Учебное пособие 1868
.pdf3) |
дуга параболы |
у = х2, |
соединяющая точки |
С(0, 0) |
и |
||||||||||||
D(4, 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) |
23 |
; |
2) |
|
38 |
; 3) |
22 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||
Задача 3.10. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
I |
|
2 y 6 xy3 dx 2x 9x2 y2 dy ; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где L одна из линий, соединяющих точки О(0, 0) и А(2, 2). |
|
||||||||||||||||
1) |
отрезок ОА; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
парабола |
|
y |
|
|
1 |
x2 ; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
парабола |
x |
|
1 |
y 2 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
кубическая парабола y |
|
1 |
x3 |
|
|
|||||||||||
4 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
ломанная ОСА, |
где С(2, 0). |
|
|
|||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
Уравнение прямой на которой лежит отрезок |
ОА |
у |
= х, |
поэтому dy = dx. Заменим в подынтегральном выражении |
у на |
х, а dy на dx, получим: |
|
2 |
|
|
|
|
I |
2x 6 x x3 dx 2x 9x2 x2 dx 88 . |
||||
|
0 |
|
|
|
|
2) Из уравнения кривой y |
1 |
x2 |
следует, что dy = x dx. |
||
2 |
|||||
|
|
|
|
Заменяя в подынтегральном выражении у на 21 x2 , а dy на
хdx, получим, что
51
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
1 |
x2 |
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
9 x2 |
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||
I |
2 |
|
6 x |
dx |
2x |
|
|
|
|
xdx |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
3x7 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3x |
|
88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Так как уравнение линии x |
|
1 |
y 2 , то dx = ydy. Заменим |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в подынтегральном выражении х, |
на |
1 |
y2 , а |
dx |
на |
ydy, полу- |
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
чим, учитывая, что у изменяется от 0 |
|
до 2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y3 |
|
|
|
y2 |
|
y2 |
y2 dy |
||||||||||||||||
|
I |
|
|
|
2 y |
|
6 |
|
ydy |
|
2 |
9 |
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
3 y2 |
21 |
y6 |
|
|
|
|
y3 |
|
3 |
y7 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dy |
|
|
|
|
8 |
|
128 |
|
88 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4)Убедиться самостоятельно, что I = - 88.
5)Вычислим этот интеграл по ломанной ОСА, состоящий
из отрезка ОС оси ОХ и отрезка СА прямой Х = 2.
В этом случае на отрезке ОС: у = 0, dy = 0. На отрезке СА:
х = 2, dх = 0, а у изменяется от 0 до 2, |
так как |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OCA OC CA |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I |
|
2 2 9 2 |
y |
dy 4 y 12y |
|
88 . |
||||
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, по какой бы из указанных кривых, соединяющих точки (0, 0) и (2, 2), мы не вычисляли этот интеграл, оказывается, что он равен одному и тому же числу. Иначе говоря, величина этого интеграла не зависит от пути интегрирования.
Ниже будет указано условие, которому должно удовлетворять подынтегральное выражение Р(х,у)dx + Q(x,y)dy в криво-
52
линейном интеграле второго рода, чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования, соединяющего эти точки.
3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Если функции Р(х,у) и Q(x,y) определены и непрерывны
вместе со своими частными производными |
|
P |
и |
Q |
в замк- |
|
y |
x |
|||
|
|
|
|
||
нутой ограниченной односвязью области D, |
то для того, чтобы |
||||
в криволинейный интеграл |
|
|
|
|
P x, y dx Q x, y dy
AB
не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области выполнялось условие
|
P |
= |
Q |
. |
(3.15) |
|
|
|
|||
|
y |
|
x |
|
|
Но условие (3.15) является необходимым и достаточным для |
|||||
того, чтобы выражение Р(х,у)dx + Q(x,y)dy, |
являлось полным |
дифференциалом некоторой функции. Поэтому можно утверждать, что для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования АВ, а зависел только от его концов и достаточно, чтобы подынтегральное выражение Рdx + Qdy, было полным дифференциалом некоторой функции.
Но, если выполняются условия (3.15) и выражение Рdx + Qdy, является полным дифференциалом некоторой функции, то криволинейный интеграл P (х,у)dx + Q(x,y)dy, взятый по любому
L
замкнутому контуру L целиком лежащему в односвязной ограниченной замкнутой области D равен 0.
Если путь, по которому вычисляется криволинейный интеграл, безразличен, то употребляется обозначение:
53
x1 , y1
P x, y dx Q x, y dy |
(3.16), |
x0 , y0
где (х0, у0) и (х1, у1) – координаты начала и конца пути интегрирования.
