Учебное пособие 1225
.pdfПо аналогии можно получить полные дифференциалы третьего и т.д. порядков. Для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности формы не выполняется.
1.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
Пусть неявно заданная функция z f (x, y) определяется тождеством:
F(x, y, f (x, y)) 0.
Продифференцируем тождество по х, считая у постоянной величиной:
Fxc xcx Fzc zcx |
0 , Fxc Fzc zcx 0, zcx |
|
Fxc(x, y, z) |
. |
|||
|
|||||||
|
|
Fyc |
(x, y, z) |
|
|
Fzc(x, y, z) |
|
По аналогии находим: zcy |
|
. |
|
|
|
||
Fzc(x, y, z) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Чтобы частные производные неявной функции существовали, надо чтобы
Fzχ(x, y, z) ζ 0 .
Пример. Найти |
производную yχx |
для |
неявно |
заданной функции |
||||||||
x y ex y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
1 e |
x y |
χ |
1 e |
x y |
|
c |
|
e x y 1 |
|
|
Решение. Fx |
(x, y) |
|
; Fy (x, y) |
|
; |
yx |
|
|
|
. |
||
|
|
|
e x y 1 |
|||||||||
В точках y |
x |
производная не существует. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1.7. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума
Пусть функция z f (x, y) |
непрерывна в точке M0 (x0 , y0 ) и некоторой ее |
окрестности. Точка M0 (x0 , y0 ) |
называется точкой максимума функции |
z f (x, y) , если найдется такая окрестность около точки М0 , что для всех точек
М |
из этой окрестности выполняется |
неравенство |
f (M ) f (M0 ) или |
'z |
f (M ) f (M0 ) 0 . Точка M0 (x0 , y0 ) |
называется |
точкой минимума |
функции z f (x, y) , если найдется такая окрестность около точки М0 , что для всех точек М из этой окрестности выполняется неравенство f (M ) ! f (M0 ) или
'z f (M ) f (M0 ) !0.
Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. Следует отметить, что понятие экстремума носит локальный характер, связанный с наличием окрестности около точки экстремума.
Необходимое условие экстремума. Если функция дифференцируема в точке M0 (x0 , y0 ) и имеет в этой точке экстремум, то
c |
(x0 , y0 ) 0; |
χ |
, y0 ) 0 . |
fx |
f y (x0 |
10
Экстремум следует искать либо в стационарных точках, то есть точках в которых все частные производные первого порядка равны нулю, либо в точках, где хотя бы одна из производных не существует. Такие точки называются критическими. В критической точке экстремум может быть, а может и не быть. О наличии или отсутствии экстремума в критической точке судят с помощью достаточного признака экстремума.
Достаточное условие экстремума. Пусть функция z f (x, y) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в
некоторой окрестности |
точки |
M0 (x0 , y0 ) , |
а |
сама |
точка М0 |
является |
||||||
критической: |
|
c |
χ |
, y0 ) 0. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Обозначим: |
fx (x0 , y0 ) 0 ; f y (x0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
χχ |
|
χχ |
|
|
|
|
|
|
|
|
cc |
, y0 ) |
A; |
|
(x0 |
, y0 ) |
C . |
|
|||||
fxx (x0 |
fxy (x0 , y0 ) B; |
f yy |
|
|||||||||
Тогда: |
'= AC B2 >0, то в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Если число |
M |
0 |
(x , y |
0 |
) |
функция |
f (x, y) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
имеет экстремум, а именно максимум, если А<0 и минимум, если А >0.
2.Если число '= AC B2 <0, то в точке M0 (x0 , y0 ) экстремума нет.
