Учебное пособие 1868
.pdfЗадача 4.10. Вычислить интеграл
J = xdydz+2ydxdz+zdxdy, где Σ – положительная сторона ку-
ба, составленного плоскостями x=0 , y=0, z=0, x=2, y=2, z=2.
Ответ: 8.
Задача 4.11. Вычислить координаты центра тяжести однородного полушара x2 + y2+ z2 = 4, z = 0 (z ≥ 0).
Ответ: (0, 0, 1,5).
Задача 4.12. Вычислить массу тела, ограниченного по-
верхностями на 2x + z = 2, x+ z = 1, y2 = x, y = 0 (y > 0), если плотность его в каждой точке равна y этой точки.
Ответ: 1/(12).
5. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. Изложим элементы того математического аппарата, которым приходится пользоваться при изучении физических полей.
В физических задачах чаще всего встречаются величины двух типов: скаляры и векторы. В соответствии с этим мы будем рассматривать два типа полей – скалярные и векторные.
5.1. Скалярные поля
Пусть Ω - некоторая область в пространстве. В этой области задано скалярное поле, если каждой точке М этой области поставлено в соответствие некоторое число U (М).
Примерами скалярных полей служат: поле температур внутри некоторого нагретого тела (в каждой точке М этого тела задана соответствующая температура U (М)); поле освещенно-
81
сти, создаваемое каким-либо источником света; поле плотности массы и т.д.
Пусть U(М) – некоторое скалярное поле, то, введя в области, где задано поле, декартовы координаты, можно представить это поле в виде непрерывной функции U(x, у, z) и имеющей в рассматриваемой области непрерывные частные производные первого порядка по х, у и z. Задание скалярного поля с помощью фиксированной системы координат и функции U (х, у, z) не всегда дает достаточно ясное представление о поведении этого поля. Для получения наглядной картины удобно пользоваться называемыми поверхностями уровня. Поверхностью уровня скалярного поля U (M) называется геометрическое место точек, в которых поле U(М) имеет данное фиксированное значение С. Уравнение поверхности уровня имеет вид U(x, у, z) = С. Задание всех поверхностей уровня с отметкой на них соответствующих значений С равносильно заданию поля U(М). Взаимное расположение поверхностей уровня в пространстве дает наглядное представление о соответствующем скалярном поле.
Этот способ изображения поля удобен тогда, когда поле, задано не в пространственной, а в плоской области. Такое поле описывается функцией двух переменных U(x, у). Равенство вида U(x, у) = С определяет некоторую кривую. Такие кривые называются линиями уровня плоского скалярного поля U (М). Во многих физических задачах приходится иметь дело с полями, обладающими свойствами симметрии, облегчающими изучение таких полей.
Частные случаи: Плоскопараллельное поле. Если скалярное поле U (М) в декартовой системе координат можно описать функцией, зависящей от двух координат (U(x, у)), то поле называется плоскопараллельным (двумерным). Поле U (M) называется плоскопараллельным, если в пространстве существует направление, при сдвигах вдоль которого поле U (M) переходит
82
само в себя. Поверхности уровня такого поля – это семейство (U(x, y) = C) цилиндрических поверхностей (рис. 4.2).
Осесимметрическое поле. Если для поля U (M) можно подобрать такую цилиндрическую систему координат, в которой
оно изображается функцией, зависящей только от переменных r = (х2+ у2)1/2 и z (но не от угла υ), то это поле называется осе-
симметрическим. Поверхности уровня такого поля представляют собой поверхности вращения. Если эти поверхности вращения – круглые цилиндры, т.е. если поле U (М) в соответствующей цилиндрической системе координат изображается функцией, зависящей лишь от одной координаты r (расстояния точки от оси симметрии поля), то U (М) называется цилиндрическим полем.
Сферическое поле. Если значения U (М) зависят лишь от расстояния точки М от некоторой фиксированной точки М0,то такое поле называется сферическим. Поверхности уровня сферичеcкого поля будут являтся семейством концентрических сфер .