Задача 3.11. Выяснить, будет ли криволинейный интеграл зависеть от формы пути интегрирования:
I 6 xy 4 y2 5 y dx 3x2 8xy 5x dy .
AB
Решение. Здесь Р(х, у) = 6ху + 4у2 + 5у,
а функция Q(x,y) = 3x2 + 8xy + 5x. Интеграл не будет зависеть от пути интегрирования, если выполнено условия (3.15).
|
P |
6 x 8 y 5 |
; |
|
|
|
Q |
6 x 8 y 5 |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
P |
|
Q |
, |
и криволинейный интеграл за- |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
||
висит от формы пути интегрирования. |
|
|
|||||||||||
Задача 3.12. Убедится, что интеграл |
|
|
|||||||||||
|
|
I |
6 xy2 |
4x3 dx 6 x2 y 3 y2 dy |
|
||||||||
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не зависит от формы пути интегрирования, и после этого вычислить его по отрезку прямой, соединяющей точки (2, 3) и (3, 4).
Решение. Р(х, у) = 6ху2 + |
4х3 , |
Q(x,y) = 6x2y + 3у2. |
|||||||
|
P |
12xy ; |
Q |
12xy , |
т.е. |
P |
|
Q |
. |
|
y |
|
x |
|
|
y |
|
x |
Интеграл не будет зависеть от пути интегрирования.
54
Уравнение прямой, соединяющий точки с координатами
(2, 3) и (3, 4) имеет вид: у = х + 1; dy = dx.
Получим:
3,4 |
6 xy2 |
4x3 dx 6 x2 y 3 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 x3 |
6 x2 x |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
6 x x 1 2 |
|
|
1 |
3 x |
dx |
|
426 . |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
426. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 3.13. Будет ли криволинейный интеграл, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 y 2 |
dx |
|
2 y |
dy , |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
L x2 |
x4 |
|
x3 |
|
|
|
||||||||
взятый по замкнутому контуру L равен 0 ? |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение: При выполнении условия |
|
P |
|
Q |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(где Р(х, у) = |
|
1 |
|
3 y2 |
, Q(х, у) = |
2 y |
|
). |
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 |
x4 |
x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Криволинейный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, будет равен нулю. Поэтому, чтобы ответить на вопрос, вычислим:
|
P |
|
6 y |
, |
|
|
Q |
|
6 y |
, |
т.е. |
P |
|
Q |
. |
|||
|
x |
|
x4 |
|
|
|
|
x x4 |
|
y |
|
x |
||||||
Так как функции выражение Р(х,у) и Q(x,y) и их частные |
||||||||||||||||||
производные |
|
P |
|
и |
Q |
имеют разрыв при х = 0, следует ука- |
||||||||||||
|
y |
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зать, что заданный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, будет равен нулю, но этот контур не должен проходить через точку с абсциссой х = 0.
55
Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.14. Вычислить интеграл
|
|
|
|
|
|
3,2 |
|
|
x |
|
|
|
|
2x |
y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dy . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1,1 x y 2 |
|
|
x |
y 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Указание. Убедится, что |
|
P |
|
|
Q |
. |
|
За путь интегрирова- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
||
ния выбрать прямую, соединяющие точки |
(1, 1) и (3, 2). Ее |
||||||||||||||||||||
уравнение y |
|
1 |
x |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
ln |
5 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.15. Будет ли криволинейный интеграл
x2 y2 xdx ydy
L
по любому замкнутому контуру, будет равен нулю. Подтвердить полученное заключение непосредственным вычислением, по какому-нибудь замкнутому контуру.
Указание. Проверить, является ли подынтегральное вы-
ражение полным дифференциалом, для этого найти |
P |
и |
Q |
, |
|||||||
X |
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Р(х, у) = х3 + ху2; |
|
Q(х, у) = х2 у + у3, |
|
|
|
|
|||||
так как |
P |
|
Q |
2xy |
, |
то можно утвердительно ответить на |
|||||
|
|
|
|||||||||
X |
|
y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вопрос задачи.
Выбрать в качестве замкнутого контура, например, окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Параметрические уравнения такой окружности имеют вид:
56
x cost
(0 t 2 ).
y sint
Задача 3.16. Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить следующие интегралы:
1,2 |
2xy |
2 |
3x |
2 1 |
|
2x |
dx 2x |
2 |
y |
3 y |
2 1 |
|
2x2 |
dy |
||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
|
y 2 |
|
|
y 2 |
|
y3 |
|||||||
2,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(вдоль путей, не пересекающих координатных осей и не проходящих через начале координат).
5,3 |
y2dx |
x2dy |
|
|
2) |
|
|
; |
|
x |
y 2 |
|||
2,1 |
|
(вдоль путей, которые не пересекают биссектрису первого и третьего координатных углов).
