Методическое пособие 432
.pdf
|
|
2 |
RН r |
, |
|
|
|
|
(10.23) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
LCRН |
|
|
|
|
|
|||||||
(проведите преобразования самостоятельно). |
|
||||||||||||||
Первый полюс изображения UC (p) равен |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
p1 0, |
|
|
|
|
|
|
(10.24) |
||||
а два других определяются из решения уравнения |
|
||||||||||||||
p2 2 p |
2 |
0, |
|
|
|
(10.25) |
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
, |
|
|
|
||||||
p |
2 |
|
0 |
|
|
(10.26) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
||||
p 2 |
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
В результате из (10.21) получим |
|
|
|||||||||||||
UC (p) |
E |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
(10.27) |
||
LC p p p2 p p3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
Это изображение уже рассматривалось ранее (3.10) при замене a p2 , b p3 и его оригинал равен выражению
(3.24), которое можно преобразовать к виду
f (t) |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
p2e |
p |
t |
p3e |
p |
t |
. |
(10.28) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
||||||
p |
2 |
p |
p |
2 |
p |
p |
3 |
p |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом (10.26) получим выражение для напряжения емкости (проведите преобразования самостоятельно)
|
R |
|
|
|
|
e |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
|||||
uC |
(t) E |
Н |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
02 e |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 2 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
r RН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
02 e |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
Результат зависит от свойств полюсов p2 и p3 . Выде-
ляются три варианта, соответствующих режимам переходного процесса. Колебательный режим возникает при условии
0 , |
(10.30) |
161
которое при подстановке (10.22) и (10.23) принимает вид
|
rR |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|||
|
C |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Н |
|
|
2 |
. |
(10.31) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
RН (RН r) |
|
|
|
C |
|
Обратитесь к материалу, посвященному стационарным гармоническим процессам в последовательном колебательном контуре, где введено характеристическое сопротивление
|
L |
, |
(10.32) |
|
|||
|
C |
|
тогда (10.31) преобразуется к виду
rR 2 |
2 . |
(10.33) |
Н |
||
|
RН (RН r)
Если выполняется типичное для колебательного контура условие
RН r , |
(10.34) |
то получим неравенство
r |
2 |
(10.35) |
2 . |
RН
В теории последовательных колебательных контуров известна величина
2 /RН ,
равная эквивалентному сопротивлению потерь, вносимому в контур активной нагрузкой RН (найдите этот материал). При RН неравенство (10.33) преобразуется к полученному ранее условию колебательного режима в контуре без нагрузки.
Обозначая
|
|
|
|
|
|
|
R r |
|
R r 2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||
|
СВ |
|
|
|
Н |
|
Н |
|
, (10.36) |
||
|
R |
4 2R2 |
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
Н |
|
|
тогда из (10.29) получим
162
|
|
|
R |
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
C |
(t) E |
|
|
1 e |
t |
|
cos( |
СВ |
t) |
|
sin( |
СВ |
t) |
|
(10.37) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
r R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СВ |
|
|
|
|
(проведите эти преобразования самостоятельно). Зависимость напряжения на емкости (10.37) от времени
при Е 10В, С 1нФ, L 1мГн, r 100Ом для RН 1МОм показана на рис. 10.7 а и для RН 2кОм – на рис. 10.7 б. Как видно, процесс является колебательным, начинается со значения uC (0) 0 и стремится к величине
uC |
(t ) E |
RН |
(10.38) |
|
r RН |
||||
|
|
|
в стационарном режиме.
Рис. 10.7
Зависимости от сопротивления нагрузки RН коэффици-
ента затухания , частоты свободных колебаний СВ и резо-
нансной частоты 0 (пунктирная линия) показаны на рис. 10.8.
Как видно, с уменьшением сопротивления нагрузки увеличиваются потери мощности сигнала в контуре и колебания затухают быстрее, а их частота понижается, пока выполняется условие (10.30).
163
|
|
Рис. 10.8 |
|
||
При выполнении условия |
|
|
|
||
|
|
0 , |
|
|
(10.39) |
которое принимает вид |
|
|
|
||
|
|
rR 2 |
|
2 , |
(10.40) |
|
|
Н |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
RН (RН r)
в цепи возникает критический режим свободных колебаний.
Это условие можно преобразовать к виду |
|
|||||
4 2R2 rR |
Н |
2 2 , |
(10.41) |
|||
Н |
|
|
|
|
|
|
откуда следует условие критического режима в виде |
|
|||||
R |
|
|
|
2 |
|
|
Н КР |
|
|
. |
(10.42) |
||
|
||||||
|
|
|
2 r |
|
Выражение для uC (t) можно получить из (10.29) рас-
сматривая его предел при 0 и используя разложение экспоненты в ряд Маклорена
ex 1 x и e x 1 x. (10.43)
В результате получим (проведите расчет самостоятельно)
uC (t) E |
RН |
1 e t (1 t) . |
(10.44) |
|
|||
|
RН r |
|
Этот же результат следует из таблицы преобразований
164
Лапласа [6] вида |
|
|
1 e at (1 at) , |
|
|
1 |
|
1 |
(10.45) |
||
|
p(p a)2 |
a2 |
|||
|
|
|
|
(проверьте это самостоятельно).
В апериодическом режиме свободных колебаний при
0 , |
(10.46) |
или |
|
rR 2 |
2 , |
(10.47) |
Н |
||
|
RН (RН r)
Напряжение на емкости определяется выражением (10.29). Зависимости напряжения на емкости в колебательном
(10.37), критическом (10.45) и апериодическом (10.29) режимах от времени при Е 10В, С 1нФ, L 1мГн, r 100Ом для различных RН (RН КР 476 Ом) показаны на рис. 10.9.
