Учебное пособие 1225
.pdfЗамечание. Свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.
6. Если отрезок [a,b] разбит точкой сна части, то интеграл по всему промежутку равен сумме интегралов по его частям (при любом расположении точек a, b, и с).
|
|
|
b |
c |
b |
|
|
|
|
|
|
|
³ f (x)dx ³ f (x)dx ³ f (x)dx . |
|
|
||||
|
|
|
a |
a |
c |
|
|
|
|
7. |
Если |
функция |
f (x) τ 0 |
интегрируема |
на |
отрезке |
[a,b] (a<b), |
то |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ f (x)dx τ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
f (x) |
и g(x) |
интегрируемы |
на |
отрезке |
[a,b] (a<b) |
и |
|
8. |
Если |
||||||||
удовлетворяют на нем равенству |
f (x) δ g(x) , то |
|
|
|
|
bb
³f (x)dx δ ³g(x)dx (неравенства можно интегрировать, когда a<b).
a |
a |
f (x) |
интегрируема на [a,b] (a<b) и существуют числа |
9. Если функция |
|||
m и М такие, что во |
всех |
точках отрезка [a,b] выполняется неравенство |
|
m δ f (x) δ M , то |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
m(b a) δ ³ f (x)dx δ M (b a) . |
|
|
|
|
a |
10. Если функция |
f (x) |
непрерывна на отрезке [a,b] , то внутри отрезка |
найдется хотя бы одна точка с c a,b такая, что имеет место равенство:
b
³ f (x)dx f (c)(b a) .
a
4.3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
Если функция |
f (x) |
непрерывна на отрезке [a,b] и |
F(x) есть одна из |
||
первообразных для |
f (x) |
на [a,b] , то имеет место формула для вычисления |
|||
определенного интеграла |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
ba F(b) F(a) |
|
|
³ f (x)dx F(x) |
|
(4.4) |
||
|
|
||||
|
|
|
a
- формула Ньютона – Лейбница.
Примеры. Вычислить определенные интегралы.
50
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
2 |
|
|
8 |
|
1 |
|
|
|
7 |
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
Σ . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. |
³x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
2. |
|
arctgx |
|
1 |
arctg1 arctg0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0³ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
3 3 3 |
|
|
1 x2 |
|
|
0 |
|
4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
dx |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. ³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 x2 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
dx |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
>1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4. |
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Получили абсурд, так как функция |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1x2 |
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
терпит разрыв в точке |
|
|
|
0, следовательно, применять формулу Ньютона- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лейбница нельзя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4.4. Замена переменной в определенном интеграле |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
|
необходимо |
вычислить |
³ f (x)dx , |
где |
f (x) – некоторая |
a
непрерывная функция.
Часто для нахождения первообразной приходится вводить новую переменную x Μ(t) . При этом пользуются следующим правилом:
Теорема. Пусть выполнены следующие условия: |
|
|||
1. |
Функция |
f (x) непрерывна на отрезке [a,b] . |
|
|
2. |
ФункцииΜ(t) и Μχ(t) непрерывны в промежутке > |
, Ε и a δ Μ(t) δ b |
||
при δ t δ Ε и Μ( |
) a; Μ(Ε ) b . |
|
||
3. |
Сложная функция f >Μ(t) |
непрерывна на > , Ε |
|
|
Тогда |
b |
Ε |
|
|
|
|
|
||
|
|
³ f (x)dx |
χ |
(4 .5) |
|
|
³ f >Μ(t)Μ (t)dt . |
a
Замечание. При вычисление неопределенного интеграла с помощью замены переменной в найденной первообразной Φ(t) приходилось
возвращаться к старой переменной х. Если в определенном интеграле наряду с переменной интегрирования заменить и пределы, то надобность возвращения к исходной переменной отпадает.
