Учебное пособие 1920
.pdf4.Собственные функции, отвечающие различным соответственным значениям, ортогональны с весом (x):
l
(x)Xn(x)Xm(x)dx 0, если n m.
0
5.(Теорема Стеклова). Если функция f(x) имеет на отрезке [0,l] непрерывные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет граничным условиям f(0)=f(l)=0, то она разлагается в абсолютно и равно-
мерно сходящийся ряд Фурье
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) cn Xn(x), |
|||
где |
|
n 1 |
||||
|
|
|||||
cn |
|
|
1 |
|
|
l (x)f (x)Xn(x)dx, |
|
|
Xn |
|
|
||
|
|
|
|
2 0 |
l
Xn 2 (x)Xn2(x)dx.
0
Утверждение 1 и 5 примем без доказательства.
Особые случаи. Особые случаи Штурма - Лиувилля отличаются от неособого случая тем, что или функция k(x) может обращаться в ноль в некоторых точках отрезка [0,l], или уравнение рассматривается на промежутке бесконечной длины.
Рассмотрим случай, когда функция |
k(x) обращается в |
|
ноль в точке х=0, причем k(x) x (x), где |
(x) 0. |
Это озна- |
чает, что число 0 является простым |
корнем |
уравнения |
k(x) 0. В этом случае справедливо следующее утверждение, которое примем без доказательства.
Теорема. Пусть функции k(x) x (x),k (x),q(x), (x) непрерывны на отрезке [0,l], причем (x) 0,q(x) 0, (x) 0.
40
Тогда если Х1(х), Х2(х) линейно независимые решения
нашего уравнения и если lim X1(x) X1(0) , |
то lim X |
2(x) . |
x 0 |
x 0 |
|
Общее решение нашего уравнения в этом случае имеет вид
X(x) C X |
(x) C |
X |
|
(x), где lim X |
(x) X |
(0) |
, lim X |
2 |
(x) . |
||
1 1 |
|
2 |
|
2 |
|
x 0 1 |
1 |
|
x 0 |
|
|
Поэтому если |
решение |
X(x) C1X1(x) C2X2(x) удовлетворяет |
|||||||||
условию limX(x) X(0) 0, |
то C2 0. |
Условие |
lim X(x) X(0) 0 |
||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
позволяет найти одну из постоянных в общем решении уравнения нашего, то есть это условие заменяет одно из граничных условий задачи Штурма–Лиувилля. Поэтому задача ШтурмаЛиувилля в первом случае ставится следующим образом.
Найти ненулевые решения уравнения
k(x)X (x) q(x)X(x) (x)X(x) 0,
удовлетворяющие граничным условиям
lim X (x) X(0) 0, X (0) 0.
x 0
В особом случае условие lim X(x) X(0) 0 заменяет
x 0
условие X (0) 0 в неособом случае.
Справедливы следующие утверждения о собственных значениях и собственных функциях в особом случае:
1.Существует бесконечно много собственных значений1 2 ... n ..., которым соответствуют собст-
венные функции X1(x),X2(x),...,Xn(x),... Собствен-
ные значения могут быть кратными, причем кратность каждого собственного значения конечна: каждому собственному значению может соответствовать только конечное число линейно независимых собственных функций.
2. Собственные значения n 0, число 0 может быть собственным значением.
41
3. Собственные функции Xn (x), |
Xm (x), различным |
собственным значениям n, m, |
ортогональны на от- |
l |
|
резке [0,1], (x)Xn(x)Xm(x)dx 0, |
если n m. |
0 |
|
4.(Теорема Стеклова). Если функция f(x) имеет на отрезке [0,l] непрерывные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет граничным условиям
f (0) f (l) 0, |
если |
lim q(x) |
и |
|
|
x 0 |
|
f (0) , f (l) 0, |
если lim q(x) q(0) ,то |
функ- |
|
|
x 0 |
|
|
ция f(x) разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
|
|
|
|
|
|
|
f (x) cn Xn (x), |
||
где |
|
n 1 |
||
|
|
|||
cn |
|
1 |
|
l (x)f (x)Xn(x)dx. |
|
Xn |
|
||
|
|
2 0 |
Второй особый случай задачи Штурма-Лиувилля заключается в том, что ненулевые решения основного уравнения ищутся в промежутке бесконечной длины, например, в промежутке [0, ) или ( , ). В этом случае справедливо следующее утверждение, которое примем без доказательства.
|
Теорема. Пусть функции k(x), |
k (x), q(x), (x) непрерыв- |
||||||
ны на промежутке |
[0, ) , причем |
k(x) 0, |
q(x) 0, (x) 0, и |
|||||
пусть Х1(х), Х2(х) |
линейно независимые решения основного |
|||||||
уравнения. Тогда если для некоторого n |
lim |
X1(x) |
0, то |
|||||
|
||||||||
|
X2(x) |
|
|
|
x |
xn |
||
lim |
, если решение X1(x) |
при x растет не бы- |
||||||
|
||||||||
x |
xn |
|
|
|
|
|
42
стрее некоторой степенной функции xn,то решение X2 (x) при x растет быстрее любой степенной функции x n .
