Учебное пособие 415
.pdfЕ, то уравнение (4) задает функцию y = y(x) с |
областью |
|
|||||
определения D и областью значений E. |
|
|
|||||
Если |
в |
|
некоторой |
окрестности |
|||
(x0 , y0 = y(x0 )) функция |
F(x,y) |
дифференцируема |
и |
||||
Fx¢(x0 , y0 ) ¹ 0 , то уравнение (4) определяет функцию у = у(х), |
|
||||||
дифференцируемую в точкеx0 , причем ее производная |
|
||||||
определяется формулой |
|
Fx¢(x0 |
, y0 ) |
|
|
|
|
|
y¢(x0 ) = - |
. |
(5) |
|
|||
|
Fy¢(x0 |
|
|
||||
|
|
|
, y0 ) |
|
|
1.Вычисляем частные производные Fx¢(x, y) и Fy¢( x, y) в
точке (x0 , y0 ) , где y0 есть корень уравнения F (x0 , y) = 0.
2.Находим y ¢(x0 ) по формуле (5) и записываем ответ.
Замечание. |
Аналогично |
вычисляются |
частн |
||
производные функций нескольких переменных, заданных |
|
||||
неявно. Например, |
если |
уравнение F (x |
,y ,z) = |
0 задает |
|
функцию z = z (x ,y) , то |
при известных условиях |
функции |
|
z = z (x, y) дифференцируема в |
точке (x0 , y0 ) и ее |
частные |
||||||||||||||
производные определяются функциями |
|
|
|
|||||||||||||
z ¢x (x0 |
|
F |
¢(x |
0 |
, y |
0 |
, z |
0 |
) |
|
z ¢y |
|
Fy¢(x0 , y |
0 |
, z 0 ) |
|
, y0 ) = - |
|
x |
|
|
|
, |
(x0 , y0 ) = - |
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Fz¢(x0 , y0 , z0 ) |
|
|
Fz¢(x0 , y0 , z 0 ) |
|||||||||||
где z0 |
есть корень уравнения F (x0 , y0 , z) = 0. |
|
|
|
||||||||||||
Пример. Найти производную функции y = y(x) , заданной |
||||||||||||||||
неявно уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
= arctg y . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ln |
x 2 |
+ y 2 |
|
(6) |
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + y 2 - arctg y . |
|
|
|
|||
1. В данном случае F (x, y) = ln |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Вычисляем ее частные производные: |
|
|
|
11
x
Fx¢ = x 2 + y 2 -
y
Fy¢ = x 2 + y 2
|
1 |
æ |
- |
|
y |
ö |
= |
|
x + y |
|
, |
||||
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|||||
1+ ( y / x) 2 |
|
2 |
x 2 + y 2 |
||||||||||||
è x |
ø |
|
|
|
|||||||||||
- |
1 |
|
æ 1 |
ö |
= |
|
|
y - x |
. |
|
|||||
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||
1+ ( y / x) 2 |
|
|
|
|
|
|
+ y 2 |
|
|||||||
|
|
è x |
ø x 2 |
|
|
|
Очевидно, что F (x, y) , |
Fx¢ |
и Fy¢ непрерывны при |
всех |
|||||||||||||
x ¹ 0 и |
Fy¢ ¹ 0 |
при x ¹ y . Следовательно, |
уравнение |
(6) |
|||||||||||||
определяет функцию у(х), |
дифференцируемую во всех точках |
||||||||||||||||
(x0 , y0 ) |
|
области, где x ¹ 0 и x ¹ y . |
|
|
|
||||||||||||
|
2. Находим y¢ |
по формуле (5) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
y |
¢ |
|
|
Fx¢(x0 , y0 ) |
|
(x0 + y0 ) /(x02 + y02 ) |
|
x0 + y0 |
|
|
|||||
|
|
= - Fy¢(x0 , y0 ) = - ( y0 - y0 ) /(x02 + y02 ) = x0 - y0 . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y¢ = |
x0 + y0 |
|
при |
всех x0 , y0 , |
удовлетворяющих уравнению |
||||||||||||
x0 - y0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(6), в области, где x ¹ 0 и x ¹ y . |
|
|
|
||||||||||||||
|
Условия |
задач. Найти |
производные функций y = y(x) , |
||||||||||||||
заданных неявно уравнениями. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
y x = x y . |
|
|
|
|
2. |
y = 1+ y x . |
|
|
|
|||||||
3. |
y = x + ln y. |
|
|
|
|
4. |
x + y = e x- y . |
|
|
|
|||||||
5. |
x 2 e 2 y |
- y 2 e 2 x = 0. |
|
6. |
x - y + arctgy = 0. |
|
|||||||||||
7. |
y sin x - cos(x - y) = 0. |
|
8. |
sin( xy) - e xy - x 2 y = 0. |
|
||||||||||||
9. 1+ xy - ln(e xy + e -xy ) = 0. |
|
10. |
x 2 - 2xy + y 2 + x + y - 2 = 0. |
|
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Постановка задачи. Найти уравнение касательной и нормали к поверхности, заданной уравнением
F (x, y, z) = 0
в точке M (x0 , y0 , z 0 ) .
