Методическое пособие 432
.pdfлучим схему на рис. 8.11 в. Запишем систему компонентных уравнений по закону Ома в виде
i C |
duC |
, |
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
di |
|
|
|
uL |
L |
|
, |
(8.56) |
|||
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
ur ri. |
|
|
Уравнение второго закона Кирхгофа принимает вид
ur uL uC 0. (8.57)
Подставляя в него компонентные уравнения, получим дифференциальное однородное уравнение второго порядка для напряжения на емкости
|
du |
C |
|
d2u |
|
|
|
|
rC |
|
LC |
C |
u |
C |
0. |
(8.58) |
|
|
|
|
||||||
|
dt |
dt2 |
|
|
В каноническом виде можно записать
|
d2u |
|
r du |
C |
|
1 |
u |
|
0. |
(8.59) |
|||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|||||||
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
LC |
|||||||||
|
|
L dt |
|
|
|
|
|||||||||||
Введем обозначения |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
(8.60) |
|||||||
|
|
|
2L |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
(8.61) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
где – коэффициент затухания (его размерность 1/с), а 0 –
резонансная частота колебательного контура. Тогда дифференциальное уравнение можно записать в виде
d2u |
du |
2u |
|
|
|
|
C |
2 |
C |
C |
0. |
(8.62) |
|
|
dt |
|||||
dt2 |
0 |
|
|
Запишем характеристическое уравнение
p2 2 p 2 |
0, |
(8.63) |
0 |
|
|
два корня которого имеют вид
131
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
, |
||
p |
|
|
0 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(8.64) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p |
2 |
2 2 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Как видно, возможны три варианта корней характеристического уравнения, соответствующие трем режимам свободных колебаний в контуре:
1) два комплексных некратных корня (колебательный режим) при условии
0 или r 2 , (8.65)
где L/C – характеристическое сопротивление контура; 2) два действительных кратных корня (критический
режим) при условии |
или |
r 2 ; |
|
0 |
(8.66) |
||
3) два действительных некратных корня (апериодиче- |
|||
ский режим) при условии |
или |
r 2 . |
|
0 |
(8.67) |
Рассмотрим свободный процесс в колебательном режиме, который возникает при малом сопротивлении потерь в контуре (8.65). При этом условии из (8.64) запишем
p |
j |
СВ |
, |
(8.68) |
||
1 |
|
|
|
|
||
p2 |
j СВ , |
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
СВ 02 2 |
(8.69) |
– частота свободных колебаний в контуре. Как видно, име-
ются два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действительной частью. Общее решение дифференциального уравнения (принужденная компонента отсутствует) имеет вид
u (t) Aep1t A ep2t . |
(8.70) |
||
C |
1 |
2 |
|
Выразим через него ток индуктивности (в контуре) в виде
i(t) C |
duC |
C A1p1ep1t A2 p2ep2t . |
(8.71) |
|
|||
|
dt |
|
Подставим в (8.70) и (8.71) значение t 0 и приравня-
132
ем результаты начальным условиям (8.55), в результате получим систему уравнений для постоянных интегрирования
|
A A |
E, |
|
1 2 |
(8.72) |
A1 p1 A2 p2 0.
Его решение имеет вид |
|
p2 |
|
|
|||
A E |
|
, |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
p1 |
p2 |
|
||
|
|
|
(8.73) |
||||
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
A E |
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
p1 |
p2 |
|
||
|
|
|
|
Подставляя постоянные интегрирования в общее решение (8.70), получим
uC (t) E |
p2 |
ep1t E |
p1 |
ep2t . |
(8.74) |
|
|
||||
|
p1 p2 |
p1 p2 |
|
Используя выражения (8.68) для корней характеристического уравнения, можно записать
|
|
|
j |
|
j |
|
|
t |
|
|
j |
|
|
j |
|
t |
|
|
||||||||||
u (t) E |
|
|
|
|
СВ |
e |
|
СВ |
|
|
|
|
|
|
|
СВ |
e |
СВ |
|
|
. (8.75) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
C |
|
j2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
СВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СВ |
|
|
|
|
|
|
|||
Преобразуя, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
j СВ |
ej СВt |
j СВ |
e j СВt |
|
|
|
|
|||||||||||||||
uC (t) Ee t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j2 |
СВ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
СВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (8.76) |
||||||
Ee t |
ej СВt e j СВt |
|
|
|
ej СВt |
e j СВt . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
СВ |
|
2j |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Используя известные соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos( ) |
ej e j |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ej |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.77) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
j |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
sin( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окончательно запишем выражение для свободного колеба-
133
тельного процесса в контуре
uC (t) Ee t cos( СВt)
sin( СВt) . (8.78)
СВ
Как видно, получена действительная функция времени, представляющая собой гармоническое колебание с частотой свободных колебаний СВ (8.61) и с затухающей по экспонен-
те амплитудой, множитель в показателе экспоненты (8.60)
– коэффициент затухания. Зависимость uC (t) при E 1В, r 20Ом, L 1мГн и C 1нФ показана на рис. 8.13.
Рис. 8.13
Пунктирной линией показано экспоненциальное затухание амплитуды свободных колебаний. При малом сопротивлении потерь r (большой добротности контура Q) колебания затухают медленно. В рассматриваемом случае добротность равна 50.
На рис. 8.14 показаны те же зависимости при больших сопротивлениях потерь r 200Ом (Q 5) и r 1000Ом (Q 1). Как видно, даже в последнем случае имеют место затухающие гармонические колебания.