Примеры.
|
|
|
|
§ |
x |
4 |
|
|
|
¨ |
|
|
|
dx |
¨dx |
||
1. ³ |
|
|
|||
|
|
|
¨x |
||
1 |
x |
||||
0 |
|
|
|
¨ |
1 |
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
©x2 |
t; x |
t 2 · |
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
2 |
|
2 |
t 1 1dt |
2tdt |
|
¸ |
2tdt |
|||
|
¸ |
0³ |
2 |
|||
0; t1 |
0 |
¸ |
1 t |
0³ |
t 1 |
|
4; t2 |
2 |
¸ |
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
51
ª2 |
2 |
dt |
º |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2«³dt ³ |
|
» |
2t |
0 |
2ln |
1 |
t |
|
|
|
4 |
2ln 3. |
|
|
|
|
|
||||||||||
« |
0 |
t 1» |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
¬0 |
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
§x |
|
asin t |
|
|
dx |
|
|
acostdt |
|
· |
|
|||||||||||
|
2. ³ a2 x2 dx |
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
¸ |
|
||||||
|
¨ |
|
|
|
|
0 t |
|
0 |
|
x |
|
|
a;t |
|
|
¸ |
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
¨x |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
¸ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
© |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
||||
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
1 cos2t |
|
|||||||
³ |
a |
|
a |
|
sin |
|
tacostdt |
|
a |
|
|
³cos |
|
tdt |
|
|
a |
|
|
³ |
|
|
|
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
e |
x |
|
1 |
t; |
|
x ln(t |
2 |
1) |
|
· |
|
||||||||||
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
¸ |
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|||
|
|
3 . ³ |
|
ex 1dx ¨dx |
|
|
|
|
|
dt; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
³t |
||||||||
|
|
|
|
|
1 t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
0; x |
|
|
ln 2 t |
|
|
¸ |
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¨x |
|
|
0 t |
|
2 |
2 |
|
1¸ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
Σa |
2 |
|
|
ª |
|
|
sin 2t º |
2 |
|||||||
|
|
«1 |
|
|
|
» |
|
|
|
. |
||
2 |
2 |
|
|
|
4 |
|||||||
¬ |
|
|
|
¼ |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
2t |
|
|
|
t |
1 1 |
|
|
||||
|
|
dt |
2³ |
|
|
dt |
||||||
1 t |
2 |
|
|
t |
2 |
1 |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
ª1 |
1 |
dt |
º |
|
1 |
§ |
|
Σ · |
|
|
|
|
|||||||
2«³dt ³ |
|
» 2>t arctgt |
|
0 |
2¨1 |
|
¸. |
||
1 t 2 |
|||||||||
« |
0 |
» |
|
© |
|
4 ¹ |
|||
|
|
||||||||
¬0 |
|
¼ |
|
|
|
|
|
4.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы в [a,b] . Тогда, дифференцируя произведение, получим
du(x)v(x) udv vdu.
Проинтегрировав это тождество по х в промежутке [a,b] , получим
формулу интегрирования по частям в определенном интеграле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³udv uv |
|
ba ³vdu. |
|
|
|
(4.6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
§ |
ln(1 x); |
|
|
|
|
|
|
dx |
· |
||||
Пример. ³ln(1 x)dx |
¨u |
|
du |
|
|
|
;¸ |
||||||||||||||
|
1 |
x |
|||||||||||||||||||
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
dx; |
|
v |
x. |
|
|
|
¸ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
©dv |
|
|
|
|
¹ |
|||||||||
|
|
|
1 |
xdx |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
xln(1 x) |
|
10 ³ |
ln 2 ³dx |
³ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 1 |
x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln 2 x |
|
1 |
ln(1 x) |
|
1 |
ln 2 1 ln 2 |
2ln 2 1. |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
4.6. Несобственные интегралы
b
При определении интеграла ³ f (x)dx предполагалось
a
1)промежуток [a,b] конечен;
2)функция f (x) определена и непрерывна в [a,b] .
Рассмотрим теперь интегралы, для которых эти условия нарушаются.
4.6.1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы первого рода)
Пусть функция f (x) непрерывна в промежутке [a,φ] .На данном
промежутке не существует определенный интеграл, поскольку нельзя разбить промежуток [a,φ] на n частей конечной длины.