12
План решения.
Нормальный вектор к поверхности, заданной уравнением
F (x, y, z) = 0
в точке M (x0 , y0 , z 0 ) , определяется формулой
|
|
r |
|
|
ì¶F |
|
|
¶F |
|
|
|
¶F |
|
ü |
|||||||||||
|
|
n = grad F |
M = |
í |
|
|
|
M , |
|
|
|
|
M , |
|
|
|
|
|
M ý. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
î ¶x |
|
|
¶y |
|
|
|
¶z |
|
þ |
||||||||
|
|
Следовательно, уравнение касательной плоскости к |
|||||||||||||||||||||||
данной поверхности в точке M (x0 , y0 , z 0 ) есть |
|||||||||||||||||||||||||
Fx¢ |
|
M (x + x0 ) + Fy¢ |
|
M ( x0 , y0 , z0 )( y - y0 ) + Fz¢ |
|
|
M (z - z0 ) = 0 (7) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
и уравнение нормали |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x - x0 |
= |
y - |
y0 |
= |
z - z 0 |
. |
(8) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Fx¢ |
|
Fy¢ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
M |
|
|
|
Fz¢ |
M |
|
|
||||||||||
1. Находим частные |
производныеFx¢, |
Fy¢, Fz¢ в точке |
M (x0 , y0 , z 0 ) .
2.Подставляем найденные значения в уравнения(7) и (8)
изаписываем ответ.
Замечание. Если заданы только значенияx0 и y0 , то координата z0 точки М определяется из условия, что точка М принадлежит данной поверхности , т. е. F (x0 , y0 , z0 ) = 0 .
Пример. |
Найти |
уравнение |
касательной |
плоскости и |
|
нормали к поверхности, заданной уравнением |
|
||||
|
|
|
z = xy |
|
|
в точке М(1, 1). |
|
|
|
|
|
Решение. |
Запишем уравнение поверхности в видеху – z = 0, |
||||
т. е. F = xy - z. |
|
|
|
|
|
Координаты |
точки |
М: x0 =1 и |
y0 =1. Координаты z0 |
||
определяем из условия, что точка М принадлежит данной |
|||||
поверхности, т. е. F (1, 1, z 0 ) = 0 . Получаем z0 =1. |
|
||||
1. Находим |
частные |
производные Fx¢, Fy¢, Fz¢ |
в точке |
||
М(1, 1, 1): |
|
|
|
|
|
13
Fx¢ (1,1,1) = y (1,1,1) =1, Fy¢ (1,1,1) = x (1,1,1) = 1, Fz¢ (1,1,1) = -1.
2. Подставляя найденные значения в уравнения(7) и (8), получаем уравнение касательной плоскости
1(x -1) +1( y -1) -1(z -1) = 0
и уравнение нормали
x -1 = y -1 = z -1 . 1 1 1
Ответ. Уравнение касательной плоскости: x + y - z -1 = 0. Уравнение нормали: x -1 = y -1 = 1- z.
