Методическое пособие 438
.pdf2.3.2. Основные типы задач и методы их решения
Тип 1. Определение количества теплоты, полученного газом, работы расширения газа и изменения его внутренней энергии в заданном процессе перехода.
Метод решения. Использование первого начала термодинамики, уравнения состояния идеального газа, формул внутренней энергии, работы расширения газа и количества теплоты для заданного процесса.
Тип 2. Определение теплоемкостей газа или смеси газов по заданной массе, молярной массе и числу степеней свободы.
Метод решения. Используются: а) формулы для расчета количества теплоты для заданного процесса; б) связь между удельной и молярной теплоемкостями газа; в) формулы для определения молярных теплоемкостей при постоянном объеме и постоянном давлении через число степеней свободы.
Тип 3. Нахождение характеристик тепловых и холодильных машин, определение их эффективности.
Метод решения. Представление тепловой или холодильной машины в виде соответствующего обратимого цикла на диаграмме pV ; проведение энергетических расчетов на основе уравнения состояния для рабочего тела и уравнений процессов перехода для участков цикла.
Тип 4. Расчет изменения энтропии идеального газа при переходе из одного состояния в другое.
2 Q
Метод решения. Применение формулы S .
1 T
Подсчет изменения энтропии целесообразно проводить по тому пути, который связан с наибольшей простотой расчета, независимо от реального процесса перехода из одного состояния в другое.
101
2.3.3. Примеры решения задач
Задача 1. Один киломоль идеального газа, имеющего первоначально температуру T1 290К, расширяется изобарически до тех пор, пока его объем не возрастет в 2 раза. Затем газ охлаждается изохорически до первоначальной температуры. Определить: а) приращение внутренней энергии газа; б) работу, совершенную газом; в) количество полученного газом тепла.
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
p |
|
|
|
|
Представим переход газа из одного |
|||
|
|
|
состояния в другое графически в системе |
|||||
|
1 |
2 |
|
|||||
p1 |
|
координат |
pV (рис.37). При |
изобарном |
||||
|
|
3 |
|
переходе (прямая 1-2) происходит |
||||
|
|
|
повышение температуры, следовательно, |
|||||
0 |
V1 |
V2 |
V |
увеличение внутренней энергии газа, и, |
||||
кроме |
того, |
совершается |
работа, |
|||||
|
Рис.37 |
|
представленная |
на |
графике |
|||
|
|
|
|
заштрихованной площадью. При этом |
||||
переходе газ получает от внешнего источника количество |
||||||||
теплоты, определяемое первым началом термодинамики |
Q12 U12 A12 .
Работа в этом процессе с учетом того, что V2 2V1 , будет равна
m
A12 p1(V2 V1) p1V1 M RT1 .
При изохорном охлаждении газа от температуры T2 до первоначальной температуры T1 происходит уменьшение внутренней энергии газа за счет теплоты Q23 , отданной газом
окружающей среде. Газ в этом процессе работы не совершает, следовательно
A23 0, Q23 U23 .
102
Полное изменение внутренней энергии складывается из изменения энергии на участке 1-2 и изменения энергии на участке 2-3. Поскольку в данном случае начальная и конечная температуры совпадают, то
U12 U23 ,
и поэтому
U U12 U23 0.
Количество полученного газом тепла в процессе перехода 1-2-3 определяется алгебраической суммой
Q13 Q12 Q23 .
С учетом предыдущего, имеем
Q13 A12 RT1 2,4 106 Дж.
Задача 2. Определить удельные теплоемкости cV и cP
смеси газов, содержащей кислород массой m1 0,01 кг и аргон
массой |
m2 0,02 |
кг. Молярная масса кислорода |
M1 32кг/кмоль, молярная масса аргона M2 40кг/кмоль. |
Решение По определению, количество теплоты, сообщенное
смеси газов при постоянном объеме, равно
Q cV mdT ,
где cV - удельная теплоемкость рассматриваемой смеси
идеальных газов.