Ответ: 1) |
15 |
; |
2) 5,5. |
|
4 |
||||
|
|
|
3.4. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла второго ряда
Криволинейный интеграл по простому замкнутому гладкому контуру L, ограничивающему односвязную область D может быть преобразован в некоторый двойной интеграл по области D, ограниченной этим контуром.
Это преобразование выполняется по формуле Грина, которая имеет вид:
P x, y dx Q x, y dy |
|
Q |
|
P |
dxdy. |
(3.17) |
D x |
|
y |
||||
L |
|
|
|
|||
57 |
|
|
|
|
|
|
Предполагается, что функции |
Р(х, у) и Q(x, y), а также |
|||||
их частные производные |
Q |
и |
P |
|
непрерывны в области D и |
|
x |
y |
|||||
|
|
|
на контуре L, который ее ограничивает, причем, контур L, пробегается в положительном направлении, т.е. так, что область D остается слева.
Если формулу Грина прочесть справа налево, то можно сказать, что она сводит вычисление двойного интеграла по области D к вычислению криволинейного интеграла взятого по контуру L, ограничивающему эту область.
Формула (3.17) справедлива не только для области D указанного вида, но и для более сложных областей, ограниченных несколькими простыми гладкими контурами. В случае:
P x, y dx Q x, y dy ,
L
следует рассматривать как сумму интегралов по составляющим контурам, причем, интегрирование по этим контурам должно вестись в таком направлении, чтобы область D оставалась слева.
Многие криволинейные интегралы, взятые по замкнутому контуру, удобно вычислять, сводя их к двойному.
Задача 3.17. Вычислить, применяя формулу Грина, инте-
грал.
x2 ydx xy2dy ,
L
где L – окружность х2 + у2 = а2, пробегаемая в положительном направлении.
|
Решение. |
Здесь Р(х, у) = - х2 у; Q(х, у) = - х у2; |
||
P |
x2 ; |
|
Q |
y2 . |
y |
|
x |
||
|
|
|
Подставляя эти значения в формулу (3.17), получим:
58
I |
x2 ydx xy2dy |
y2 x2 dxdy, |
L |
|
D |
где D – круг, ограниченный окружностью х2 + у2 = а2. Вычисление полученного интеграла удобно провести в полярных ко-
ординатах, при этом элемент площади dxdy = rdrd , а х2 + у2 = r2. Получим
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
a |
3 |
|
a4 |
|
a |
4 |
|
x |
|
y |
|
dxdy |
|
r |
|
drd |
d |
r |
|
dr 2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
Ответ: |
I |
|
a |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.18. С помощью формулы Грина вычислить инте-
грал
I |
|
1 |
arctg |
y |
dx |
2 |
arctg |
x |
dy , где |
|
|
|
|
|
|||||
|
C x |
|
x |
y |
|
y |
С – замкнутый контур, составленный дугами двух окружностей
х2 + у2 = 1 |
и |
х2 + у2 = 4 (y > 0) |
|
и отрезками прямых у = х и |
|||||||||||||||||
y |
3 x |
|
(у |
0), заключенных между этими окружностями |
|||||||||||||||||
(рис. 3.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Указание. Найти |
|
P |
и |
|
Q |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
P |
1 |
|
|
; |
|
Q |
|
|
2 |
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y x2 |
y 2 |
|
x |
|
x2 |
|
y 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
Q |
P |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
y |
|
x2 |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.1
59
По формуле Грина интеграл равен: I |
1 |
dxdy . |
|
D |
x2 y2 |
В данной задаче удобно перейти к полярным координатам
I |
1 |
rdrd |
3 |
d |
2 1 |
drd |
|
ln 2 . |
|||
D |
r 2 |
|
1 |
r |
12 |
||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: I |
|
ln 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.19. Криволинейный интеграл из предыдущей задачи и по тому же контуру вычислить, не прибегая к формуле Грина.
Указание. Уравнения окружности преобразовать к параметрической форме. Получим уравнение:
x |
cos t |
|
x |
2 cos t |
||||
y |
sint |
и |
y |
2 sint |
||||
Параметр t |
на дуге ВС изменяется от |
|
|
до |
|
, |
||
|
4 |
3 |
а на дуге DА от 3 до 4 .
Интегралы по этим двум дугам взаимно уничтожаются.
Перемещая х на отрезке АВ применяется от |
|
2 |
|
|
|
|
до 2 , а |
||||||
2 |
||||||
|
|
|
|
на отрезке СD от 1 до 21 .
С помощью интеграла второго рода, площадь плоской фигуры, ограниченной кусочно-гладкой кривой вычисляется, по формуле:
60