3.Если число '= AC B2 =0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
Пример. Исследовать на экстремум функцию
z x3 y3 9xy 27 .
|
|
|
Решение. Имеем, |
wz |
3x2 |
9y , wz |
3y2 |
9x . Найдем точки возможного |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
wx |
|
wy |
|
|
|
|
|
|
|
|
экстремума. Решение |
системы |
® 3x2 9y |
0 |
дает |
две |
точки возможного |
|||||||||||
экстремума: М1(0,0) и М2(3,3). |
¯ 3y2 9x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
производные |
|
второго |
порядка: |
||||||||||||||
|
|
|
Найдем |
|
частные |
|
|||||||||||
|
f xxs |
6x, |
f yys |
6y, |
f xys |
9. В точке М1(0,0) |
имеем |
' |
AC B2 |
81<0 , |
|||||||
что указывает на отсутствие экстремума в данной точке. В точке |
М2(3,3) |
||||||||||||||||
имеем ' |
AC B2 |
324 81>0. Поскольку |
A |
18 >0, то в точке |
имеется |
||||||||||||
минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1.8. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области |
|||||||||||||||
|
|
|
Пусть функция z |
f (x, y) |
непрерывна в замкнутой области |
|
. В области |
||||||||||
|
|
|
D |
||||||||||||||
|
|
|
найдется |
хотя |
бы одна |
точка, в которой функция принимает свое |
|||||||||||
D |
|||||||||||||||||
наибольшее значение M, и найдется хотя бы одна точка, в которой функция |
|||||||||||||||||
принимает свое наименьшее значение m: |
m d f (x, y) d M . |
|
|
|
|
11
Точки, в которых функция принимает свои наибольшее и наименьшее значение, могут располагаться либо внутри, либо на границе области.
Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значений необходимо:
1)найти все критические точки, попадающие внутрь области D и вычислить значения функции в этих точках;
2)найти критические точки на границе области и вычислить в них значения функции;
3)затем выбрать наибольшее и наименьшее из всех полученных чисел.
|
Пример. |
Найти |
наибольшее |
и наименьшее |
значения |
функции |
|||||||||||||
z |
3x2 3y2 6x 3y 1 в области D , |
ограниченной линиями x y |
2, x |
0, |
|||||||||||||||
y |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Найдем |
критические |
точки |
внутри |
области, |
для |
чего |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
wz |
|
6x 6 |
0 |
|
|
|
|
||||
приравняем нулю |
частные |
производные |
°wx |
|
|
Получаем |
|||||||||||||
®wz |
|
6 y 3 |
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯wy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
1 · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
критическую точку |
M1¨1, |
|
¸. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
© |
2 ¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим границу области D , |
представляющую собой |
треугольник |
||||||||||||||||
АОВ (рис. 3). |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x+y=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
O |
B |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Сначала исследуется отрезок ОА, на котором |
|
имеем x |
|
0 |
и, |
значит, |
||||||||||||
z |
3y2 3y 1. Приравняв производную функции z |
3y2 3y 1 нулю, имеем |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
1 |
· |
|
|
|
|
6y 3 0 и, следовательно, получаем стационарную точку |
M 2 ¨0, |
|
¸. Выделяем |
||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||
точки O 0,0 и A 0,2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
¹ |
|
|
|
|||||
где |
функция |
тоже |
может |
|
принять |
наибольшее и |
|||||||||||||
наименьшее значения. |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
На отрезке OB имеем y |
0 , z |
3x2 6x 1, |
|
6x 6 |
0 , что дает |
|||||||||||||
|
|
|
|
dx
стационарную точку M3 1,0 . Добавляем точку B 2,0 . Осталось рассмотреть
12
y |
2 x |
сторону |
AB, |
на |
|
|
|
|
которой, |
|||||||
z |
3x2 3 2 x 2 6x 3 2 x 1= 6x2 15x 7 . |
Найдем |
|
производную |
||||||||||||
dz |
|
12x |
15=0, после чего |
добавим еще одну |
точку M 4 |
♣ |
5 |
,2 |
|
|
5 ∙ |
или |
||||
|
|
|
♦ |
|
|
|
÷ |
|||||||||
dx |
|
4 |
|
|||||||||||||
♣ |
|
|
|
∙ |
|
|
♥ |
|
|
|
4 ≠ |
|
||||
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M 4 |
♦ |
|
, |
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
♥ |
|
≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим значения функции в точках A, B, O, M1, M 2 , M 3 , M 4 : |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z A z 0,2 3 4 3 2 1 7 , |
|
|
|
z B z 2,0 3 4 6 2 1 1, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z O |
|
|
z 0,0 |
|
|
3x |
2 |
|
3y |
2 |
|
6x |
3y 1 1, |
z M1 |
|
♣ |
1 |
∙ |
3 |
3 |
6 |
|
3 |
1 |
|
11 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z♦1, |
|
|
÷ |
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
2 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
♣ |
|
1 ∙ |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
♥ |
≠ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z M |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
z M3 |
|
|
z 1,0 |
|
3 6 1 |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
z♦0, |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
♥ |
|
2 ≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z M |
|
|
♣ 5 |
|
|
3 |
∙ |
3 |
25 |
3 |
9 |
|
6 |
|
5 |
3 |
|
3 |
1 |
|
|
|
38 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4 |
z♦ |
|
|
, |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4 |
16 |
|
16 |
4 |
4 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
♥ 4 |
|
|
≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 =7. |
|
|
|
|
|
M1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
В точке |
A функция имеет наибольшее значение |
В точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функция имеет наименьшее значение z |
|
|
|
|
11 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найти частные производные от функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. z |
|
x2 y3 x3 y. |
|
2. |
|
z |
|
|
x y |
. |
|
3. z |
|
|
|
xy |
. |
|
4. |
|
z |
x2 sin y. |
|
5. z |
exy . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. z
10. z
12.z
13.z
14.z
xye x 2 y . |
7. |
z |
e y / x. |
8. z |
ln( x ln y). 9. |
z |
x |
y |
|
y |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωz |
|
ωz |
|
3 x |
||||
xe yx . |
11. |
z |
ln( |
x |
y); доказать, что x |
y |
|
1 |
. |
||||||||||||||||||
ωx |
ωy |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
ωz |
|
|
ωz |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||
x sin |
; |
доказать, что |
x |
y |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
ωx |
ωy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 xy2 , |
x |
|
e2t , y |
sin t; найти |
|
dz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
arctg |
, |
y |
e(1 x)2 ; |
найти |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
z |
|
x2 |
, x |
u 2v , |
y |
v 2u; найти |
ωz |
, |
ωz |
. |
||||
|
y |
ωu |
ωv |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16. |
z |
x2 y2 , |
x u v, |
y |
|
u |
; |
найти |
ωz |
, |
ωz . |
|
|||
|
v |
ωu |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωv |
|
|
Найти полный дифференциал:
13
17. z sin xy2. 18. z ln( x 5y2 ). 19. z y x .
20.Найти производную по направлению биссектрисы первого
координатного угла в точке М(1, 1) функции z x3 y 5xy2 8.
21. Найти производную по направлению функции z ln(ex e y ).
Рассмотреть направление, параллельное биссектрисе первого координатного угла.
22. Найти производную по направлению функции z x2 y2 в точке М(1,1). Рассмотреть случаи, когда направление составляет с осью Ох угол:
1) Σ / 3, 2) Σ / 6, 3) Σ / 2. |
x2 2xz y2 в точке М(1,2, 1) по |
||||||
23. Найти производную функции u |
|||||||
направлению вектора |
|
, где M1 точка с координатами (2,4, 3). |
|||||
MM1 |
|||||||
24. Найти производную функции |
u |
x2 |
|
y2 |
z2 в точке М(2,3,1). |
||
4 |
|
||||||
|
|
|
|
9 |
|
Рассмотреть случаи, когда направление совпадает: 1) с направлением радиуса-
вектора этой точки; |
2) с направлением вектора |
a |
|
4 |
i |
3 |
|
. |
||||||||||||
|
j |
|||||||||||||||||||
|
Найти gradz: |
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
||||
25. |
z |
4 x2 y2 в точке М(1,2). |
26. |
z |
|
|
|
|
|
в точке М(0,3). |
||||||||||
x2 y |
2 |
1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
27. |
z |
(x y)2 в точке М(1,1). |
28. |
z e |
x2 y2 |
|
|
в точке М(1,1). |
||||||||||||
|
Найти gradu и |
|
gradu |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29.u x2 y2 z2 в точке М(1, 1, 2).
30.u 4 x2 y2 z2 в точке М(3, 2, 1).