Рис. 10.9
10.4. Расчет свободного процесса в цепи второго порядка
Рассмотрим нагруженный последовательный колебательный контур (рис. 10.10 б), в котором выключается действовавший до коммутации источник напряжения (рис. 10.10 а). Начальные условия свободного процесса имеют вид
165
|
iL |
(0) |
|
E |
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
RН |
r |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(10.48) |
|||
|
|
|
|
|
|
RН |
|
||
u |
C |
(0) E |
|
. |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
RН r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Эквивалентная операторная схема цепи показана на рис. 10.10 в.
Рис. 10.10
Воспользуемся методом узловых напряжений, выразив операторные токи ветвей через операторное напряжение на емкости UC (p),
|
IL(p) |
U |
C |
(p) Li |
L |
(p) |
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r pL |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
u (0) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
IC |
(p) pC UC (p) |
|
|
C |
|
, |
(10.49) |
||||||
|
|
p |
|
||||||||||
|
|
|
U |
|
(p) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||||
|
IН (p) |
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
RН |
|
|
|
|
|
|
|
По первому закону Кирхгофа можно записать |
|
||||||||||||
|
IL(p) IC (p) IН (p), |
|
(10.50) |
166
тогда с учетом (10.49) получим уравнение |
|
|
|
|
||||||
|
U |
С (p) LiL(0) |
|
|
uC (0) |
|
|
UС (p) |
, |
(10.51) |
|
|
|
pC UС |
(p) |
|
|
|
|
||
|
r pL |
p |
R |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
решение которого имеет вид
U |
C |
(p) |
1 |
|
LiL(0) rCuC (0) |
|
puC (0) |
(10.52) |
|
|
|
p2 2 p 2 |
|||||||
|
|
LC p |
2 2 p 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
(получите это выражение самостоятельно), где определяет-
ся из (10.22), а 02 – из (10.23). Вынося за скобку uC (0) и ис-
пользуя выражения для начальных условий, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
rC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
U |
C |
(p) u |
C |
(0) |
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(10.53) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 2 p 02 |
||||||||||||
|
|
LC p2 2 p 02 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
С учетом (10.22) можно записать |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
||
|
UC (p) uC (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
p |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
2 p 0 |
|
|
|
|
|
2 p 0 |
, |
(10.54) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
uC (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(p p )(p p |
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где полюсы p1 и p2 определяются из (10.26). Оригинал (10.54) можно найти, воспользовавшись известным [7] преобразованием Лапласа
p d |
|
a d |
eat |
b d |
ebt . |
(10.55) |
(p a)(p b) |
a b |
|
||||
|
|
a b |
|
Условия колебательного, критического и апериодического режимов определены в предыдущем подразделе. Получите самостоятельно выражения для мгновенных значений напряжения на емкости uC (t), постройте их временные диа-
граммы, сравните их с полученными ранее результатами. Эти зависимости при Е 10В, С 1нФ, L 1мГн, r 100Ом для различных RН (RН КР 476 Ом) показаны на рис. 10.11.
167
Рис. 10.11
10.5. Задания для самостоятельного решения
Задание 10.1. Операторным методом рассчитайте переходные процессы в цепях на рис 10.12 а и рис. 10.12 б при выключении (рис. 10.12 в) и включении (рис. 10.12 г) источника тока.
Рис. 10.12
Задание 10.2. Операторным методом рассчитайте переходные процессы в цепях на рис 10.13 а и рис. 10.13 б при выключении (рис. 10.13 в) и включении (рис. 10.13 г) источника напряжения.
Задание 10.3. Исследуйте влияние сопротивления потерь r нагруженного колебательного контура рис. 10.10 на временные диаграммы напряжения на емкости uС (t).
168
Рис. 10.13
Задание 10.4. Рассмотрите свободные процессы в цепях первого (рис. 10.14 а) и второго (рис. 10.14 б) порядка, которые исследуется в ходе лабораторной работы «Свободные процессы в линейных цепях».
Рис. 10.14
11. ВРЕМЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
11.1. Постоянная времени цепи
Постоянная времени электрической цепи – это интервал времени, в течение которого свободная составляющая переходного процесса в цепи первого порядка или
амплитуда свободной составляющей колебательного про-
цесса в цепи второго порядка уменьшается в e 2,71 раз от своего начального значения.
Свободная составляющая переходного процесса всегда в целом затухающая функция времени, так как она возникает за счет энергии, накопленной в реактивных элементах цепи до
169
коммутации.
В цепи первого порядка свободная составляющая sСВ (t) изменяется по экспоненциальному закону вида
s |
(t) S |
m |
e t , |
(11.1) |
СВ |
|
|
|
|
где – коэффициент затухания. Зависимость sСВ (t) |
показана |
|||
на рис. 11.1, там же отмечена постоянная времени. |
|
|
Рис. 11.1 |
|
|
|
||||
Из (11.1) можно записать |
|
|
|
|
|
|||
S0e (t ) |
|
S |
0 |
e t |
|
, |
(11.2) |
|
|
|
e |
|
|||||
откуда следует |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
, |
|
|
(11.3) |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
то есть постоянная времени цепи |
обратно пропорциональна |
|||||||
коэффициенту затухания . |
|
|
|
|
|
|
В колебательном режиме в цепи второго порядка по экспоненциальному закону затухает амплитуда свободной со-
ставляющей |
|
SСВ(t) S0e t , |
(11.4) |
как показано на рис. 11.2. |
|
170