С другой стороны, выражение для Qможно записать как сумму
Q Q1 Q2 (cV1m1 cV 2m2 )dT ,
где cV1,cV 2 ,m1,m2 - удельные теплоемкости и массы
кислорода и азота соответственно. Приравнивая правые части этих выражений, получим
cV (m1 m2 ) cV1m1 cV 2m2 ,
отсюда
103
c |
cV1m1 cV 2m2 |
. |
|
|
|
|
|||
V |
m1 |
m2 |
|
|
|
|
|||
Проведя аналогичные |
преобразования, |
получим |
выражение, связывающее удельную теплоемкость смеси при постоянном давлении с удельными теплоемкостями кислорода и азота
cp cp1m1 cp2m2 . m1 m2
В свою очередь, удельные теплоемкости идеальных газов при постоянном объеме и постоянном давлении определяются формулами
|
c |
|
CV1 |
|
i1R |
, |
c |
|
CV 2 |
|
i2R |
, |
|
|||||||||
|
V1 |
|
|
M1 |
|
2M1 |
|
V 2 |
|
|
M2 |
|
|
2M2 |
|
|||||||
cp1 |
|
Cp1 |
|
|
(i 2)R |
, |
cp2 |
|
Cp2 |
|
(i |
|
2)R |
, |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
M1 |
|
|
2M1 |
M2 |
|
2M2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где i - число степеней свободы молекулы.
Кислород, как двухатомный газ, обладает пятью степенями свободы, т.е. i1 5, а одноатомный газ аргон,
обладает тремя степенями свободы, т.е. i2 3.
Учитывая представленные выражения для удельных
теплоемкостей кислорода и азота, |
для смеси газов получим |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2m2 |
|
|
|
||||||
cV |
|
|
|
|
|
|
i1m1 |
|
|
|
; |
|
||||||||||
2(m m |
|
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
M |
1 |
|
|
M |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R |
|
|
|
|
(i1 |
2)m1 |
|
|
(i2 2)m2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cp 2(m m |
|
) |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
. |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка числовых значений дает следующий результат
cV 424 Дж/(кг К); cp 649 Дж/(кг К).
104
Задача 3. Определить коэффициент полезного действия цикла, состоящего из двух изобар и двух изохор, если в пределах цикла давление изменяется в 2 раза, а объем в 4 раза. Рабочим веществом является один моль идеального газа с показателем адиабаты .
Решение Представим данный цикл в координатах pV (рис.38). При обходе контура по часовой стрелке система работает как тепловой двигатель с
коэффициентом полезного действия
|
A |
. |
|
||
|
Q1 |
|
где Q1 - теплота, |
полученная от |
p
p2 12
p1 |
4 |
3 |
0 V1 |
V2 V |
Рис.38
нагревателя.
Полная работа, совершенная рабочим телом, определяется интегралом по замкнутому контуру, который может быть заменен суммой работ на каждом участке и равен
2 4
A pdV p2dV p1dV (p2 p1)(V2 V1) 6p1V1 .
1 3
Найдем теперь теплоту, которую получает или отдает рабочее тело на каждом этапе цикла. Этапы 1-2 и 3-4 представляют собой изобарические процессы, поэтому
Q12 Cp (T2 T1) 0,
Q34 Cp (T4 T3 ) 0.
Для этапов 2-3 и 4-1, являющихся изохорическими,
имеем
Q23 CV (T3 T2 ) 0,
Q41 CV (T4 T1) 0.
105
Следовательно, получаемое тепло от нагревателя определяется суммой Q1 Q12 Q41 , а теплота Q2 Q34 Q23 отдается холодильнику.