Условия задач. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке М.
1. |
z = x 2 + y 2 , |
|
M (1, - 2, 5). |
|||||
2. |
x 2 |
+ |
y 2 |
- |
z |
2 |
= 0, M (4, 3, 4). |
|
16 |
9 |
8 |
||||||
|
|
|
|
3.z = sin x cos y, M (p / 4, p / 4, 1 / 2).
4.z = e x cos y , M (1, p, 1 / e).
5.z = y tg x, M (p / 4, 1, 1).
6. |
z = arctg(x / y), |
M (1, 1, p / 4). |
|
|
|||
7. |
x( y + z)(z - xy) = 8, |
M (2, 1, 3). |
|
|
|||
8. |
2 x / z + 2 y / z = 8, |
M (2, 2, 1). |
|
|
|||
9. |
x 2 |
+ y 2 |
+ z 2 -16 = 0, |
M (2, 2, 2 |
2). |
|
|
10. |
x 2 |
+ y 2 |
- z 2 = -1, M (2, 2, 3). |
|
|
||
|
|
|
Экстремум функции двух переменных |
|
|||
|
Постановка |
задачи. Найти |
стационарные |
точки |
|||
функции z = z(x, y) и исследовать их характер. |
|
План решения.
1. Стационарными точками функции нескольких переменных называются точки, в которых все ее частные производные равны нулю. Следовательно, чтобы найти
14
стационарные точки функции z(x, y) , нужно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными
ìz ¢x (x, y) = 0, íîz ¢y (x, y) = 0.
|
Решая эту систему уравнений, находим стационарные |
|
|
||||||||||||||
точки функции z(x, y) : M 1 (x1 , y1 ), M 2 (x2 , y2 ),K, M n (xn , yn ). |
|
|
|||||||||||||||
|
2. Для того чтобы исследовать характер стационарных |
|
|||||||||||||||
точек, воспользуемся достаточными условиями экстремума |
|
||||||||||||||||
функции двух переменных. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Пусть |
|
функция |
z = z(x, y) |
|
определена |
и |
имеет |
|||||||||
непрерывные |
частные |
производные |
второго |
порядка |
в |
||||||||||||
стационарной точке |
M (x0 , y0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(т. е. z ¢x (x0 , y0 ) = z ¢y (x0 , y0 ) = 0 ). Тогда если в этой точке: |
|
|
|||||||||||||||
а) |
¢¢ |
¢¢ |
|
¢¢ |
2 |
> 0 |
, то М – точка экстремума, причем при |
|
|
||||||||
z xx |
× z yy |
- (z xy ) |
|
|
|
||||||||||||
¢¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
< 0 – точка максимума; |
|
|
||||
z xx |
> 0 - точка минимума, при z xx |
|
|
||||||||||||||
б) |
¢¢ |
¢¢ |
- |
¢¢ |
2 |
< 0 |
, то М не является точкой экстремума; |
|
|
||||||||
z xx |
× z yy |
(z xy ) |
|
|
|
||||||||||||
в) |
|
¢¢ |
¢¢ |
¢¢ |
|
2 |
= 0 , |
то |
требуется |
дополнительное |
|
||||||
z xx × z yy |
- (z xy ) |
|
|
||||||||||||||
исследование (например, по определению). |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3. |
Вычисляем |
|
производные |
второго |
|
порядка |
функции |
|
||||||||
z(x, y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4. В каждой стационарной точке вычисляем выражение |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
¢¢ |
¢¢ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z xx |
× z yy - (z xy ) |
|
|
|
|
|
|
и определяем его знак.
Анализируем полученные результаты и записываем ответ.
Пример. Найти стационарные точки функции
z= x 3 + y 3 -3xy
иисследовать их характер.
Решение.
1. Вычисляем частные производные
z ¢x = 3x 2 - 3y, z ¢y = 3y 2 - 3x.
15
2. Для того чтобы найти стационарные точки функции, решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
ì3x 2 - 3y = 0,
ï
íï3y 2 - 3x = 0.
