Методическое пособие 438
.pdfb c , т.е. число |
a(b c), или, что то же |
(b c)a . |
Обозначение: abc .
Смешанное произведение векторов a,b,c равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух
сомножителей – меняет знак на обратный:
abc bca cab (bac) (cba) (acb).
Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю
|
|
|
|
aac 0. |
|
|||
Выражение |
смешанного |
произведения |
через |
|||||
координаты сомножителей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
abc |
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
x3 y3 |
z3 |
|
|
|
|
Двойным |
векторным |
произведением называется |
||||||
выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
a (b c) b a,c c a,b . |
|
1.3. Производная и дифференциал
Предел к которому стремится отношение бесконечно малого приращения функции y f x к бесконечно малому приращению аргумента x , называется производной и обозначается следующим образом
Запоминание этой формулы облегчается тем, что ее можно прочесть как «бац» минус «цаб».
181
lim |
y |
|
dy |
y |
|
f |
|
|
|
||||||
x 0 x |
|
dx |
|
|
|
|
Производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой y f x
в |
точке |
f x (рис.П9) |
Если |
||
f |
|
то при |
увеличении |
||
x 0, |
|||||
xфункция |
|
f x |
возрастает, |
||
если |
f |
|
|
при |
|
x 0то |
|||||
возрастании |
xфункция |
f x |
уменьшается.
В физике принято производные по времени обозначать символом соответствующей величины с точкой над ним, например,
|
dr |
|
d2r |
|
|
|
r , |
|
r . |
|
dt |
dt2 |
||
Дифференциалом функции |
y f x называется |
произведение производной на приращение аргумента: dy f x dx,
|
f x по x. |
где f x - производная |
Производную функции y по аргументу x бывает удобно обозначать через дифференциалы
y dy . dx
Производная сложной функции равна производной по вспомогательной переменной, умноженной на производную этой переменной по аргументу
dy dy du . dx du dx
182
Дифференциал произведение двух функций равен сумме произведений каждой функции на дифференциал другой
d(uv) udv vdu .
Дифференцировал дроби:
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
u |
|
vdu udv |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
||||
|
Полный |
дифференциал |
функции |
нескольких |
|||||||||||||||
переменных u f x, y,z определяется по формуле |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
du |
f |
dx |
f |
dy |
f |
dz , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
||||||
где |
f |
, |
f |
, |
f |
- |
частные |
|
|
производные |
функции по |
||||||||
x |
y |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующим переменным. Для нахождения частной
производной, например f , достаточно найти обыкновенную
x
производную переменной f, считая последнюю функцией одного аргумента x.
|
Производные элементарных функций |
Таблица П1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Функция |
производная |
|
функция |
производная |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y C conct |
y 0 |
|
y cosx |
y sin x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
y nx |
n 1 |
|
y tgx |
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
y x |
|
cos2 x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
y n |
x |
|
|
|
y ctgx |
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y n |
lnn |
|
sin2 x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y ex |
y ex |
|
y arcsin x |
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 x2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
183 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл.П1
y ln x |
y |
1 |
|
|||
x |
||||||
|
|
|
|
|||
y loga x |
y |
1 |
loga e |
|||
|
||||||
|
|
x |
||||
y sin x |
y cosx |
|||||
|
|
|
|
|
|
y arccosx |
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 x2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
y arctgx |
y |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
1 x2 |
|
|
||||||
y arcctgx |
y |
1 |
|
|
|
|
|||
1 x2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1.4. Элементы интегрального исчисления
Понятие об интеграле.
Пусть задана функция y f (x) и
надо |
найти |
площадь |
|
«криволинейной трапеции» аАBb. |
|
||
Разобьем площадь под кривой на |
|
||
n частей и построим ступенчатую |
|
||
фигуру, показанную штриховкой |
|
||
на рис.П10. Предел суммы |
|
||
площадей |
«прямоугольных |
Рис. П10 |
|
ступенек» |
при |
n и есть |
интеграл. Обозначение
b |
|
|
f x dx lim |
f xi xi |
|
a |
x 0 |
i 1 |
Т.о. геометрический смысл определенного интеграла – площадь фигуры ограниченной ординатами графика y f (x).
t2
Механический смысл – путь материальной точки: S (t)dt;
t1
s2
работа силы: A F(s)ds . Кроме того с помощью
s1
определенного интеграла можно вычислить массу, момент инерции и т.п.
184
Функция F x называется первообразной от функции f x , если выполняется равенство
F dF(x) f x . dx
Вычисление интеграла сводится к нахождению функции по данному выражению ее дифференциала.
Неопределенным интегралом данной функции f x называется наиболее общий вид его первообразной функции.
f x dx F x C,
где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если известно, что при данном значении аргумента x a функция принимает значение f (a) b, то С находится из соотношения
b F(a) C.
Свойства неопределенного интеграла:
знак дифференциала перед знаком интеграла уничтожает последний:
df (x)dx f (x)dx
постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
af (x)dx a f (x)dx
интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:
( f1(x) f2(x) f3(x))dx f1(x)dx f2(x)dx f3(x)dx
185
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица П2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Первообразные элементарных функций |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интеграл |
первообразная |
Интеграл |
первообразная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xndx |
|
x |
|
|
|
C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
tg( |
x |
|
|
) |
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dx |
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
C |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgx C |
||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
axdx |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
sin xdx |
cosx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||
cosxdx |
|
sin x C |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
tgxdx |
ln |
|
cosx |
|
C |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ctgxdx |
ln |
|
|
sin x |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
|
|
x2 a2 |
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
dx |
|
ln |
|
tg |
x |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln |
|
|
x a |
|
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x |
|
|
|
x2 |
a2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
x a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя свойства неопределенного интеграла, можно в ряде случаев свести интегрирование к табличным формулам.