Тем не менее интегралы с бесконечными пределами встречаются как в математике, так и в приложениях. Однако это уже иные интегралы.
Определение. Несобственным интегралом от функции f (x) по бесконечному промежутку a δ x φ называют
φ |
|
b |
³ f (x)dx |
lim |
³ f (x)dx . |
a |
bο φ |
a |
|
Если предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Примеры.
φ |
dx |
|
|
b |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
b0 |
lim >arctgb arctg0 |
Σ . |
1. ³ |
lim |
|
³ |
|
|
lim |
arctgx |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||
0 |
1 x |
bο φ |
0 |
1 |
x |
|
bο φ |
|
|
|
|
|
bο φ |
2 |
|
Интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
φ |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b0 |
lim >1 cosb . |
|
||
2. ³sin xdx |
lim |
³sin xdx |
lim |
cosx |
|
|
|||||||||
|
|
||||||||||||||
0 |
|
bο φ |
0 |
|
|
|
|
bο φ |
|
|
bο φ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел не существует – интеграл расходится.
φ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. ³ |
. При каких р интеграл сходится и при каких расходится? |
|||||||||
p |
||||||||||
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
b |
||
|
|
φ |
dx |
φ |
|
x p 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
1) Пусть p !1. ³ |
³x p dx |
lim |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
x p |
1 |
bο φ p 1 |
|
1 |
||||
|
|
53
|
♠ |
1 |
|
1 |
≡ |
1 |
|
|
lim |
↔ |
|
|
|
≈ |
|
|
. Интеграл сходится. |
( p 1)b p 1 |
|
p 1 |
||||||
bο φ↔ |
|
p 1≈ |
|
|||||
|
← |
|
|
|
… |
|
|
|
2) Пусть p 1.
φ |
dx |
|
φ |
|
p dx |
|
|
|
|
x p 1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
³ |
|
³x |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
φ . Интеграл расходится. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
x p |
0 |
|
|
|
bο φ p 1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
p |
|
|
|||||||||
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1b |
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
Пусть p |
1. ³ |
|
|
lim |
ln x |
|
φ . Интеграл расходится. |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
bο φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Большинство свойств определенного интеграла (кроме |
||||||||||||||||||||||||
оценки и теоремы о среднем) для несобственных интегралов сохраняются. |
||||||||||||||||||||||||
Если |
|
f (x) |
непрерывна |
на |
|
|
промежутке |
(φ,a) , то |
аналогично |
|||||||||||||||
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ f (x)dx |
|
lim |
³ f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
φ |
|
aο φ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если f (x) непрерывна на всей числовой оси, то |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
³ f (x)dx |
³ f (x)dx ³ f (x)dx . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
φ |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|||||||
Интеграл, |
стоящий слева, |
называется |
сходящимся, если |
сходятся оба |
интеграла в правой части и расходящимся, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части.
Часто бывает достаточно знать, сходится или расходится рассматриваемый несобственный интеграл. Для этого могут быть полезны
следующие теоремы. |
x >a,φ |
|
|||
Теорема. Пусть для |
выполняется соотношение |
||||
0 δ f (x) δ g(x) , тогда: |
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
φ |
1) если |
³g(x)dx сходится, то сходится и |
³ f (x)dx ; |
|||
|
a |
|
|
|
a |
|
φ |
|
|
|
φ |
2) если |
³ f (x)dx расходится, то расходится и ³g(x)dx . |
||||
|
a |
|
|
|
a |
Примеры. |
|
φ |
|
||
|
|
|
|
||
1. Исследовать сходимость интеграла |
1³ |
x2 1dx e x . |
φ dx
Сравним данный интеграл с известным сходящимся интегралом 1³ x2 .