î
Получаем два |
решения: |
x1 = 0 , |
y1 |
= 0 и x2 = 1, y2 |
= 1. |
||
Следовательно, |
стационарные |
|
точки |
функци |
|||
z = x 3 |
+ y 3 -3xy : M 1 (0, 0) и M 2 (1, 1) . |
|
|
||||
3. |
Вычисляем производные второго порядка: |
|
|||||
|
¢¢ |
|
¢¢ |
|
¢¢ |
= 6 y . |
|
|
z xx |
= 6x, z xy |
= -3, z yy |
|
|||
4. |
В каждой стационарной точке вычисляем выражение |
||||||
|
|
¢¢ |
¢¢ |
¢¢ |
2 |
|
|
|
|
z xx |
× z yy - (z xy ) |
|
|
|
иопределяем его знак.
Вточке М1(0, 0):
¢¢ |
|
¢¢ |
|
¢¢ |
|
|
|
|
¢¢ |
¢¢ |
¢¢ |
2 |
= -6 < 0. |
z xx (0, 0) = 0, z xy |
(0, 0) = -3, z yy |
(0, 0) = 0 Þ z xx |
× z yy - (z xy ) |
|
|||||||||
Следовательно, |
точка М2(1, |
1) |
является |
точкой |
экстремума. |
||||||||
|
|
¢¢ |
= 6 > 0, то M 2 (1, 1) |
− точка минимума. |
|
|
|||||||
Так как z xx (1, 1) |
|
|
|||||||||||
|
Ответ. Функция z = x 3 |
+ y 3 |
-3xy |
имеет две стационарные |
|||||||||
точки M 1 (0, 0) и M 2 (1, 1) . |
В точке |
M 1 (0, 0) экстремума нет, |
|||||||||||
M 2 (1, 1) − точка минимума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Условия задач. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
z = x 2 |
- xy + y 2 . |
|
|
2. |
z = x 2 |
- xy - y 2 . |
|
|
||||
3. |
z = x 2 |
- 2xy + 2 y 2 + 2x. |
|
|
4. |
z = x 3 |
+ y 3 - x 2 - 2xy - y 2 . |
||||||
5. |
z = x 3 - 2 y 3 - 3x + 6 y. |
|
|
6. |
z = 4x + 2 y - x 2 - y 2 . |
|
|||||||
7. |
z = x 3 + y 3 -15xy. |
|
|
8. |
z = x 2 |
+ xy + y 2 - 3x - 6 y. |
|||||||
9. |
z = x 2 |
+ 4 y 2 - 2xy + 4. |
|
|
10. |
z = x / y +1 / x + y. |
|
|
16
Индивидуальные задания для контрольной работы
|
|
|
|
Вариант 1 |
||
1. Найти |
и |
изобразить |
на |
чертеже область определения |
||
функций: |
а) z = |
|
3xy |
; б) |
z = |
y sin x . |
|
2x - 5 y |
|||||
|
|
|
|
|
|
2.Вычислить приближенно cos 61o × sin 47o .
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y2 - e-x).
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = ex-2y, где x = sin t , y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: x3 + y3 + z3 - 3xyz = 4, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет |
ли данная |
|
функцияu = |
y |
||||||||
|
x |
|||||||||||
|
|
¶2u |
|
|
¶2u |
|
|
¶2u |
|
|||
указанному уравнению x |
2 |
+ 2xy |
+ y |
2 |
= 0 . |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
¶x |
2 |
|
|
¶x¶y |
|
¶y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + y2 + z2 + 6z - 4x + 8 = 0, M0(2,1,-1);
б) S: 4x2 - 9y2 - 9z2 - 36 = 0, M0(3,0,0).
8. |
Определить градиент и производную |
заданной |
функции |
z = |
ln(x+y) в точке M0(1,3) в направлении |
линииy2 |
= 9x в |
сторону возрастания аргумента x. |
|
|
9.Исследовать на экстремум функцию z = y x - 2 y 2 - x +14 y .
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x + y - xy в области D: y = x, y = 4, x = 0.