31. u |
x2 y2 z2 в точке М( 1, 2, 0). |
32.u xyz в точке М(3, 1, 2).
|
Найти частные производные второго порядка: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
33. |
z |
x2 |
|
. 34. z |
|
sin x cos y. 35. |
z x y |
xy |
|
. 36. z xe y . |
|||||||||||
1 2 y |
|
x y |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Проверить, что |
|
ω2 z |
|
ω2 z |
|
для функций: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ωxωy |
|
ωyωx |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
37. |
z |
x2 |
. |
38. z |
ln( x 2y). 39. z |
|
. |
40. z |
arctg |
y |
. |
||||||||||
y2 |
1 y |
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
41. |
z |
ex cos y. Показать, что ω 2 z ω2 z |
|
0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωx2 |
|
ωy2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
Найти экстремумы функций:
42. |
|
z |
|
x2 y2 xy 4x 5y. |
|
43. z |
|
|
|
|
|
|
y2 x2 xy 2x 6y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
44. |
|
z |
|
|
|
xy(1 x y). |
|
45. z |
|
y |
|
x y2 x 6y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
46. |
|
|
z |
|
|
|
ex / 2 (x y2 ). |
|
|
47. |
|
|
|
z |
|
x3 y3 3xy. |
|
48. |
|
|
|
z |
|
|
3x 6y x2 xy y2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
49. z x3 8y3 6xy 1. |
|
|
50. |
|
|
|
z |
|
2xy 4x 2y. |
|
51. |
|
|
|
z |
|
|
|
|
2x3 xy2 5x2 y2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
wz |
|
|
|
|
|
2y |
|
|
|
|
; wz |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
2xy3 3x2 y; |
|
|
|
|
|
3x2 y2 x3. |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
wx |
|
wy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wx x y 2 |
|
x y 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
wz |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
; |
wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
. |
|
|
4. wz |
|
|
|
|
2xsin y; |
|
wz |
|
|
|
|
x2 cos y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wx x y 2 |
|
wy |
|
|
|
x y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
wy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
wz |
|
|
|
ye |
xy |
; |
|
wz |
|
|
xe |
xy |
. |
|
|
|
6. |
|
|
wz |
|
ye |
x 2 y |
|
xye |
x 2 y |
; |
wz |
|
|
xe |
x 2 y |
2xye |
x 2 y |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wx |
|
|
|
|
|
|
|
wy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
wz |
|
|
|
y |
|
|
|
x ; |
|
wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
. |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wx |
|
|
|
x2 |
|
|
|
wy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
wx x ln y |
|
|
wy x ln y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
wz |
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
; |
wz |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
10. wz |
|
e xy (1 xy); |
|
wz |
|
x2e xy . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
wx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 x4 |
wy 2 y |
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
dz |
|
|
|
|
2e2t (2e2t |
sin 2 t) e2t |
|
sin 2t. |
14. |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
1 2(x 1)2 |
|
|
e(1 x) 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
dx |
|
|
y2 (1 x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
wz 2x |
§ |
|
|
|
|
x |
· |
|
|
wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
§ |
|
|
|
x |
· |
|
|
|
wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
wz |
|
|
|
|
|
|
§ |
|
u |
· |
|||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨1 |
|
|
|
¸; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
4 |
|
|
|
|
¸. 16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xy2 |
2x2 y |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2xy2 |
2x2 y¨ |
|
|
|
¸. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
wu |
|
|
|
y |
¨ |
|
|
|
|
y |
¸ |
|
|
wv |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
¨ |
|
|
|
y |
¸ |
|
|
wu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
wv |
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
v2 |
¸ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
¹ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
|
dz |
|
|
|
( y2dx 2xydy)cosxy2. |
18. |
|
|
|
dz |
|
|
|
|
dx 10ydy |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
· |
20. wz |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. wz |
|
|
|
|
e |
x |
|
cos |
|
e |
y |
|
sin |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
|
dz |
|
|
|
|
|
y x ¨ln ydx |
|
dy |
¸. |
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
wl |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex e y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
§wz |
· |
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
22. |
|
|
|
|
2(cos |
|
sin |
|
|
), |
1) 1 3; |
|
|
2) 1 |
|
|
3; |
|
|
|
3) 2.23. 16/3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¨ |
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
© wl |
¹M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
24. |
§wu · |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
2 |
|
cos |
Ε 2cosϑ , |
|
|
1) |
|
|
|
2 |
|
|
|
; 2) |
2 |
|
. |
|
25. 2, 4 `. 26. 3, 0`. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¨ |
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
© wl |
|
|
|
¹M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
27. |
4, 4`. |
|
28. 0, e`. |
|
|
|
29. 2, -2, 4`, |
1 |
|
gradu |
|
|
|
2 |
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30. |
6, 4, 2`, |
|
|
gradu |
|
|
|
|
2 |
14. 31. ® |
|
|
|
|
|
|
; |
|
2 |
|
;0¾½ |
, |
|
|
|
gradu |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32. 2;6; 3`, gradu 7.
