Учебное пособие 415
.pdfВариант 15
1. Найти и изобразить на |
чертеже область определения |
||
функций: а) z = arccos(x+2y); |
б) z = |
x 2 + y 2 - x |
. |
|
|||
|
|
2x - x2 - y 2 |
2.Вычислить приближенно 3,034+1,985+15.
3.Найти частные производные и полный дифференциал
функции z = sin x - y3 + x . y
4. Вычислить значение производной сложной функции
u = x , где x = et, y = 2 - e2t при t = 0, с точностью до двух y
знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 - 2y2 + z2 - 4x + 2z + 2 = 0, в
данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e–(x+3y) sin(x + 3y) указанному уравнению
x2 ¶2u + 2xy ¶2u + y 2 ¶2u = 0 .
¶x2 ¶x¶y ¶y 2
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: 4y2 - z2 + 3z + 4xy - xz = 9, M0(1,-2,1); б) S: x2 - 4y2 + z2 - 4 = 0, M0(-2,1,2).
8. Определить градиент и производную заданной функции
z = 5x2 - 3x – y - 1 в т. M0(1,-1) в направлении, идущем от т. N(2,2) к т. M0.
9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy - 2x2 - 4y2.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 - 2xy - y2 + 4x + 1 в области D: y = 0, x + y + 1 = 0, x = -3.
31
|
Вариант 16 |
|||
1. Найти и |
изобразить на |
чертеже область определения |
||
функций: |
а) z = arcsin |
x |
; |
б) z = x + y ln(y2-x2). |
|
y
2.Вычислить приближенно 2,01 ∙ 1,03 / ((2,01)4+(2,97)2).
3.Найти частные производные и полный дифференциал
функции z = arcos(x - 2y2),
4. Вычислить значение производной сложной функции
|
-x |
|
-2y |
2 |
|
t |
3 |
|
u = ln(e |
|
+e |
|
) где x = t |
, y = |
|
|
при t = 1, с точностью до двух |
|
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x + y + z + 2 = xyz, в данной точке M0 (2,-1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
y
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функцияu = xe x
указанному уравнению x2 ¶2u + 2xy ¶2u + y 2 ¶2u = 0 .
¶x2 ¶x¶y ¶y 2
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: z = x2 + y2 - 3xy – x + y + 2, M0(2,1,0); б) S: x2 + y2 – z - 6 = 0, M0(2,1,-1).
8. Определить градиент и производную заданной функции
z = arctg |
y |
в т. M0( - 1 |
, |
3 ) в направлении линии |
|
x |
|||||
|
2 |
|
2 |
x2 + y2 + 2x = 0 в сторону возрастания аргумента x.
9. Исследовать на экстремум функцию z = x y –x2 –y + 6x +3.
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 3x2 + 3y2 – x – y + 1 в области D: x = 5, y = 0, x - y - 1 = 0.
32
|
|
|
Вариант 17 |
||||
1. |
Найти |
и |
изобразить |
на |
чертеже область определения |
||
|
функций: а) z = ln(x2 - y2); |
б) z = arcsin |
y |
. |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0,97 )3.02. |
x |
|
2. |
Вычислить приближенно (2 - |
|
|
||||
3. |
Найти частные производные и полный дифференциал |
||||||
|
функции z = 5xy2 + ln xy2. |
|
|
|
|||
4. |
Вычислить |
значение |
производной сложной функции |
||||
u = |
x + y2 |
+ 3 , где x = ln t, |
y = t2 при t = 1, с точностью до |
двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 - 2xz = 2, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функцияu = arctg y x
указанному уравнению |
¶2u |
+ |
¶2u |
= 0 . |
|
¶x 2 |
¶y 2 |
||||
|
|
|
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: 2x2 - y2 + 2z2 + xz + xy = 3, M0(1,2,1,); б) S: x2 + y2 - 4z2 = 4, M0(2,-1,1).
8. Определить градиент и производную заданной функции
z = arctg(xy) в т. M0(-1,4) в направлении линии y = -x + 3 в
сторону убывания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy - 5x2 - 3y2 + 2.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 2x2 +2xy - 0,5y2 - 4x в области D: y = 2x, y = 2, x = 0.
33
Вариант 18 |
|
|
|
1. Найти и изобразить на чертеже |
область определения |
||
функций: а) z = ln(x2 - y2); |
б) z = |
1 |
. |
|
|
y - |
x |
2.Вычислить приближенно tg46°∙ sin29°.
3.Найти частные производные и полный дифференциал
функции z = tg |
x |
. |
|||
2 y3 |
|||||
|
|
|
|
||
4. Вычислить значение производной сложной функции |
|||||
|
x 2 |
|
|||
u = arcsin |
|
, где x = sin t, y = cost при t = π, с точностью до |
|||
|
y
двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: ez – xyz – x + 1 = 0, в данной точке M0 (2,1,0) с точностью до двух знаков после запятой
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x+e –y)
указанному уравнению |
¶u |
|
¶2 u |
- |
¶u ¶2 u |
= 0 . |
||
|
|
|
|
|
||||
|
¶x ¶x¶y |
¶y ¶x 2 |
|
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 - y2 + z2 - 4x + 2y = 14, M0(3,1,-4); б) S: x2 + y2 = 5z, M0(1,3,2).
