Методическое пособие 544
.pdfпервая из которых зависит только от аргумента |
x, |
а вторая – |
|||||||||||||
только от t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находя вторые производные от соотношения |
68 по x |
||||||||||||||
и по t, в результате подстановки их в уравнение |
65 |
полу- |
|||||||||||||
чим |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
X x T |
t X x T t , |
|
|
||||||
|
t |
|
2 |
|
t |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
X |
x T |
t X x T t , |
|
|
|||||
|
x |
2 |
|
x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
X x T t a |
|
X x T t , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
1 T t |
|
X x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
. |
|
|
69 |
||||||||
|
|
|
a |
2 |
T t |
X x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Соотношение |
69 |
должно |
выполняться |
при |
любых |
||||||||||
x 0, l и t |
0. Отличительная |
|
черта соотношения 69 – |
возможность разделения переменных, то есть левая часть этого равенства зависит только от t, а правая – только от x. То-
гда, при условии, к примеру, фиксации
x,
правая часть, а,
следовательно, и левая обязаны сохранять постоянное значение при любых значениях t. Точно также левая часть, а вме-
сте с ней и правая часть соотношения при фиксации |
t |
долж- |
ны сохраняться при изменении x. Отсюда следует, что соотношение 69 выполнимо только тогда, когда обе его части не зависят ни от x, ни от t, то есть являются постоянной ве-
личиной. Придав данной константе разделения символ |
со |
||||||
знаком минус, запишем 69 в форме |
|
||||||
|
1 T t |
X x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
. |
70 |
|
a2 |
T t |
X x |
||||
|
|
|
|
|
51 |
|
|
Следовательно, функции
T t
и
X x
представляется
возможным найти, решая обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
|
T t a2T t 0; X x X x 0. |
|
|
С целью выполнения для частных решений в форме |
|
68 |
граничных условий 67 |
для всякого t 0 должны удо- |
влетворяться условия X 0 0 |
и X l 0. |
|
|
Тогда для нахождения координатной функции X x |
нужно решить такую задачу: дифференциальное уравнение
X x X x
решить линейное однородное
0, 0 x l, |
71 |
|
для которого на границах
X 0
x 0 и
0, X l
x l0.
выполняются условия
72
Для каждого ненулевое решение
const
X x 0.
для данной задачи существует Однако, для некоторых значе-
ний константы 0 |
для задачи 71 , |
72 существуют и |
|
ненулевые решения. |
Данные значения |
|
именуются соб- |
ственными значениями, а отвечающие им ненулевые решения
X x – собственными функциями задачи 71 , 72 . Задача
определения собственных значений и собственных функций именуется задачей Штурма-Лиувилля.
Рассматривая снова задачу 71 и 72 , исследуем все
варианты, когда константа разделяющая постоянная нулевая, меньше нуля или больше нуля.
В случае |
0 |
общее решение уравнения |
71 |
пред- |
ставляет собой линейную функцию X торой оба условия 72 выполняются
x C1x C2 , |
для ко- |
только тогда, когда
52
C172
C2 0. Следовательно, в случае 0 для задачи |
|
существует лишь нулевое решение X x 0. |
|
В случае 0 то общее решение уравнения |
71 |
71 ,
X x C e |
|
x |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
при подстановке в граничные данные ма
C e |
x |
|
|
2 |
|
72 |
получается систе- |
|
|
|
|
|
C C |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
C e |
l |
0. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
C e |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку детерминант данной однородной системы |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
D e |
|
|
|
2 |
l |
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
l e l |
e |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e l |
|
|||||
для |
каждого |
0 отличен от нуля, |
она имеет только одно |
||||||||||||||||||||
решение C1 |
C2 0. |
Таким образом, |
для задачи 71 , |
72 |
|||||||||||||||||||
не существует отрицательных собственных чисел. |
|
||||||||||||||||||||||
|
При |
0 |
общее |
|
решения |
|
уравнения |
71 |
|||||||||||||||
X x C1 cos |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x C2 sin |
x может удовлетворить гранич- |
|||||||||||||||||||||
ным условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
0 C 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
||
|
|
|
l C cos |
|
|
l C sin |
l 0 |
||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при |
C1 0, |
но C2 C 0, если определитель системы |
73 |
D sin |
l 0, |
что выполняется |
образом, только для собственных
n 2 , n n
l
при
чисел
N,
l n, n N.
