Методическое пособие 544
.pdf
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
cos d |
|
|
||||||
|
e |
|
sin |
|
|
|
e |
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos d |
|
I . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, для |
нахождения |
имеется дифференциальное |
|||||||||||||||||||||
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I 0 |
|
|
||||||||
уравнение |
I |
и начальное условие |
. |
||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая эту задачу Коши,
dI |
|
|
|
dI |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
I; |
|
d ; ln I |
|
ln c ; I ce |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d |
|
2 |
|
I |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
; c |
, |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
находим |
e |
4 |
. |
Подставим полученный интеграл в |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
153 : |
u x, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
решение |
|
x |
|
|
4 |
d . |
Воз- |
||||||||||||||
|
|
f |
|
|
e |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вращаясь к старым переменным, получим искомую формулу Пуассона:
где
f1
|
x |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
u x, t |
|
f |
e |
4a |
t |
d , |
|||
|
|
|
|
|
|
154 |
|
||
2a |
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– начальная температура различных точек стержня.
Пример 1. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
на
f |
|
1 |
|
ut
Решение.
Решение задачи прямой задаѐтся
x e |
x |
получаем |
|
u |
, x , , t 0, , |
||||
|
xx |
|
|
|
|
u |
|
|
e |
x |
, x , . |
t 0 |
|
||||
|
|
|
|
Коши для уравнения теплопроводности формулой Пуассона 154 . Для a 1,
91
|
x |
|
2 |
u x, t |
1 |
e |
|
e |
|
4t |
d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, для решения задачи необходимо вычислить данный интеграл.
1. Производим подстановку в интеграле:
|
|
|
|
|
|
x y, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t y x, d 2 tdy. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем u x, t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t y xe y2 dy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
e 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Выделяя полный квадрат в соотношении |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
2 |
2 |
t y x y |
2 |
2 |
t y t t x y |
|
t |
2 |
t x, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x, t |
1 |
|
|
|
|
|
y t |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
y |
t |
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
e |
e |
t x |
dy |
e |
t x |
e |
dy |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
t |
2 |
|
y t |
e |
t x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
e |
t x |
e |
|
d |
|
|
|
e |
t x |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 2. Используя формулу Пуассона, найти решение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задачи Коши для уравнения теплопроводности. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
3u , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
e |
4 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на
f1
Решение.
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
прямой задаѐтся формулой Пуассона 154 . |
Для |
a 1, |
|||
x e |
2 |
6 x |
|
|
|
4 x |
получаем |
|
|
||
|
|
|
|
u x, t |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
e 4 |
|
6 e |
|
12t d . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
3 t |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, для решения задачи необходимо вычислить данный интеграл.
92
1. Производим подстановку в интеграле:
x |
y, 2 |
3t y x, d 2 |
3tdy. |
|
12t |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
6 2 3t y x |
|
|
|
||
Имеем u x, t |
|
|
e |
4 2 3t y x |
e |
y2 |
dy. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Выделяя полный квадрат в соотношении |
|||||||||||
y |
2 |
4 |
2 |
3t y x |
2 |
6 2 |
3t y x |
||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 48ty2 163t yx 4x2 123t y 6x
y2 48t 1 43t y 4x 3 4x2 6x
|
2 |
48t 1 2 y |
48t 1 |
|
2 |
3t |
4x 3 |
|
|
12t 4x 3 |
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
48t 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12t |
4x 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 3 |
|
2 |
|
12t |
4x 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
48t 1 2 |
3t |
|
|
|
|
4x |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 3 |
|
2 |
|
12t 4x |
3 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
48t 1 2 |
|
3t |
|
|
4x |
2 |
6x, |
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
имеем
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
2 |
|
|
6t 4 x 3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 2 |
|
|
|
|
2 |
|
3x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
y |
48t 1 |
4 x 3 |
|
|
48t 1 |
2 x |
|
|
|
||||||||||
|
u x, t |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6t 4 x 3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
2 |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
48t 1 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
48t 1 |
2 x |
|
48t 1 |
y |
|
4 x 3 |
|
|
|||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
dy |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93
|
|
|
|
|
6t 4 x 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 x |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 2 |
|
|
|
3t |
4 x 3 |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1dy |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6t 4 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
|
48t 1 2 |
48t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d y |
48t 1 |
2 |
|
|
4x 3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
6t 4 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6t 4 x 3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 x |
3x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 x |
3x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
48t 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи теплопроводности для полуограниченного стержня.