Задача 5.1. Найти область определения функции
z =1 /(x2 + y2) и определить линии уровня скалярного поля z.
Решение.
Поле z определено во всем пространстве за исключением точек, для которых x2+y2=0, т.е. x = 0, y = 0.
Линии уровня определяются уравнением 1/(x2+y2) = C, C (x2 + y2) = 1 – уравнения семейства окружностей.
Производная по направлению
При изучении скалярного поля методами анализа мы должны описать его локальные свойства, т.е. изменение вели-
83
чины U (М) при переходе от данной точки М к близким точкам. Для этого будем использовать производную поля по направлению.
Пусть U (М) – скалярное поле. Рассмотрим две близкие точки М, М* и отношение (U(M*) – U(M))/h (где h – длина отрезка ММ*), и пусть точка М* приближается к М, причем направление отрезка ММ* совпадает с направлением фиксирован-
ного единичного вектора . Если при этом вышеуказанное отношение стремится к некоторому пределу, то этот предел называется производной скалярного поля U (М) в точке М по на-
правлению и обозначается ∂U(M)/∂λ. Эта производная харак-
теризует скорость изменения величины U(M) в направлении . Для ее вычисления выберем некоторую систему координат и представим U(М) в виде U(x, у, z).
Пусть направление образует с осями координат углы
α,β,γ. Тогда ММ* = h (icos α+ jcos β + kcosγ) и U (М*)= U (х+ hcosa, y+hcosβ, z+hcosγ), а производная ∂U/∂λ- совпадает с производной по h от сложной функции U(M*) при h = 0. Дифференцируя, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
∂U(М)/∂ =(∂U(М*)/∂ )│h=0=(∂U/∂x)cosα |
+ (∂U/∂y)cosβ |
||||||
+(∂U/∂z)cosγ. |
|
|
|
||||
Это выражение можно рассматривать как скалярное про- |
|||||||
изведение двух векторов – единичного вектора |
|
|
=(cosα, cosβ, |
||||
|
|
cosγ), определяющего направление, по которому берется производная и вектора, имеющего координаты ∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z.
Этот вектор называется градиентом скалярного поля |
U и обо- |
|||
|
|
|
|
|
значается символом grad U и, следовательно, ∂U/∂ |
= |
|||
|
|
|
|
|
= (grad U, ). |
|
|||
84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из того, что (∂U/∂ )=│grad U│ cosυ (где υ – угол между |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
grad U и единичным вектором |
), можно заключить: в каждой |
Рис. 4.6 |
||||||
точке, где значение grad U не равно 0 существует единствен- |
||||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|||||
ное направление, по которому ∂U/∂ имеет наибольшее значе- |
|
|||||||
ние, т.е. единственное направление наибыстрейшего возраста- |
|
|||||||
ния функции U. Это направление совпадает с направлением |
|
|||||||
вектора grad U. Однако ни направление наибыстрейшего воз- |
|
|||||||
растания функции, ни величина ее производной в этом направ- |
|
|||||||
лении не зависят от выбора системы координат. Производные |
|
|||||||
∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z в данной точке М – это компоненты векто- |
|
|||||||
ра, нормального к поверхности U(x, у, z)= const, проходящей |
|
|||||||
через эту точку. Таким образом, в каждой точке поля U гради- |
|
|||||||
ент поля направлен по нормали к поверхности уровня, прохо- |
|
|||||||
дящей через эту точку. |
|
|
|
|
||||
Назовем линией градиента |
скалярного поля U всякую |
|
кривую, касательная к которой в каждой ее точке направлена по grad U в этой же точке. Линии градиента поля – это те линии, вдоль которых поле U меняется быстрее всего. Если функция U(x, у, z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то через каждую точку области, в которой задано поле U, проходит одна и только одна линия градиента. В каждой точке линия градиента ортогональна той поверхности уровня, на которой эта точка лежит.