Используя уравнения состояния идеального газа, определим соотношения между температурами. Для
изобарных процессов 1-2 и 3-4, получим |
V2 /V1 |
T2 /T1 |
4, |
||||||||||||
или T2 4T1 , и аналогично T3 |
4T4 . |
|
|
|
|||||||||||
С |
другой |
стороны, |
|
для изохорных |
процессов |
||||||||||
p1 / p4 T1 |
/T4 |
2, или T1 2T4 , и аналогично T2 |
2T3 . |
|
|||||||||||
Общее |
количество |
|
теплоты, |
получаемое |
от |
||||||||||
нагревателя, равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Q1 Q12 Q41 3CpT1 CV T1 CVT1(3 1). |
|
|||||||||||||
Учитывая, что для одного моля идеального газа |
|
||||||||||||||
|
|
C |
i |
R |
3 |
R, и |
p1V1 |
R, |
|
|
|||||
|
|
V |
2 |
|
2 |
|
|
|
T |
|
|
|
|||
получим окончательно |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
6p1V1 |
|
|
4 |
|
|
. |
|
|
|||
|
|
CVT1(3 1) |
(3 1) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изобарного, адиабатного и изотермического процессов. При изобарном процессе рабочее тело, представляющее идеальный газ, нагревается от температуры T1 200 К до T2 500 К. Определить коэффициент полезного действия данного теплового двигателя и сравнить его с максимальным КПД цикла Карно, работающего при тех же температурах.
Решение
Представим данный цикл в координатах pV (рис.39). После изобарного расширения (прямая 1-2), газ нагревается от температуры T1 до температуры T2 , затем адиабатно (кривая 2-3) расширяется до тех пор, пока его температура не
106
будет |
равна начальной |
T1 , |
после |
p |
|
|
|
|
|
|
|||
чего |
изотермическим |
сжатием |
|
1 |
2 |
|
|||||||
p |
|
|
|||||||||||
(кривая 3-1) газ возвращается в |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
исходное состояние. |
|
Q1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
Количество теплоты |
газ |
|
|
|
|
|
||||||
получает |
только в процессе 1-2, а |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
V1 |
V2 V3 V |
|||||||||||
отдает |
|
тепло |
в процессе |
3-1. |
|
|
|
|
Рис.39 |
||||
Процесс |
2-3 |
происходит |
|
без |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
теплообмена. В этом случае, согласно определению коэффициента полезного действия, имеем
Q1 Q2 .
Q1
Количество теплоты, получаемое рабочим телом при изобарном процессе,
|
|
Q |
m |
C |
p |
R T |
m |
|
i 2 |
R(T |
|
T ), |
||
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
M |
|
|
M 2 |
2 |
1 |
|||||||
где Cp |
i 2 |
R - |
молярная |
теплоемкость |
|
при постоянном |
||||||||
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
давлении, i 3 - число степеней свободы одноатомного газа. |
||||||||||||||
Количество теплоты, отдаваемое рабочим телом при |
||||||||||||||
изотермическом сжатии, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
m |
RT ln |
V3 |
. |
|
|
M |
|
|
||||
|
2 |
|
1 |
V |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Для нахождения неизвестного отношения |
V3 /V1 , |
||||||
воспользуемся уравнениями |
изобарного и адиабатного |
||||||
процессов. |
|
|
|
|
|
|
|
Для изобарного процесса 1-2 |
|
|
|
V2 /V1 T2 /T1 .
Для адиабатного процесса 2-3, согласно уравнению Пуассона,
(V3 /V2 ) 1 T2 /T3 .
107
Учитывая, что T3 T1, получаем
V |
T |
1/( 1) |
|
||
|
3 |
|
2 |
|
. |
V |
|
T |
|||
2 |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
Перемножая почленно первое и последнее равенства,
имеем
|
|
V |
|
T |
/( 1) |
||||||||
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
V |
T |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
T2 |
|
|||
Q |
|
|
RT |
|
ln |
. |
|||||||
|
M |
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
1 1 |
|
T |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Выразив коэффициент Пуассона через число степеней свободы, найдем
i 2 ,
|
|
1 |
2 |
|
|
|||
Q |
|
|
m |
|
i 2 |
RT ln |
T2 |
. |
|
M 2 |
|
||||||
|
2 |
|
1 |
T |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
После подстановки полученного выражения в формулу для КПД цикла и преобразования, имеем окончательно
1 |
|
T1 |
ln |
T2 |
0,39. |
|
T1 |
T1 |
|||
T2 |
|
|
Коэффициент полезного действия цикла Карно при тех же температурах будет, как и ожидалось, существенно выше
K T2 T1 0,6.