54
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
φ |
|
dx |
|
|
φ dx |
|||||||||
Так как при |
|
x τ1 |
|
x2 1 ex |
|
|
, то |
|
1³ |
x2 1 e x |
1³ |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
x2 |
||||||||||||||||||||||||
Следовательно, интеграл сходится. |
|
φ1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Исследовать сходимость интеграла ³ |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|||||||||
Действительно, при x τ 1 |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
. |
|
³ |
|
|
|
dx ! |
³ |
|
, а ³ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x x |
|
x |
|
|
|
x |
x |
x |
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
φ1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
расходится, следовательно, |
³ |
|
|
dx расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.6.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(несобственные интегралы второго рода) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пусть функция f (x) |
определена и непрерывна при a δ x b , в точке b |
терпит бесконечный разрыв (разрыв второго рода). В этом смысле определенный интеграл на [a,b] не может существовать, так как не существует предел интегральных сумм. Возьмём произвольное число Η ! 0 и рассмотрим отрезок [a,b Η ], на котором функция f (x) непрерывна, а значит, существует
определенный интеграл на этом отрезке. |
|
|
|
||||||||||||
|
Определение. |
Несобственным |
интегралом второго рода называется |
||||||||||||
|
bΗ |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
³ f (x)dx |
³ f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Η ο0 |
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл |
||||||||||||||
называется расходящимся. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Аналогично определяется интеграл с особенностью на нижнем пределе. |
||||||||||||||
Пусть f (x) непрерывна на |
a x δ b , при |
x |
a имеет разрыв второго рода, |
||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
³ |
f (x)dx |
lim |
|
³ f (x)dx. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
Η ο0 |
a Η |
|
|||
|
Примеры. Исследовать сходимость интегралов. |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 Η 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1. ³ |
dx |
|
lim |
³x |
2 dx |
2 lim |
x |
|
|
|
2 lim |
|||
|
x |
|
|||||||||||||
|
0 |
Η ο0 |
Η |
|
|
|
Η ο0 |
|
|
Η |
|
Η ο0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл сходится.
55
2. 1³ dx . Установить, при каких р данный интеграл сходится.
0 x p
1 dx
а) p 1, тогда ³
0 x
1 dx b) p !1, тогда ³0 x p
|
ª |
|
1 |
|
|
|
Η |
1 p º |
||||
lim |
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
||
1 p |
|
|
||||||||||
Η ο0« |
|
1 p » |
||||||||||
|
¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
с) p 1, тогда ³ |
|
|
||||||||||
|
p |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x |
|||
lim |
ª |
|
1 |
|
|
Η |
1 p º |
|||||
« |
|
|
|
|
|
|
|
» |
||||
|
p |
1 |
|
|
||||||||
Η ο0«1 |
|
|
p » |
|||||||||
|
¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
Если функция |
|
|
f (x) |
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
1Η f. Интеграл расходится. |
||||||
lim |
|
³ |
|
|
lim ln x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||||
Η ο0 |
Η |
Η ο0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x p 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
³x p dx |
lim |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Η ο0 |
Η |
|
|
|
Η ο0 p 1 |
Η |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f. Интеграл расходится. |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
x p 1 |
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
³x p dx |
|
lim |
|
|
|
|
||||||||||
|
p 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
Η ο0 |
Η |
|
|
|
|
Η ο0 |
|
Η |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
. Интеграл сходится. |
||||||||||||||||
1 p |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
на |
отрезке |
|
[a,b] |
|
имеет несколько точек разрыва |
первого рода. Тогда промежуток разбивают на частичные так, чтобы на каждом из них было по одной точке разрыва, расположенной на конце интервала
b c b
³ f (x)dx ³ f (x)dx ³ f (x)dx.
a a c
Если все интегралы в правой части сходятся, то сходится и интеграл в левой части. Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то расходится и интеграл, стоящий справа.
Теорема. |
Пусть для всех х a δ x b , выполнено условие 0 d f (x) d g(x) , |
|||||||
причем |
f (x) |
и g(x) непрерывны при a δ x b , а при |
|
x b |
|
имеют |
||
бесконечные разрывы. Тогда |
|
|
|
|
|
|||
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
1) если ³g(x)dx сходится, то сходится и ³ f (x)dx ; |
|
|
|
|
|
|||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
2) |
если ³ f (x)dx расходится, то расходится и ³g(x)dx . |
|
|
|
|
|
||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
dx |
|
|
||
Пример. |
Исследовать сходимость интеграла ³ |
|
|
, |
||||
3 |
x 24 |
x x3 |
||||||
|
|
0 |
|
используя теоремы сравнения.