Таким
74
53
задача |
71 , |
72 |
|
имеет в роли ненулевых решений семей- |
|||||||
ство собственных функций |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
X |
|
x sin |
nx |
, n N, |
|
|
|
||
|
|
n |
l |
|
75 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ортогональных на промежутке 0, l . |
|
|
|
|
|||||||
Любому |
собственному |
числу |
n отвечает |
функция |
|||||||
Tn t , |
определяемая |
|
из |
решения |
уравнения |
|
n |
2 |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
t |
|||
T t |
|
|
|
|
a T |
|
|
n |
l |
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
t |
a |
||
|
|
|
|
n |
|
|
n |
0. |
Его общее решение записывается в |
cos |
na |
t b sin |
na |
t, |
76 |
|
|||||
|
|
|
|||
|
l |
n |
l |
|
|
|
|
|
|
здесь
an и bn – произвольные константы. |
|
После подстановки соотношений 75 |
и 76 в выра- |
жение |
68 , |
определим частные решения |
уравнения |
65 , |
||||||||||||||||||
для которых выполняются граничные данные |
|
67 . |
Тогда |
|||||||||||||||||||
любому n N соответствует решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
u |
|
x, t |
|
|
a |
|
cos |
na |
t |
b sin |
na |
t |
|
sin |
nx |
. |
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77 |
|||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Наложение всех решений в форме |
77 |
|
nx |
|
|
|||||||||||||||||
u x, t |
|
|
|
|
|
na |
|
|
na |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a cos |
|
|
t b sin |
|
|
t |
|
sin |
|
|
|
78 |
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тоже есть решение уравнения 65 , для которого выполняются граничные данные 67 , в этом случае представляется возможным подыскать константы an и bn в уравнении 78 при условии выполнения для функции в виде ряда 78
54
начальных данных
66 .
С этой целью продифференцируем
почленно ряд |
78 |
|
по t : |
|
na |
|
|
|
na |
|
|
|
nx |
|||||||
|
u |
|
|
na |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a sin |
|
t b |
|
cos |
|
t |
|
sin |
|
|||
|
t |
|
l |
|
|
n |
|
l |
n |
|
l |
|
|
l |
||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и для t 0 |
потребуем выполнения начальных данных |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
x , 0 x l; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
u |
t 0 |
|
a |
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u |
|
|
|
|
na |
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
b sin |
|
x , 0 x |
l. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
|
|
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Соотношения |
79 |
есть разложение исходных функций |
||||||||||||||||||
и x |
в ряды Фурье по ортогональной в промежутке |
79
x0, l
|
|
|
|
|
системе тригонометрических функций |
nx |
Тогда |
||
sin |
|
. |
||
|
|
l |
n 1 |
|
коэффициенты an |
и |
na |
bn |
данных разложений есть коэф- |
|
|
l |
||||
|
|
|
|
|
|
фициенты Фурье |
n |
и |
n |
функций x и x . Находя |
данные коэффициенты с использованием формул ЭйлераФурье, имеем
|
|
|
|
|
2 |
|
l |
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
x sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
an |
l |
|
l |
dx; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
nx |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
2 |
x sin |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
na |
|
|
na |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
ряд |
78 |
с коэффициентами |
an |
и |
bn , |
определѐнными по выражениям краевой задачи 65 – 67 .
80 ,
даѐт решение заданной
55
ду:
где
|
Решение 78 |
можно преобразовать к следующему ви- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
u x, t un x, t n cos nt n sin |
l |
, |
81 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
b |
2 |
; |
|
|
na |
; |
|
arctg |
b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
n |
|
|
l |
|
|
a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Каждое из слагаемых |
un x, t в уравнении |
81 |
описы- |
вает движение струны в виде стоячей волны, которая образуется в результате наложения прямой и обратной бегущих волн при отражении их от концов струны. Эти стоячие волны называются простыми тонами или гармониками.
В стоячей волне все частицы струны колеблются с одинаковой частотой
|
n |
, |
a |
T |
|
. |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
||
n |
1 |
1 |
l |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
82
Эти частоты n , n N, называются ми колебаний ограниченной струны.
собственными частота-
Самая низкая частота 1
соответствует основному тону струны, а более высокие частоты, кратные 1 , соответствуют обертонам. Изменяя длину
струны или силу еѐ натяжения T0 , можно изменять частоты колебаний n .
|
Для |
n -ой стоячей волны точки струны с координатами |
|||||
xm |
ml |
, m 0, n, в которых sin |
nx |
0, |
|
||
|
m |
остаются всѐ время |
|||||
n |
l |
||||||
|
|
|
|
|
неподвижными. Они называются узлами стоячей волны (рис.
7, |
|
тѐмные |
точки). |
Точки струны с координатами |
||
xm |
|
2m 1 l |
, m 1, n, |
совершают колебания с максимальной |
||
2 |
n |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
56 |
амплитудой, равной n . Такие точки носят название пучностей стоячей волны (рис. 7, светлые точки).