33.ω2 z ωx2
34.ω2 z ωx2
35.ω2 z ωx2
36.ω2 z ωx2
|
2 |
|
; |
|
ω2 z |
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
; |
ω2 z |
|
|
8x |
2 |
|
. |
|||
1 2 y |
|
ωxωy |
|
|
|
(1 2y)2 |
|
ωy2 |
|
(1 2 y)3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
sin xcos y, |
|
ω2 z ω2 z |
cos xsin y, |
ω2 z |
sin xcos y. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ωxωy ωyωx |
ωy2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2y2 |
|
; |
|
|
ω2 z |
|
|
|
|
|
2xy |
; |
ω2 z |
|
|
2x2 |
|
. |
|
||||||
(x y)3 |
|
ωxωy |
|
|
|
|
(x y)3 |
ωy2 |
(x y)3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0; ω2 z |
|
|
xe y ; |
|
ω2 z |
|
e y . |
42. zmin |
7 при x 1, y 2 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
ωxωy |
|||||||||||||||||||||||
|
ωy2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43. Экстремума нет. |
44. zmax |
1/ 27 при x |
y |
1 3. |
|
||||||
45. zmax |
12 при x |
y 4 . |
46. zmin |
2 / e при x |
2 , y 0 . |
||||||
47. zmax |
1 при x |
1, y |
1. |
48. |
Экстремума нет. |
49. zmin |
0 при |
||||
x |
1, y |
1 2. 50. Экстремума нет. |
51. zmin |
0 при |
x 0, y |
0. |
|||||
|
|
2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ |
|||||||||
|
Комплексным числом называется выражение вида |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
z |
a ib , |
|
|
|
(2.1) |
|
где |
a |
и b - действительные числа, i - мнимая единица, |
удовлетворяющая |
||||||||
условию i2 1. Числа a и b называются |
действительной и мнимой частями |
||||||||||
комплексного числа, соответственно a |
Re z , |
b |
Imz . |
Выражение (2.1) |
|||||||
называется алгебраической формой записи комплексного числа. |
|||||||||||
|
Геометрически каждому числу |
z a ib на координатной плоскости xOy |
соответствует точка M (x; y) (рис. 4). В этом случае плоскость xOy называется плоскостью комплексного переменного z .
y M (x; y)
Υ z y
Τ arg z
0 |
x |
x |
Рис. 4
16
Полярные координаты точки M (x; y) называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа z . Для них вводятся обозначения:
Υz , Τ Arg z . Те из значений полярного угла, которые удовлетворяют
неравенству Σ Τ δ Σ , |
|
|
|
называются |
главными |
значениями угла |
Τ и |
|||||||||||||||||||
обозначаются arg z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Соотношения между модулем и аргументом комплексного числа z |
и его |
|||||||||||||||||||||||||
действительной и мнимой частью устанавливаются формулами |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
Υ cosΤ, |
b |
Υ sinΤ . |
|
|
(2.2) |
||||||||||||
Отсюда |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
cosΤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin Τ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2.3) |
||||||||||||
|
z |
|
|
a2 b2 |
|
|
|
z |
|
|
a2 b2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Аргумент z |
определяется неоднозначно по формуле |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
a ! 0, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
°arctg |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
°arctg b |
Σ |
, |
|
a 0, |
|
b ! 0, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Τ |
arg z |
° |
|
|
|
|
|
|
Σ |
, |
|
a 0, |
|
b 0, |
|
|
(2.4) |
|||||||||
®arctg |
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
° |
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
° |
|
|
, |
|
|
|
|
|
a |
0, |
|
b 0, |
|
|||||||||
|
|
|
|
° |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
° |
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
° |
|
, |
|
|
|
|
|
|
a |
0, |
|
b ! 0. |
|
|||||||||
|
|
|
|
° |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Заменяя a и b в выражении (2.1) их выражениями через Υ и Τ , получим |
||||||||||||||||||||||||||
тригонометрическую форму записи комплексного числа |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
Υ(cosΤ i sinΤ ) . |
|
|
(2.5) |
||||||||||||
Пусть даны два комплексных числа z1 |
|
|
a1 ib1 |
и z2 a2 ib2 . Эти числа |
являются равными, если у них равны действительные и мнимые части, т.е. a1 a2 , b1 b2 . Для чисел, заданных в тригонометрической форме, равенство
имеет место, если модули этих чисел равны, а аргументы отличаются на целое кратное 2Σ , т.е.