56
При x 0 подынтегральная функция терпит разрыв. Сравним данный
|
|
|
|
100 |
dx |
|
|
|
|
|||
интеграл с интегралом |
³ |
, который сходится. |
||||||||||
4 |
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
100 |
|
|
100 |
|
|
|||
1 |
|
1 |
|
|
dx |
dx |
|
|||||
|
, то |
³ |
|
|
³ |
и данный интеграл сходится. |
||||||
|
3 x 24 x x3 |
4 x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
3 x 24 x x3 |
0 |
4 x |
Задачи для самостоятельного решения: [1, гл.12, №№ 10, 12, 19, 41, 45, 46], [3, №№ 1596 1599, 1613 1615, 1628 1631, 1636 1638], [4, гл.6, №№ 6.3, 6.5, 6.7, 6.11, 6.15, 6.41, 6.42, 6.55, 6.57 6.69, 6.81, 6.83, 6.86].
Задачи для самостоятельного решения
b |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. ³xndx |
(n ζ 1). 2. ³(3x2 1)dx. 3. ³ |
. |
4. |
|
³exdx. |
5. ³( |
|
x x2 )dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Σ |
|
|
|
3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
Σ / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ / 4 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6. ³sin xdx. 7. ³ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
8. |
|
³cos xdx. |
9. ³ |
|
|
|
|
|
|
|
. 10. |
|
³ |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 x2 |
|
1 x |
2 |
|
|
1 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
3x4 3x2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
♣ |
|
|
|
1 |
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11. |
³ |
|
|
|
|
|
dx. 12. ³ |
♦ x |
2 |
|
|
|
|
÷dx. |
13. |
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
14. |
|
³x 3 x dx. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Σ / 4 |
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
♥ |
|
|
|
x4 |
≠ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
4 x2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Σ |
|
|
|
1 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||
15. |
³sin 2dx. 16. ³ |
|
|
|
|
. |
17. ³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
18. ³ |
|
|
|
|
|
. |
|
19. ³ |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
(x |
2 1)2 |
|
|
|
|
|
1 x 1 (ln x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 4x |
|
|
|
|
|
|
0 3 |
2cosx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Σ / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20. |
³sin x cos2 xdx . |
21. |
³x sin xdx. |
|
22. ³ln xdx. |
|
23. ³ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
24. |
³ln 2 xdx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
³arctg xdx. |
26. |
³xe x2 dx. |
27. |
|
|
³x2e xdx. |
|
28. ³x2 |
|
a2 x2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Σ / 2 |
|
|
dx |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
29. |
³ |
|
|
|
. 30. |
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
31. ³ |
|
|
|
|
|
|
|
dx. 32. |
|
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. 33. ³ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
2 |
cos x |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
2x 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Σ / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||
34. |
³sin x cos2 xdx. 35. |
|
|
³cosxsin2 xdx. |
36. ³ |
|
|
|
. 37. ³ |
|
|
|
. 38. |
³ |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 e |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x2 1 |
||||||||||||||||
Σ / 4 |
|
|
|
|
Σ / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
xdx |
|
|||||||||||||||
39. |
³sin 4xdx. 40. |
|
³tg3 xdx. 41. ³ |
|
|
|
|
.42. ³ |
|
|
|
|
|
. 43. ³e xdx. |
44. |
³ |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
25 x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 x2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы
|
|
|
|
|
|
|
bn 1 an 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10).8. 1. 9.Σ / 4. |
|
||||||||||||||||||
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.2. 6. 3. ln2. 4. e(e – 1). 5. 1/3. 6. 2. 7. ln(3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. |