Аналогично тому, как это делалось для волнового уравнения колебаний полубесконечной струны, можно решать начально-краевые задачи для полуограниченного стержня. Рассмотрим две наиболее простые такие задачи.
u |
|
|
|
|
u |
|
||||
|
|
|
a |
|
2 |
|
|
; |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
t |
|
|
|
x |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u |
|
|
|
f |
x , 0 x ; |
||||
|
t |
0 |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
u |
|
|
0, 0 t . |
||||||
|
|
|||||||||
|
x 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
155
Формулу Пуассона здесь применить нельзя, так как
функция |
f1 x |
не определена для отрицательных значений |
аргумента. Доопределим функцию |
f1 x |
нечѐтным образом |
относительно начала координат:
94
|
|
f |
x , если x 0, |
||
F |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
x , если x 0. |
||
1 |
|
|
|
||
|
|
f |
|||
|
|
|
|
1 |
|
156
Тогда решение уравнения теплопроводности запишется в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x, t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F e |
|
4a |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Воспользовавшись нечѐтностью функции |
|
F1 |
и формулой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
156 , преобразуем это выражение к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
||||||
u x, t |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
e |
|
|
2 |
|
|
d |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
d |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
4a |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
F e |
|
4a |
t |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2a |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ , d d ] |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
4a |
t |
d |
|
|
|
|
|
|
e |
4a |
t |
d |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2a |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
157 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f |
|
|
|
e |
|
4a |
t |
|
e |
|
|
4a |
t |
|
d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2a |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x 0 |
это решение, как следует из формулы 157 , |
|
|
u |
x 0 |
|
0
для любого момента времени t.
Итак, решение начально-краевой задачи 155 даѐтся
формулой
157 .
Согласно этой формуле краевое условие
u |
x 0 |
|
0
выполняется, если для
x
разместить мгновенные
точечные источники тепла разных знаков симметрично относительно начала координат.
Рассмотрим вторую начально-краевую задачу
95
u |
|
|
|
|
u |
|
||||
|
|
|
a |
|
2 |
|
|
; |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t |
|
|
|
x |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u |
|
|
|
f |
x , 0 x ; |
||||
|
t |
0 |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0, 0 t . |
|||||||
x |
x 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
158
Эта ситуация соответствует случаю, когда левый конец стержня теплоизолирован.
Доопределим функцию f1 x |
чѐтным образом относи- |
|||
тельно начала координат, введя новую функцию |
F2 x : |
|||
f |
x , если x 0, |
|
||
|
1 |
|
|
|
F2 x |
f |
x , если x |
0. |
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Записывая формулу Пуассона и совершая преобразования, аналогичные предыдущим, получим:
|
|
|
u x, t |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
e |
x 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
4a2t |
d |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2a |
t 0 |
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
4a |
t |
|
e |
4a |
t |
|
d . |
|
||||||
|
|
|
f |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2a |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
159
Проверим, что эта функция удовлетворяет граничному усло-
вию. Найдѐм производную |
u |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x e |
|
|
|
|
|
|
x e |
|
|
|
d . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
4a |
t |
4a |
t |
|
||||||||||||
|
x |
|
4a |
|
t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда видно, что если |
x 0, |
то |
u |
|
x 0 |
0. |
Согласно форму- |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
159 |
граничное условие u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ле |
x 0 |
0 будет выполняться, ес- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ли мгновенные точечные источники тепла одинаковых знаков
96
разместить симметрично относительно
Поэтому в силу чѐтности функции |
f1 x |
начала координат.
производная |
u |
в |
|
x |
|||
|
|
нуле всегда равна нулю.
Итак, решение начально-краевой задачи даѐтся форму-
лой 159 .
3.5. Уравнения эллиптического типа
Задачи, приводящие к эллиптическим уравнениям. Постановка краевых задач.
При изучении стационарных явлений разной физической направленности (колебания, теплопроводность, диффузия и др.), как правило, получают уравнения эллиптического класса. Самое известное уравнение данного класса – уравне-
ние Лапласа u 0.
Зависимость |
u |
именуется гармонической в области |
T |
при условии еѐ непрерывности в данной области одновременно со своими производными до второго порядка и выполнения для них уравнения Лапласа.
При исследовании свойств гармонических зависимостей получены разные математические способы, которые можно с успехом использовать и для уравнени гиперболического и параболического классов.
Рассмотрим стационарное тепловое поле. При изучении уравнений параболического типа получено, что для температуры нестационарного теплового поля справедливо дифференциальное уравнение теплопроводности
|
|
k |
|
ut a2 u a2 |
|
|
. |
|
|||
|
|
c |
При условии, что явление стационарно, устанавливается распределение температуры u x, y, z , постоянное во времени и, значит, для него выполняется уравнение Лапласа
97
u 0.