Задача 5.2. Найти производную скалярного поля
U(x, у, z) = |
xy + z2y3x в точке М (1, 1, 1) по направлению |
||||
|
|
|
|
|
проходящей через эту точку. |
l i j k |
Решение. Вычислим
grad U=(∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z) = (y+z2y3, x+2z2y2, x+2zy3x), grad U М =(2,3,3). ∂U/∂I М = (grad U М ,I)= 2+3+3=7.
5.2. Векторные поля
85
B некоторой области Ω определено векторное поле, если каждой точке М этой области поставлен в соответствие опреде-
ленный вектор A (М).
Если A (М) – некоторое векторное поле в пространстве, то, взяв в этом пространстве какую-либо декартову систему ко-
ординат, мы можем представить A (М) как совокупность трех скалярных функций – компонент этого вектора. Эти компоненты мы будем обозначать Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z). Далее мы будем рассматривать векторные поля, компоненты которых непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка.
Пусть в области Ω задано векторное поле A (M). Кривая L, лежащая в Ω, называется векторной линией, если в каждой точке этой кривой направление касательной к ней совпадает с на-
правлением вектора A в этой же точке.
В вопросах, связанных с изучением полей, важную роль
играет задача о нахождении векторной линии поля r , проходящей через данную точку М0. Эта задача формулируется так:
требуется найти вектор-функцию r (t), для которой выполнено
r '(t) = λ A , r (t0) = r 0, где r - радиус-вектор начальной точки М0, t0-начальный момент времени, а λ- произвольная числовая величина. Ограниченная некоторой поверхностью Σ часть про-
странства, в котором задано векторное поле A , называется векторной трубкой, если в каждой точке поверхности Σ нормаль к
поверхности Σ ортогональна вектору A в этой же точке. Изучение векторного поля (как и скалярного) существенно облегчается, если это поле обладает свойствами симметрии.
Рассмотрим частные случаи векторных полей: Плоскопа-
раллельное поле. Если для данного векторного поля A можно подобрать декартову систему координат, в которой компоненты
поля A имеют вид Р(х, у), Q(x, у), R(x, у) (т.е. не зависят от z), то
86
поле A называется плоскопараллельным. Если при этом R(x, у)
= 0, то поле A называется плоским. Векторные линии такого поля – плоские кривые (одни и те же в каждой параллельной
плоскости). |
|
|
|
|
|
|
|
Векторные линии поля определяются из уравнения |
|
||||||
|
dx |
|
dy |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(5.1) |
|
P(x, y, z) |
|
Q(x, y, z) |
R(x, y, z) |
Осесимметрическое поле. Векторное поле будет называется осесимметрическим, если существует такая цилиндрическая система координат r, υ, z, что в каждой точке М вектор
A (M) зависит лишь от r и z, но не от υ. Иными словами, такое поле переходит само в себя при повороте вокруг оси z. Если
вектор A (М) зависит только от r, то поле называется цилиндрическим.
Одномерное поле. Векторное поле называется одномерным, если существует такая декартова система координат, в которой компоненты этого поля имеют вид Р(х), 0, 0. Векторные линии такого поля представляют собой, очевидно, совокупность всех прямых, параллельных оси х.
Рассмотрим снова некоторое скалярное поле U(М). Построив в каждой точке М вектор grad U, мы получим векторное поле – поле градиента скалярной величины U. Введем следую-
щее: Векторное поле A (М) называется потенциальным, если его можно представить как градиент некоторого скалярного по-
ля U (М): A = grad U. Само скалярное поле U называется при
этом потенциалом векторного поля A .
Если векторное поле A имеет потенциал, то этот потенци-
ал определяется полем A однозначно, с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Векторные линии потенци-
ального поля A представляют собой, разумеется, линии гради-
87
ента его потенциала U, т. е. линии наибыстрейшего изменения этого потенциала.
Условия, при которых данное векторное поле А потенциально:
∂P/∂y = ∂Q/∂x, ∂Q/∂z = ∂R/∂y, ∂P/∂z = ∂R/∂x, (5.2)
но P dx + Q dy + R dz = dU, то P = ∂U/∂x, Q = ∂U/∂y, R = ∂U/∂z
(эти формулы можно легко получить из свойств, полученных при выводе формулы Стокса).