|
Σ |
arctg |
Σ |
. 11. |
arctgΣ |
.12. 21/8. 13. Σ / 6.14. 10/3. |
15. 0. 16. 1 . 17. |
Σ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
4 |
2 |
||||||
18. |
|
3 |
2 |
. 19. |
|
Σ |
|
|
. 20. |
1 |
. 21.5Σ . 22. 1. 23. |
аrctg 2. 24.e – 2. |
25. |
|
|
ln 2. 26. 0. |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
5 |
3 |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
e2 |
|
|
5 |
|
|
|
Σa4 |
|
|
|
Σ |
|
3 |
|
4 2ln 3. |
31. 2ln2 – 1. |
32. |
Σ |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
27. |
|
|
|
|
|
|
|
. 28. |
|
|
|
|
|
. 29. |
|
|
|
|
|
. 30. |
|
|
|
|
|
. |
33.2 – ln2. |
|||||||||||||
|
e |
|
|
|
16 |
|
9 |
|
|
|
6 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ln 2 |
|
|||||||||||||
34. 1/3. |
|
35. 1/3. |
|
36. ln |
|
2e |
|
|
. 37. arctge Σ / 4. 38. ln(1 |
2). 39. 1/2. |
|
40. |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
e 1 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
41. |
|
ln |
. 42. |
|
|
|
|
. 43. 1. |
44. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
5.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах
Если f (x) τ 0 на отрезке |
[a,b] , то площадь криволинейной трапеции |
|
вычисляют по формуле |
b |
|
|
|
|
S |
³ f (x)dx . |
(5.1) |
|
a |
|
b |
b |
b |
||||
Если f (x) δ 0 на [a,b] , то ³ f (x)dx δ 0 и S |
³ f (x)dx |
³ |
|
f (x) |
|
dx . |
|
|
|||||
a |
a |
a |
|
|
Если |
|
f (x) |
принимает на [a,b] значения разных знаков, то |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S ³ |
|
f (x) |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: |
||||||||||||||||||||||||
y |
; y |
0; x |
1; x |
2 (рис. 5). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
2Σ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
11 |
|
|
2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
|
12 |
|
|
|
|
Решение. |
S |
³ |
ln x |
|
ln 2 ln1 |
|
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||
Пример. |
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Вычислить |
площадь |
|
||||||||||
y sin x 0 δ x δ 2Σ ; y |
0 (рис. 6). |
|
|
|||||||||||
Решение. |
|
|
sin x |
|
t 0 |
|
0 d x d Σ |
|
. |
|||||
|
|
|
® |
|
Σ d 2x d |
2Σ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯d 0 |
|
|
|||
2Σ |
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
2Σ |
|
|
||
S ³ |
|
sin x |
|
dx |
|
|
³sin xdx ³( sin x)dx |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
Σ |
0 |
|
|
|
Σ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Иначе: S |
|
|
2³sin xdx |
4. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 (кв. ед.).
фигуры, ограниченной линиями
cosx |
|
Σ |
cosx |
|
2Σ |
1 1 1 1 4. |
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
Площадь |
фигуры, ограниченной слева и |
x b (a b), а |
снизу и сверху кривыми y |
вычисляется по формуле
b
S ³> f2 (x) f1(x) dx .
справа |
прямыми |
x a |
и |
f1(x) и |
y f2 (x) |
(рис. |
7) |
|
|
(5.2) |
a
|
|
Рис. 7 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
Пример. |
Вычислить |
|
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
графиками |
||||
функций y |
f (x) |
x и y |
f |
2 |
(x) 2 x2 |
(рис. 8). |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой y x |
с параболой |
|||||||||
y 2 x2 . |
Решая систему уравнений |
y |
x, |
|
получаем x1 |
2, x2 1. |
||||
®° |
2 x |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
° |
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
¯y |
|
|
Это и есть пределы интегрирования. Искомая площадь фигуры согласно
формуле (5.2) |
такова: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
>2 x2 x dx |
§ |
|
x |
3 |
|
x |
2 |
· |
|
9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
s ³ |
>f2 x f1 x dx ³ |
¨ |
2x |
|
|
|
¸ |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
¨ |
3 |
2 |
¸ |
|
|
||||||
2 |
2 |
|
© |
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59