При интегрировании способом подстановки вместо переменной x вводят вспомогательную переменную z=z(x). Тогда подынтегральное выражение преобразуется в более простой вид, что облегчает интегрирование
186
f (x)dx (z)dz.
Пример: 2x 1dx.
Введем переменную
z = 2x - 1,
дифференцируя, получаем
dz=2dx, откуда dx=dz/2.
Тогда подынтегральное выражение примет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
dx |
|
|
|
|
dz |
|
1 |
|
z |
2 |
|
C |
1 |
z |
C. |
|||||||||
2x 1 |
z |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Возвращаясь к переменной x, находим: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2x |
1dx |
(2x 1)2 C |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
Интегрированием |
по |
|
частям |
|
называется |
сведение |
||||||||||||||||||||
данного интеграла ud |
к |
|
интегралу du |
с |
помощью |
|||||||||||||||||||||
формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ud u du .
Примеры:
1) exxdx.
Представляем подынтегральное |
выражение |
в |
виде |
||||||
x(exdx) xdex . Здесь роль u играет |
x, |
роль - функция ex . |
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||
x(exdx) xex exdx xex ex C |
|
|
|||||||
2) xln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
||
Подынтегральную |
функцию |
представим |
в |
виде |
|||||
ln xd( |
1 |
x2) (здесь u ln x, |
1 |
x2 ), это |
дает |
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
187 |
|
|
|
|
lnxd( |
1 |
x2) ln x( |
1 |
x2) |
1 |
x2dln x |
1 |
|
x2 ln x |
1 |
x2 |
dx |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 ln x |
1 |
x2 C |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для вычисления интегралов вида |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin2n xdx, cos2n xdx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
удобно пользоваться формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
1 cos2x |
, |
sin2 x |
1 cos2x |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример: sin2 |
xdx = |
1 cos2x |
dx |
1 |
x |
1 |
sin2x C |
|||||||||||||||||||||
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение элементарных функций в степенные ряды
Для разложения функции f(x) в ряд, расположенный по степеням используют ряд Тейлора
f (x0)
Ниже
|
f (x0) |
(x x )+ |
f (x0) |
(x x )2 |
+… |
f n(x0) |
(x x )n +… |
|
|||||||
|
1! |
0 |
2! |
0 |
|
n! |
0 |
|
|
|
|
|
даны разложения простейших функций по степеням х:
e x 1 |
x |
|
|
|
x2 |
|
|
x3 |
|
... |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1! |
2! |
3! |
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
x3 |
x5 |
|
x7 |
||||||
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
||
1! |
3! |
|
5! |
|
7! |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx 1 |
|
x2 |
|
x |
4 |
|
|
|
x6 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||||||
2! |
4! |
6! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ln(1 x) x |
|
x2 |
|
x3 |
|
x4 |
|
... |
|||||||||||||
2! |
|
3! |
|
4! |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(1 x)m 1 mx |
m(m 1) |
x2 |
|
|
m(m 1)(m 2) |
x3 ... |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
Многие интегралы, не выражающиеся через элементарные функции, можно представить в виде рядов.
188
1.5. Понятие градиента потенциала
Градиент некоторой физической величины U – это вектор, совпадающий с нормалью n к поверхности
одинакового |
значения |
U(x,y,z), направленный в сторону его |
||||||||||||||||
возрастания и имеющий величину |
|
U / n (рис.1.9) . |
||||||||||||||||
|
В декартовой системе |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
U |
|
|
U |
|||||
|
gradU |
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
k |
U , |
||||
|
x |
|
y |
z |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
i |
|
|
j |
|
|
k оператор Гамильтона ( Набла ). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x y z
189
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Трофимова, Т.И. Курс физики [Текст]: учеб. пособие для вузов / Т.И. Трофимова. – М.: Издательский центр
«Академия», 2007. - 560 с.
2.Детлаф, А.А. Курс физики [Текст] : учеб. пособие для втузов / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. - М. : Высшая школа, 1989. - 608 с.
3.Савельев, И.В. Курс общей физики [Текст]: в 5 кн.: учеб. пособие для втузов / И.В. Савельев. - М.: АСТ: Астрель, 2005.
4.Яворский Б.М. Справочник по физике для инженеров
истудентов вузов [Текст]: учеб. пособие / Б.М. Яворский, А.А. Детлаф, А.К. Лебедев. - М.:Оникс, 2006. – 1056 с.
5.Чертов А.Г. Задачник по физике [Текст]:учеб. пособие для студентов втузов / А.Г Чертов, А.А. Воробьёв. -
М.: Высш. шк., 1988.-527с.
6.Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики [Текст]:учеб. пособие для студентов втузов / В.С. Волькенштейн. - С.Пб.: Специальная литература, 1999. - 328с.
7.Иродов И.Е. Задачи по общей физике : Учеб. пособие для вузов [Текст]/ И. Е. Иродов . – 3. изд., перераб . – Москва : Бином: Владос, 1998 . – 447 с.
8.Новодворская Е.М. Методика проведения упражнений по физике во втузе [Текст]: учеб. пособие для студентов втузов / Е.М. Новодворская, Э.М. Дмитриев. –
М.:Высш.школа, 1981.- 318 с.
9.Новиков С.М. Сборник заданий по общей физике [Тест]: учеб.пособие для студентов вузов / С.М. Новиков. – М.:
ООО «Издательство «Мир и образование»», 2006. – 512 с.
190