17
|
Вариант 2 |
|
|
||
1. |
Найти и изобразить |
на |
чертеже |
область |
определения |
функций: а) z = arcsin(x - y), |
|
б) z = ln(2 - x - y) + |
x . |
||
2. |
Вычислить приближенно |
u = |
(1,03)2 |
. |
|
30,984 (1,03)3
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arctg (x2 + y2).
4.Вычислить значение производной сложной функции
u= ln(ex + e-y), где x = t2, y = t3 при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.
5.Вычислить значения частных производных функции
z= z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 - xy = 2, в данной точке M0 (-1,0,1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, |
удовлетворяет |
ли |
|
|
данная |
функци |
|||
u = ln |
x |
+ x3 - y 3 |
указанному уравнению x |
¶u |
+ y |
¶u |
= 3(x3 - y 3 ) . |
|
|
|
¶x |
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
¶y |
|
7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + z2 - 4y2 = -2xy, M0(-2,1,2); б) S: x2 + y2 - z = 6, M0(1,-1,-1).
8.Определить градиент и производную заданной функцииz = 5x2 - 3x - y - 1 в т. M0(2,1) в направлении, идущем от т. М0 к
т. N(5,5).
9.Исследовать на экстремум функцию z = x3+8y3-6xy+5.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = xy-x-2y в области D: y = x,y = 0 , x = 3.
18
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|||
1. |
Найти |
и |
изобразить |
на |
чертеже область определения |
||||
функций: |
а) z = |
y 2 - x 2 |
; б) z = ln(1- x2 - y2) + x - y . |
||||||
2. |
Вычислить приближенно |
3,98 ∙ (1,03)3,98 . |
|
||||||
3. |
Найти частные производные и полный дифференциал |
||||||||
функции z = arcsin |
xy . |
|
|
|
|
|
|||
4. |
Вычислить значение производной сложной функции |
||||||||
|
u = yx, где x = ln(t - 1), |
y = e |
t |
|
|
||||
|
2 |
при t = 2, с точностью до |
|||||||
двух знаков после запятой. |
|
|
|
|
|||||
5. |
Вычислить |
значения |
частных производных |
функции |
|||||
z |
= z(x,y) |
, заданной неявно: 3x - 2 y + z = xz + 5 , |
в данной |
точке M0 (2,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция
2 |
|
2 |
|
¶2u |
|
¶2u |
|
u = ln(x |
+ (y + 1) |
|
) указанному уравнению |
|
+ |
|
= 0 . |
|
¶x 2 |
¶y 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + y2 + z2 + 3z - xy = 7, M0(1,2,1); б) S: 4x2 - 9y2 = 36, M0(-3,0,0).
8. Определить градиент и производную |
заданной |
функции |
||
z = x2 + y2 в т. M0(6,-8) в направлении |
линииy = |
- |
2 |
x2 в |
|
||||
|
|
9 |
|
сторону убывания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = 1 + 15x - 2x2 – xy - 2y2.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 + 8y + 2xy - 4x в области D: y = 0, y = 2, x = 0, x = 1. 19
|
Вариант 4 |
|
1. |
Найти и изобразить |
на чертеже область определения |
функций: а) z = ln(4 - x2 - y2); |
б) z = y + arcsin(x + 2). |
|
2. |
Вычислить приближенно |
cos59° ∙ sin32°. |
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arccos(x - y2).
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = ey-2x+2, где x = sin t , |
y = cos t при t = |
p |
, с точностью |
|
|||
|
2 |
|
до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: ez + x + 2y + z = 4, в данной точке M0 (1,1,0) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функцияu = xy
указанному уравнению y ¶2u = (1 + y ln x) ¶u .
¶x¶y ¶x
7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + y2 + z2 + 6z + 4x = 8, M0(-1,1,2); б) S: x2 – y + z2 - 6 = 0, M0(1,-1,2).
8. Определить градиент и производную заданной функции
x
z = arcsin( x + y ) в т. M0(5,5) в направлении линии y2 = 5x в сторону убывания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = 1+6x - x2 - xy - y2.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 5x2 + y2 - 3xy в области D: y = 0, y = 1, x = 0, x = 1.
20