134
Рис. 8.14
Сопротивление потерь r влияет на частоту СВ (8.65)
и период TСВ 2 / СВ колебаний, как показано на рис. 8.15.
Рис. 8.15
Как видно, при малых r частота свободных колебаний
практически совпадает с резонансной частотой 0 . |
При |
r 2 частота колебаний падает до нуля (период TСВ |
стре- |
мится к бесконечности). |
|
Рассмотрим свободный процесс в критическом режиме, который возникает при условии (8.66). В этом случае корни характеристического уравнения одинаковы (двукратный корень), действительны и отрицательны,
p1 p2 . |
(8.79) |
135 |
|
Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения равно (1.30)
u |
(t) (A |
A t)e t . |
(8.80) |
C |
1 |
2 |
|
Выразим через uC ток в цепи (ток индуктивности)
i(t) C |
duC |
C A e t A 1 t e t . |
(8.81) |
|
|
||||
|
dt |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Подставим значение t 0 и приравняем результат начальным условиям, тогда можно записать систему уравнений для постоянных интегрирования
|
A1 |
E, |
|
|
|
|
(8.82) |
A |
A 0. |
||
|
1 |
|
2 |
В результате получим |
|
|
|
|
A E, |
||
|
|
1 |
(8.83) |
|
A2 |
E, |
тогда общее решение дифференциального уравнения принимает вид
u (t) E(1 t)e t . |
(8.84) |
C |
|
Зависимость напряжения на емкости uC (t) в критиче-
ском режиме показана на рис. 8.16 сплошной линией, там же пунктиром отображается кривая в колебательном режиме.
Рис. 8.16
136
Рассмотрим свободный процесс в апериодическом режиме, который возникает при условии (8.67). При этом корни характеристического уравнения действительны, отрицательны и различны
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
, |
||
p |
|
|
0 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(8.85) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p |
2 |
2 2 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид (8.70). Выражая из него ток в цепи (индуктивности) и используя начальные условия, получим значения постоянных интегрирования (8.69)
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
A E |
|
|
E |
|
0 |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
p1 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 02 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.86) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 02 |
|
||||||||||||||||||
A E |
|
|
|
|
|
|
E |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
p1 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Как видно, значение A1 положительно, а A2 – отрица- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
тельно, так как |
|
|
2 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате окончательно получим выражение для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
напряжения на емкости в апериодическом режиме |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
uC (t) E |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(8.87) |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 8.17 сплошной линией показана зависимость напряжения на емкости в апериодическом режиме, штрихпунктирной линией показана аналогичная кривая в критическом режиме, а пунктирной – в колебательном.
137
Рис. 8.17
8.4. Расчет переходного процесса в цепи второго порядка
Рассмотрим цепь второго порядка, схема которой показана на рис. 8.18, в которой в момент времени t 0 включается идеальный источник напряжения с ЭДС E . До коммутации в цепи отсутствовали источники сигналов, следовательно начальные условия равны нулю,
uC1(0) 0, |
uC2(0) 0. |
(8.88) |
Рис. 8.18
Запишем систему уравнений цепи после коммутации:
138
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 R1i1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2i2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
R i , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
C |
duC1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
duC2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iC2 |
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i1 i2 iC1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 uC1 E, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 uC2, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uC1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
u . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из седьмого уравнения получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
1 |
|
|
u |
C2 |
C |
|
|
duC2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тогда из второго уравнения следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
R2 |
u |
C2 |
R C |
|
|
duC2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
и далее из девятого |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
C2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
uC1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
R 1 uC2 R2C2 dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из четвертого уравнения найдем ток |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2u |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
iC1 C1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
R2C1C2 |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
dt |
|
dt2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из шестого уравнения определим ток i1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2u |
C2 |
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
i1 |
|
uC2 C1 |
|
|
|
|
1 |
C2 |
|
|
|
|
|
R2C1C2 |
|
|||||||||||||||||||||||
R |
|
R |
|
|
|
dt |
|
|
|
dt2 |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и далее напряжение u1
(8.89)
(8.90)
(8.91)
(8.92)
(8.93)
(8.94)
139
|
R |
|
|
R |
|
du |
C2 |
|
d2u |
C2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
u1 |
|
uC2 R1 C1 |
|
1 |
C2 |
|
R1R2C1C2 |
|
. (8.95) |
|||
R |
R |
dt |
dt2 |
|||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате из восьмого уравнения с учетом (8.82) и (8.95) получим
|
R |
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
du |
|
||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
R1C2 |
R2C2 |
C2 |
|
|
|
R |
|
|
R |
dt |
||||||||
R |
1 uC2 |
R1C1 |
1 |
|||||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
. (8.96) |
|
|
|
|
|
|
d2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
R R C C |
E. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поделим обе части уравнения на множитель при старшей производной, тогда
|
d2u |
C 2 |
|
|
R C |
|
R |
2 |
R |
|
R |
C |
2 |
R R |
2 |
du |
C 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R R |
R |
C C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(8.97) |
|||||
|
|
R1 R2 R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
u |
C 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R R |
|
C C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R R |
R |
|
C C |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Введем обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
R1C1 R2 |
R3 R3C2 R1 |
R2 |
, |
(8.98) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1R2R3C1C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
R1 R2 |
|
R3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.99) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1R2R3C1C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.100) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1R2C1C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Окончательно получим неоднородное дифференциаль- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ное уравнение второго порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d2u |
C 2 |
|
2 |
|
du |
C 2 |
|
|
2uC 2 |
2E. |
|
|
(8.101) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Запишем характеристическое уравнение |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 2 p 2 |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.102) |
решение которого имеет вид
140