|
|
|
|
z1 |
z2 , |
|
z1 |
|
|
|
z2 |
|
|
и |
Arg z1 |
Arg z2 2kΣ. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Два комплексных |
числа |
|
|
|
z |
a ib |
и |
z a ib |
называются |
|||||||||||||
сопряженными. |
|
Для |
|
сопряженных |
комплексных |
чисел |
выполняются |
|||||||||||||||
соотношения |
|
z1 |
|
|
|
z2 |
|
, |
arg z1 arg z2. |
17 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть даны два комплексных числа z1 |
a1 ib1 и z2 |
|
a2 ib2 . Действия |
|||||||
над этими комплексными числами определяются по правилам. |
|
|||||||||
Сложение. z1 z2 |
(a1 a2 ) i(b1 b2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|||
Вычитание. |
z1 z2 |
(a1 a2) i(b1 b2) . |
При этом |
полезно |
знать, что |
|||||
модуль разности двух комплексных чисел |
z1 |
и z2 равен расстоянию между |
||||||||
точками, являющимися их изображениями на плоскостиz : |
|
z1 z2 |
|
|
d(z1, z2 ) . |
|||||
|
|
|||||||||
Умножение. |
z1 z2 |
(a1 a2 b1 b2 ) i(a1 b2 a2 b1) . |
|
|||||||
Если z1 Υ1(cosΤ1 isinΤ1), z2 |
Υ2 (cosΤ2 isinΤ2 ) , то |
|
|
|
|
|
||||
|
z1 z2 |
Υ1Υ2 [cos(Τ1 Τ2 ) isin(Τ1 Τ2 ) . |
|
|||||||
Таким образом, |
модуль |
произведения |
равен произведению модулей |
сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов сомножителей. Деление. Для нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, следует делимое и делитель умножить на число,
сопряженное с делителем:
z1 |
|
a1 ib1 |
(a1 ib1) (a2 ib2 ) |
|
|
|
|
|
|||||
z2 |
|
a2 ib2 |
|
(a2 ib2 ) (a2 ib2 ) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
(a1a2 b1b2 ) i (a2b1 a1b2 ) |
|
a1a2 b1b2 |
i |
a2b1 a1b2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a2 |
b2 |
|
a2 |
b2 |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
Если z1 Υ1(cosΤ1 isinΤ1), z2 Υ2 (cosΤ2 isinΤ2 ) , то
z1 |
|
Υ1 |
[cos(Τ |
Τ |
2 |
) i sin(Τ |
Τ |
2 |
) . |
|
|
||||||||
z2 |
|
Υ2 |
1 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение в степень. Если z
|
|
|
zn |
Υ n (cosnΤ i sin nΤ ) |
|
|
|
|
|||||||
(здесь |
n может быть как целым положительным, |
так и целым отрицательным |
|||||||||||||
числом). |
|
|
|
Υ(cosΤ i sinΤ ) |
|
|
|
|
|
||||||
Извлечение корня. |
Если |
z |
и n |
целое положительное |
|||||||||||
число, то корень n -й степени из комплексного числа |
z |
имеет n различных |
|||||||||||||
значений, которые находятся по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n z |
n Υ |
♣ |
Τ 2Σk |
i sin |
Τ 2Σk |
∙ |
|
|
|
|||||
|
♦cos |
n |
|
|
n |
÷, |
|
|
|
||||||
где k |
0,1,2,...,n 1. |
|
|
♥ |
|
|
|
|
≠ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Найти |
z1 z2 |
, если |
z 2 3i , |
z |
2 |
3 5i , |
z |
3 |
1 4i . |
||||||
|
|||||||||||||||
|
|
z3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Сначала вычислим произведение z1 z2
z1 z2 (2 3i) (3 5i) 6 10i 9i 15 21 i .