Рис. 7. Стоячие волны
Пример 1. Решить однородное волновое уравнение
|
|
|
u |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
4 |
x |
2 |
|
, t 0, 0 x 1, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с начальными данными |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
u |
|
t 0 |
0, |
u |
|
t 0 |
x 1 x , 0 x 1, |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
t |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и однородными граничными данными |
||||||||||||||||
|
|
|
|
u |
|
x 0 |
0, u |
|
x l |
0, t 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
1. Находим ненулевое решение заданного уравнения в форме произведения двух функций
u x, t X x T t .
Определяя вторые производные этого выражения по x и по
t, в результате подстановки их в заданное уравнение имеем |
|||
2u |
|
|
X x T t X x T t , |
t2 |
t |
||
|
|
|
57 |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
X x T t X x T t , |
||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X x T t 4X x T t , |
|
|
|
||||||||||||||||||
или |
|
T t |
|
|
|
X x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 T t |
X x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Поэтому функции |
|
T t |
|
и |
X x |
являются решениями обык- |
|||||||||||||||||||
новенных дифференциальных уравнений T |
|
t 4T t 0; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
X x X x 0, X 0 X 1 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. Решаем задачу |
X |
|
x X x 0, X 0 X 1 0. |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k 2 0, k 2 , k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
i; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X x C1 cos |
|
x C2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
X 0 C 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
n, |
2 |
n |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
X 1 C sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
n |
x sin nx, n N. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Каждому собственному значению n |
соответствует функция |
||||||||||||||||||||||||
Tn t , |
которую |
|
|
|
находим |
из |
решения |
|
уравнения |
Tn t 4 2n2Tn t 0. Общее решение данного уравнения за-
писывается в форме |
T |
t a |
cos 2 nt b sin 2 nt, |
здесь |
a |
n |
|
n |
n |
n |
|
|
иbn – произвольные константы.
3.Решение исходной краевой задачи ищем в виде
u x, t an cos 2 nt bn sin 2 nt sin nx,
n 1
u t 0 0, u t 0 x 1 x , u x 0 u x 1 0.
58
|
|
|
|
|
|
u |
t 0 |
|
a sin nx 0, a |
0. |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
Дифференцируя функцию
t |
|
|
|
2 |
|
u |
|
|
|
n 1 |
|
u |
по t |
nb cos |
|
|
n |
, получим 2 nt sin nx;
ut t 0 2 nbn sin nx x 1 x .
n 1
Определяя коэффициенты |
bn |
|||||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
1 |
x 1 x sin nxdx |
||||||||||||||
n |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
b |
n |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
2 |
x cos nx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 2x |
|
sin |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по формулам Эйлера – Фурье,
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
x |
2 |
x d cos nx |
||||||
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2x 1 |
|
cos nxdx |
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x d sin nx |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
0 |
|
2 |
|
sin nxdx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Подставляя функции u,
|
|
|
2 |
|
cos nx |
0 |
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 |
n |
4 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
0, b |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
, k N. |
|
|
|
|
|
2k |
1 |
4 |
||||
2k |
2k 1 |
|
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
найденные коэффициенты в выражение для получим
|
|
4 |
|
|
|
|
u x, t |
|
|
|
sin 2 |
2k 1 t sin 2k 1 x. |
|
|
|
|
|
|||
4 |
2k |
1 |
4 |
|||
k 0 |
|
|
|
59
Пример 2. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.
|
|
u |
1 |
u , x |
|
0, |
3 |
, t |
0, , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
tt |
4 |
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
, ut |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u |
t 0 |
x x |
|
|
|
t 0 0, u |
x 0 |
u |
|
3 |
0. |
||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
1. Будем |
искать |
нетривиальное |
решение |
исходного |
|
уравнения |
в |
виде |
произведения |
двух |
функций |
u x, t X x T t . Дифференцируя дважды это выражение |
|||||
по x и по t, |
после подстановки его в исходное уравнение по- |
лучим |
|
|
|
|
|
X x T t , |
|
u X x T t |
|
||
tt |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
xx |
|
или 4 |
T t |
|
X x |
|
T t |
X x |
|||
|
|
Поэтому функции |
T |
X
Xx T
.
t |
и |
x T tt
X x
|
X x T t , |
|
|
||
|
x |
|
1 |
X x T t , |
|
4 |
||
|
являются решениями обык-
новенных дифференциальных уравнений
X x X x 0, X 0 |
X |
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
0. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
2. Решаем задачу X |
|
x X x 0, |
|||||||||
|
|||||||||||
k |
2 |
0, k |
2 |
, k |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2 |
|
X x C1 cos |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x C2 sin |
|
4T t T t 0;
X0 X 2 0.
i;
x;
60