T2
Задача 5. Тепловую машину, работающему по циклу Карно с коэффициентом полезного действия 40%, начинают использовать при тех же условиях как холодильную машину. Найти величину холодильного коэффициента и количество теплоты, которое эта машина может перенести за
108
один цикл от холодильника к нагревателю, если к ней подводится работа, равная 200 Дж.
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
p |
|
|
|
|
|
В данном случае холодильная |
||
|
|
1 |
|
|
машина работает по обратному циклу |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Карно (рис.40). Эффективность такой |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
машины характеризуется отношением |
||
|
|
|
2 |
3 |
|
отнятой у холодильника теплоты Q2x |
||
|
|
|
|
|
к совершенной для этого работе |
|||
|
|
|
|
|
V |
|||
0 |
|
|
|
внешних сил A |
|
: |
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис.40 |
Q2x |
. |
|
|
|||
|
|||
|
A |
Эту величину принято называть холодильным коэффициентом.
Полная работа за цикл, согласно первому началу термодинамики, равна количеству теплоты, получаемой и отдаваемой за цикл, т.е.
A Q1x Q2x ,
где Q1x - количество тепла, переданного окружающей среде.
При этом
Q |
|
Q |
|
|
m |
RT ln |
V3 |
, Q |
Q |
m |
RT ln |
V4 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
2x |
|
23 |
|
|
M |
|
|
2 |
|
V |
2 |
|
|
1x |
|
41 |
|
|
M |
1 |
|
|
|
V |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Записав уравнения адиабат для процессов 1-2 и 3-4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
TV 1 T V 1 |
, |
|
|
T V |
1 |
T V 1 |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
с учетом того, что T1 |
T4 |
и T2 |
T3 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
V4 |
|
|
V3 |
|
и тогда |
Q |
|
|
m |
RT ln |
V3 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1x |
|
|
M |
1 |
|
|
V |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Работа внешних сил за один цикл |
|
|
|
V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A A Q |
|
|
Q |
|
|
m |
Rln |
(T T |
) . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1x |
|
2x |
|
|
M |
|
|
V2 |
1 |
|
2 |
|
|
Таким образом,
109
|
Q2x |
|
T2 |
. |
Q1x Q2x |
|
|||
|
T1 T2 |
Сдругой стороны, при прямом цикле
A Q1 Q2 .
Q1 Q1
Поскольку машина обратима, она забирает от холодильника столько же теплоты, сколько передает ему при прямом цикле. Отсюда
|
|
Q2x |
|
|
|
Q2 |
|
A |
(1 ) |
, |
Q2x |
|
|
|
1 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|||
Подстановка числовых значений дает: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Q1x 300Дж, |
1,5. |
|
|
|
|||||||||
Задача 6. Найти изменение энтропии при переходе |
|||||||||||||||||||
водорода |
массой |
|
m 0,006кг от |
объема |
V1 20л под |
||||||||||||||
давлением |
p 1,5 105 Па, к объему |
V |
2 |
60л под давлением |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 105 Па.
Решение
По определению
S Q ,
T
С учетом первого закона термодинамики
Q dU A m C dT m R dV |
|
M V |
M V |
после подстановки и интегрирования, получим
|
m |
2 |
dT |
|
m |
2 |
dV |
|
m |
|
T2 |
|||
|
|
CV |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
S M |
T |
M |
V |
|
M |
ln T |
||||||||
CV |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
Из уравнения Менделеева-Клапейрона
T2 p2V2 . T1 p1V1
Подставляя данное соотношение, найдем
110
,
RlnV2 .
V1