Далее находим
z1 z2 |
|
(21 i) (1 4i) |
|
21 84i i 4 |
25 |
|
83 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i. |
|
z3 |
(1 4i) (1 4i) |
1 16 |
17 |
17 |
Пример. Представить в тригонометрической форме комплексное число z 1 i 3.
|
|
Решение. Находим Υ |
|
|
z |
|
|
|
Σ |
|
12 |
|
3 2 |
|
|
|
1 3 |
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Τ |
|
arg z |
arctg |
3 |
|
|
arctg 3 |
|
|
|
|
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
§ |
|
|
i sin |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2¨cos |
3 |
3 |
¸. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Пример. Даны два комплексных числа z1 |
|
|
1 i |
и z2 |
|
3 i . Записать их |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в тригонометрической форме. Найти в тригонометрической форме: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) z z |
2 |
; |
2) |
z1 |
; 3) |
|
z |
5 ; 4) |
|
|
3 z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Решение. Запишем в тригонометрической форме эти комплексные числа |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Υ1 |
|
1 1 |
2 , Μ1 |
|
|
|
|
arctg1 |
|
|
|
|
Σ |
|
и |
z1 |
|
|
|
§ |
|
|
|
Σ |
|
i sin |
Σ |
· |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2¨cos |
4 |
|
|
4 |
¸, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|||||||||
Υ |
|
|
3 1 |
|
|
Μ |
|
|
|
|
|
arctg |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
Σ |
i sin |
Σ |
· |
|
|||||||||||||||||||
|
|
2, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
и |
|
|
z |
|
2¨cos |
|
6 |
6 |
¸. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|||||||||||||
|
|
|
Далее находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) z1 z2 |
|
|
|
ª |
|
§Σ |
|
Σ |
· |
|
§ |
Σ |
|
|
|
|
Σ ·º |
|
|
|
|
|
ª |
|
5Σ |
|
|
|
|
|
|
5Σ |
|
º |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 2 «cos¨ |
|
|
|
|
|
¸ |
i sin¨ |
|
|
|
|
¸» |
|
2 |
2 «cos |
|
|
|
i sin |
|
|
|
». |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
4 |
|
12 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¬ |
|
© 4 |
|
¹ |
|
© |
|
|
|
|
|
6 ¹¼ |
|
|
|
|
|
¬ |
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
z1 |
|
|
|
2 |
ª |
|
§Σ |
|
|
Σ |
· |
|
|
|
|
|
|
§ |
Σ |
|
|
Σ |
·º |
|
|
|
|
|
ª |
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
Σ º |
||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
«cos¨ |
|
|
|
|
|
|
¸ isin¨ |
|
|
|
|
|
¸» |
|
|
|
2 |
«cos |
|
|
|
|
isin |
|
|
|
». |
||||||||||||||||||||||||
z2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
4 |
6 |
|
|
12 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¬ |
|
© 4 |
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
¹¼ |
|
|
|
|
|
¬ |
|
|
|
|
|
|
12¼ |
|||||||||||||||||||||||
3) |
z5 |
|
|
25 cos5Μ i sin 5Μ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
|
2kΣ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kΣ |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
¨ |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4) |
3 z |
|
|
2 ¨cos |
|
|
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
¸. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если k |
|
|
0, то Ζ0 |
|
|
6 2 ¨cos |
|
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
¸; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
12 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
§ |
|
|
|
|
3Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3Σ · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
k |
|
1, то Ζ |
2 ¨cos |
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
¸; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
© |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19