несогласия для заданных альтернатив.

С методологической точки зрения введение понятия несравнимости было важным этапом развития теории принятия решений. Если оценки альтернатив в значительной степени противоречивы (по одним критериям одна намного лучше другой, а по другим – наоборот), то такие противоречия никак не компенсируются и такие альтернативы сравнивать нельзя.

Понятие несравнимости исключительно важно и с практической точки зрения. Оно позволяет выявить альтернативы с «контрастными» оценками, как заслуживающие специального изучения. Похожие идеи используются и в других методах семейства ELECTRE.

Важно отметить, что уровни коэффициентов согласия и несогласия, при которых альтернативы сравнимы, представляют собой инструмент анализа в руках ЛПР и консультанта. Задавая эти уровни и постепенно понижая требуемый уровень коэффициента согласия и повышая требуемый уровень коэффициента несогласия, они исследуют имеющееся множество альтернатив.

При заданных уровнях на множестве альтернатив выделяется ядро недоминируемых элементов, которые находятся либо в отношении несравнимости, либо в отношении эквивалентности. При изменении уровней из данного ядра выделяется меньшее ядро и т.д. Аналитик предлагает ЛПР целую серию возможных решений проблемы в виде различных ядер. В конечном итоге можно получить одну лучшую альтернативу. При этом значения индексов согласия и несогласия характеризуют степень «насилия» над данными, при которых делается окончательный вывод.

Важным достоинством методов ELECTRE является поэтапность выявления предпочтений ЛПР в процессе назначения уровней согласия и несогласия и изучения ядер. Детальный анализ позволяет ЛПР сформулировать свои предпочтения, определить компромиссы между критериями.

Использование отношений несравнимости позволяет выделить пары альтернатив с противоречивыми оценками, остановиться на ядре, выделение которого достаточно обосновано с точки зрения имеющейся информации. Трудности при применении методов ELECTRE связаны с назначением ЛПР весов. В ряде случаев при выделении ядер возникают циклы.