160
Если присутствуют источники тепла, то приходим к уравнению
|
|
u f , f |
F |
, |
|
|
|
k |
|
||
|
|
|
|
|
|
здесь |
F |
– плотность источников тепла, |
k |
теплопроводности. Неоднородное уравнение
161
– коэффициент
Лапласа |
161 |
обычно именуют уравнением Пуассона.
Выделим объѐм |
T , |
который ограничен некоторой по- |
верхностью . |
Задача стационарного распределения темпера- |
туры u x, y, z |
внутри данного объѐма T ставится так: опре- |
делить зависимость u x, y, z , для которой внутри T выпол- |
няется уравнение
|
|
|
|
|
u f x, y, z |
|
162 |
||
и граничное условие одного из трѐх типов: |
|
|
|||||||
|
а) |
u f1 |
на |
(первая краевая задача), |
|
|
|||
|
б) |
u |
|
f2 на |
(вторая краевая задача), |
|
|||
|
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
в) |
u |
h |
u f3 0 на (третья краевая задача), |
|||||
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
здесь |
f1 |
, f2 , |
f3 |
, h – известные зависимости, |
u |
– производ- |
|||
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ная по внешней нормали к поверхности .
Замечание. Ясно, что стационарное распределение температуры устанавливается только тогда, когда суммарный поток тепла сквозь границу области нулевой. Таким образом,
для зависимости |
f2 |
необходимо выполнение ещѐ одного |
условия: f2d 0.
98
Первую краевую задачу для уравнения Лапласа обычно именуют задачей Дирихле, а вторую краевую задачу – задачей
Неймана. |
|
|
При условии, что находится решение в области |
T0 , |
|
внутренней (или внешней) относительно поверхности |
, |
со- |
ответственная задача называется внутренней (или внешней)
краевой задачей.
Задача Дирихле в круге.
Предположим, что имеется круг с радиусом R и центром, являющимся полюсом O полярной системы координат. Найдѐм зависимость u r, , которая является гармониче-
ской в круге и на его окружности для неѐ справедливо требо-
вание
u |
r R |
f , |
|
|
f
– известная зависимость, являю-
щаяся непрерывной на границе круга. Для неизвестной зависимости требуется выполнения в круге уравнения Лапласа
r |
2 2u |
r |
u |
|
2u |
0. |
163 |
r2 |
r |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
Для нахождения решения данной задачи воспользуемся методом разделения переменных. Предположим, что решение уравнения, удовлетворяющее заданному граничному усло-
вию, находится в форме u Q r T t . |
В этом случае имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
Q |
|
r T |
rQ r |
T Q r T |
|
|
0. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Производим разделение аргументов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Q |
|
r |
|
T |
|
|
T |
|
θ |
|
|
|
r2Q |
|
r |
|
|
rQ |
|
r |
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
r |
|
Q |
|
r rQ |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Полагая обе части |
последнего соотношения равными кон- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
станте k |
2 |
, |
|
будем иметь пару обыкновенных дифференци- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
альных уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
T |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
k T |
0, r Q |
|
r rQ |
|
r k Q r 0. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, для |
k 0 получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
T A B , |
|
|
|
|
|
|
164 |
|||||||
|
|
|
|
Q |
|
r |
|
C D ln r. |
|
|
|
|
|
165 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если же |
k 0, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
166 |
||||||
|
|
|
|
|
Acos k B sin k , |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а решение |
второго |
уравнения будем определять в форме |
|||||||||||||||||
Q r r |
|
, |
отсюда |
имеем |
r |
m m 1 r |
m 2 |
rmr |
m 1 |
k |
|
r |
|
0 |
|||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
m |
|
или |
r |
|
m |
|
k |
|
0, |
||
|
m |
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
отсюда |
m k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q r Cr |
k |
Dr |
k |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
167
Замечание. Зависимость u r, |
по аргументу явля- |
||
ется периодической с периодом |
2 , |
поскольку для одно- |
|
значной функции величины u r, и |
u r, 2 совпадают. |
||
Следовательно, из соотношения 163 |
вытекает, что B 0, а в |
соотношении
1, 2, ..., k 0 .
166
k
может принимать одно из значений
Далее, в соотношениях
165
и |
167 |
необходимо вы-
полнение условия D 0, иначе зависимость будет терпеть
разрыв в точке |
r |
Таким образом, |
мы |
дифференциального
0 и не являться гармонической в круге. имеем бесконечное семейство решений
уравнения 163 , удовлетворяющих за-
данному граничному условию, непрерывных в круге, которые (несколько изменив обозначения) можно представить в форме
100