Для того, чтобы векторное поле A = (Р, Q, R), имеющее непрерывные и непрерывно дифференцируемые компоненты, было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства (5.2).
Если A - потенциальное векторное поле, то нахождение его потенциала сводится к нахождению функции по ее полному дифференциалу.
Задача 5.3. Найти векторные линии в векторном поле
A =4z j + 8yk.
Решение.
имеем |
dx |
|
dy |
0 |
|
4z |
|
|
|
Так как |
|
dx |
dy |
dz |
, то |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P( x, y,z ) |
Q( x, y,z ) |
R( x, y,z ) |
|||||||||||
|
dz |
, |
dy |
|
|
dz |
, dx = 0. |
|
|
|
|||
|
8 y |
|
4z |
|
8 y |
|
|
|
|
|
Интегрируя систему, получим
X = h (h=const), 2y2 = z2 + c – семейство гипербол, лежащих в плоскостях параллельных плоскости YOZ.
5.3. Поток векторного поля. Дивергенция
Количество жидкости, протекающей за единицу времени через данную (ориентированную) поверхность Σ, равно инте-
88
гралу Аn dσ, где An – нормальная составляющая вектора
скорости A = ( Р, Q, R). Величина П называется потоком жид-
кости через поверхность Σ. Пусть A произвольное векторное поле и Σ ориентированная поверхность. Поверхностный интеграл
П = Аn dσ |
(5.3) |
мы назовем потоком векторного поля A через поверхность.
Пусть A - некоторое векторное поле. Поставим в соответствие каждой пространственной области Ω, ограниченной гладкой или кусочно-гладкой поверхностью Σ, величину
lim (1/V(Ω)) |
An dσ |
(5.4) |
M |
|
|
и назовем ее потоком вектора А через внешнюю сторону поверхности Σ. Мы получим аддитивную функцию области Ф(Ω). Производная функции Ф (Ω) по объему, т.е. предел (5.4) назы-
вается дивергенцией векторного поля A и обозначается div A .
Если A = (P, Q, R) – векторное поле, определенное в области Ω и такое, что функции Р, Q, R непрерывны в Ω вместе со всеми
своими первыми производными, то div A существует во всех точках этой области (в любой декартовой системе координат) и выражается формулой
|
|
|
|
div A = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. |
(5.5) |
Замечание. Равенство ∂Р/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = div A
принимают за определение дивергенции, но это определение менее удобно, так как оно опирается на выбор той или иной системы координат, и необходимо доказывать, что сумма ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z от выбора системы координат не зависит, а независимость от выбора системы координат выражения (5.5) очевидна.
89
Каждому векторному полю A , компоненты которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные, можно
поставить в соответствие скалярную функцию div A . Пользуясь этим понятием, формулу Остроградского можно записать так
|
|
|
|
|
Аn dσ = |
div A dv, |
(5.6) |
т.е. поток вектора A через внешнюю сторону замкнутой по-
верхности Σ равен интегралу от дивергенции поля A , взятому по области, ограниченной поверхностью Σ.
Соленоидальное поле
Векторное поле, дивергенция которого тождественно равна нулю, называется соленоидальным или трубчатым. Для соленоидальных полей выполнен закон сохранения интенсивности векторной трубки.
|
|
|
Пусть |
А соленоидальное поле. Рассмотрим некоторую |
|
векторную |
трубку (поверхность, состоящая из векторных ли- |
ний) и возьмем ее отрезок, заключенный между двумя ее сечениями Σ1 и Σ2 (рис. 5.1).
Эти сечения вместе с боковой поверхностью Σ трубки образуют замкнутую поверхность Σ3. Так как поле соленоидально, т.е.
div А ≡ 0, в силу формулы Остроградского
Рис. 5.1
An dσ= |
An dσ+ |
An |
|
1 |
2 |
dσ+ An dσ = 0 , |
(5.7) |
|
3 |
|
|
90