8. Определить градиент и производную заданной функции
z = x2 + y2 в т. M0(-6,8) в направлении линииy = (2/9)x2 в сторону возрастания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = xy(12 - x - y).
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 + 2,5y2 - 2xy - 2x в области D: y = 0, y = 2, x = 0, x = 2.
34
|
|
|
|
Вариант 19 |
|||
1. |
Найти и |
изобразить на чертеже область определения |
|||||
|
функций: а) z = x 2 + y2 -8; б) |
z = ln( 6 - x - y ) + |
x |
. |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
2. |
Вычислить приближенно (2,03)2/ |
(2,03)3 + (1,05)3 + 7 . |
|
||||
3. |
Найти частные производные и полный дифференциал |
||||||
|
функции z = y2 - 4xy + sin(2xy2). |
|
|
|
|||
4. |
Вычислить |
значение производной сложной функции |
|||||
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
u = |
|
|
, где x = 1 - 2t , y =1 + arctgt |
при t = 0, с точностью до |
|||
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y), заданной неявно: x3 + 2y3 + z3 - 3xyz - 2y - 15 = 0, в
данной точке M0 (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x2 - y2)
указанному уравнению |
¶2 u |
- |
¶2 u |
= 0 . |
|
¶x2 |
¶y 2 |
||||
|
|
|
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + y2 - z2 + xz + 4y = 4, M0(1,1,2); б) S: x2 + 5y2 + z2 = 10, M0(1,-1,2).
8. Найти направление |
наибольшего возрастания |
функции |
u = x2y2z в любой |
точке и в т. М0(2,-1,3) и |
скорость |
возрастания в этом направлении. |
|
9.Исследовать на экстремум функцию z = xy - x2 - y2 + 9.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy - 3x - 2y в области D: y = 0, y = 4, x = 0, x = 4.
35
|
|
Вариант 20 |
|
|
||
1. Найти и |
изобразить на |
чертеже |
область определения |
|||
функций: а) |
z = |
1 |
; б) z = |
1 |
|
- ln xy . |
x 2 - y 2 - 5 |
|
|
||||
|
|
|
x - 2 |
2.Вычислить приближенно 2,03/((2,03)4+(2,97)2).
3.Найти частные производные и полный дифференциал
|
функции z = ln(y - x2 - 3). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Вычислить |
y |
|
x |
значение |
|
производной |
сл |
||||
|
функции u = |
- |
, где x = |
sin t, y = cos t при t = |
p |
, |
с |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x y |
|
|
|
4 |
|
|
||||
|
точностью до двух знаков после запятой. |
|
||||||||||
5. |
Вычислить значения частных производных функции |
|
||||||||||
z = z(x,y) , заданной неявно: x2 - 3y2 + z2 - 2xy + 6x - 2y - 8z + 20 |
||||||||||||
= 0, в данной точке M0 (1,-1,2) с точностью до двух знаков |
||||||||||||
после запятой. |
|
|
|
|
|
|
данная функцияe– cos(x+3y) |
|||||
6. |
Проверить, |
удовлетворяет |
ли |
|||||||||
|
указанному уравнению 9 |
¶2u |
= |
¶2u |
. |
|
|
|
||||
|
¶x 2 |
¶y 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 - y2 - z2 + xz - 4x = -5, M0(-2,1,0); б) S: x2 - y2 + z2 = 30, M0(3,2,5).
8. В направлении какой |
линии: y2 |
= 4x или x2 + y2 = 5 в |
т. М0(1,2) функция z |
= x3 + y3 |
изменяется быстрее в |
сторону убывания аргумента x. |
|
9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy - 3x2 - 2y2 + 10.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 + xy - 2 в области D: y = 4x2 - 4, y = 0.
36
Вариант 21 |
|
|
|
1. Найти и изобразить |
на чертеже |
область определения |
|
функций: а) z = ln(3x - y); |
б) z = |
xy |
. |
|
(x + y)
2.Вычислить приближенно 3,09e 0,09.
3.Найти частные производные и полный дифференциал
функции z = arcsin(2x - y3) + x.
4. Вычислить значение производной сложной функции
u = x2 + y + 3 , где x = ln t, y = t2 при t = 1, с точностью до
двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 = y – z + 3, в данной
точке M0 (1,2,0) с точностью до двух знаков после запятой. 6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция
x |
¶2u |
|
¶2u |
|
u = e (xcos y-ysin y) указанному уравнению |
|
+ |
|
= 0 . |
¶x 2 |
¶y 2 |
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + y2 – xz + yz - 3x = 11, |
M0(1,4,-1); |
б) S: x2 + y2 - 4x + 2y + 4 = 0, |
M0(2,-2,0). |
8. По какому направлению должна двигаться .тМ(x,y,z) при
переходе |
|
|
через . |
Mт0(-1,1,-1), чтобы |
функция |
|||
u = |
x |
+ |
y |
+ |
z |
возрастала с наибольшей скоростью? |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y z |
|
x |
|
|
9.Исследовать на экстремум функцию z = x3 + 8y3- 6xy +1.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 y (4 - x - y) в области D: y = 6 - x, y = 0, x = 0.
37
|
Вариант 22 |
|
1. Найти и |
изобразить на |
чертеже область определения |
функций: |
а) z = y- y2 - x 2 ; |
б) z = sinp (x 2 + y 2 ) . |
2.Вычислить приближенно 4/((1,03)2+(2,97)2).
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = x2 y sin x - 3y .
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = arcsin |
x |
, где x = sin t, |
y = cos t при t = π, с точностью |
|
|||
|
2 y |
|
до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 + 2xy - 4x – yz - 3y - z =
0, в данной точке M0 (1,-1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
y3
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функцияu =
x
указанному уравнению x 2 ¶2u - y 2 ¶2u = 0 .
¶x 2 ¶y 2
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + 2y2 + z2 - 4xz = 8, M0(0,2,0); б) S: 2x2 - y + 2z2 = 0, M0(1,10,2).
8. В направлении какой линии: xy = 4 или x = y в т. М0(2,2) функция z = x3 + y3 - 3xy изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
9.Исследовать на экстремум функцию z = y x - y2 - x + 6y
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x3 - y3-3xy в области D: x = 0, x = 2, y = -1, y = 2.
38
Вариант 23
1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций: а) z = x 2 - y2 – x; б) z = arcsin(1- x2 - y2)+
+ arcsin2xy.
2.Вычислить приближенно arсtg(0,96/1,05).
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(xy) - 3xy2.
4. Вычислить |
значение |
производной |
сложной |
|
функции |
||||
u = |
x |
- |
y |
, |
где x = sin2t, |
y = tg2 t |
при t = |
p |
, с |
|
|
4 |
|||||||
|
y x |
|
|
|
|
точностью до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 - y2 - z2 + 2x - 4y + 6z + 12 = 0, в
данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция
2 |
|
2 |
|
¶2u |
|
¶2u |
|
u = 3+ln(x |
+ (y + 1) |
|
) указанному уравнению |
|
+ |
|
= 0 . |
|
¶x 2 |
¶y 2 |
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 - y2 - 2z2 - 2y = 0, M0(-1,-1,1);
б) S: x2 + y2 + 2z2 = 10, M0(-1,1,2).
8.В направлении какой линииy2 = 4x или x2 + y2 = 5 в т. М0(1,2) функция z = x3 + y3 изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
9.Исследовать на экстремум функцию z=x2 - xy+y2+9x-6y+20.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 4(x - y) - x2 - y2 в области D: 2y + x = 4, x - 2y = 4.
39
|
|
|
|
|
Вариант 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Найти |
и |
изобразить |
на |
чертеже |
|
|
область |
определения |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
функций: а) z = ln(25 - x - y ); б) z = arctg( |
|
|
). |
|
||||||||||||
|
x + y |
|
|||||||||||||||
2. |
Вычислить приближенно (0,99)5,05. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
Найти |
частные производные и полный |
дифференциал |
||||||||||||||
|
функции z = arcsin |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Вычислить |
значение производной |
сложной |
|
функцииu = |
||||||||||||
|
|
x + y + 3 , где x = lnt, |
|
y = t2 при t = 1, с точностью до |
|||||||||||||
|
двух знаков после запятой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Вычислить значения частных производных функции |
|
|||||||||||||||
z = z(x,y) , заданной неявно: |
|
x 2 |
+ y2 |
+ z3 - 3z = 3, в данной |
|||||||||||||
точке M0 (4,3,1) с точностью до двух знаков после запятой. |
|||||||||||||||||
6. |
Проверить, |
удовлетворяет |
ли |
|
|
данная |
функцияu |
||||||||||
|
= |
1 |
|
указанному уравнению |
¶2u |
|
+ |
¶2u |
|
= 0 . |
|
||||||
|
x 2 + y 2 |
¶x 2 |
¶y 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2 + y2 - 3z2 + xy = -2z, M0(1,0,1); б) S: y2 - 4y + z = 0, M0(1,-2,-12).
8. В направлении какой линии: x2 + y2 = 8 или y = -x в т.
M0(-2, 2) функция |
z = 2x 2 - y 2 изменяется скорее в |
сторону возрастания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = xy(6 - x - y).
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 - y2 + 2xy - 4x в области D: y = x+1, y = 0, x = 3.
40