Из этой теоремы следует, что если из общего решения
X(x) C1X1(x) C2X2(x)уравнения требуется |
найти |
частное |
||
решение, растущее при |
x не быстрее некоторой степен- |
|||
ной функции, то С2 0, |
то есть условие lim |
X1(x) |
0 |
для не- |
|
||||
|
x |
xn |
|
которого n заменяет граничное условие X(l)=0. Поэтому задача Штурма-Лиувилля во втором особом случае ставится следующим образом. Найти ненулевое решение основного уравнения, удовлетворяющее граничному условию Х(0)=0 и растущее при x не быстрее некоторой степенной функции x n .
Свойства собственных значений и собственных функций во втором особом случае формулируются так же, как и свойства 1-4 в первом особом случае.
1.9. Уравнение колебаний мембраны
Мембраной называют свободно изгибающуюся натянутую пленку. Пусть в положении равновесия мембрана расположена в плоскости хОу и занимает некоторую область D, ограниченную замкнутой кривой L. Далее предположим, что мембрана находится под действием равномерного натяжения Т, приложенного к краям мембраны. Это означает, что если провести линию по мембране в любом направлении, то сила взаимодействия между двумя частями, разделенными элементами линии, пропорциональна длине элемента и перпендикулярна его направлению; величина силы, действующая на элемент ds линии, будет равна Tds. Будем рассматривать только поперечные колебания мембраны, при которых каждая ее точка движется перпендикулярно плоскости хОу, параллельно оси Оu. Тогда смещение и точки (х,у) мембраны будет функцией от х, у и t. Рассматривая далее только малые колебания мембраны, будем считать, что функция u(х,у,t), а также ее частные
43
производные по х и у малы, так что квадратами и произведениями их можно пренебречь по сравнению с самими этими величинами. Выделим произвольный участок (σ) мембраны, ограниченный в положении равновесия кривой L . Когда мембрана будет выведена из положения равновесия, этот участок мембраны деформируется в участок σ' поверхности мембраны, ограниченный пространственной кривой l'. Площадь участка σ/ в момент времени t равна
' 1 ux2 u2y dxdy dxdy .
|
|
Таким образом, при наших предположениях можно пренебречь изменением площади произвольно взятого участка мембраны в процессе колебаний и считать, что любой участок σ' мембраны будет находиться под действием первоначального натяжения Т.
Перейдем к выводу уравнения поперечных колебаний мембраны. Рассмотрим произвольный участок σ' мембраны. Со стороны остальной части мембраны на этот участок действует направленное по нормали к контуру l' равномерно распределенное натяжение Т, лежащее в касательной плоскости к поверхности мембраны. Найдем проекцию на ось Оu сил натяжения, приложенных к кривой L', ограничивающей участок σ' мембраны. Обозначим через ds' элемент дуги кривой dl'. На этот элемент действует натяжение, равное по величине Tds'. Косинус угла, образованного вектором натяжения Т с осью. Он
равен, в силу наших предположений, ди , где n - направление
дп
внешней нормали к кривой l, ограничивающей участок мембраны в положении равновесия (рис. 1.13). Отсюда следует, что проекция на ось Оu сил натяжения, приложенных к эле-
менту ds' контура, равна T u ds', и проекция на ось Оu сил на-
n
тяжения, приложенных ко всему контуру, равна T |
u |
ds'. |
|
|
|||
l |
/ |
n |
|
|
|
|
44
Рис. 1.13. Анализ участка мембраны
Так как при малых колебаниях мембраны можно считать ds≈ds', то, применяя формулу Грина, получим
T |
u |
|
|
2 |
u |
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
ds T |
x |
2 |
y |
2 |
dxdy. |
||||
l |
|
|
|
|
|
Предположим далее, что на мембрану параллельно оси Оu действует внешняя сила р(х, у, t), рассчитанная на единицу площади. Тогда проекция на ось Оu внешней силы, действую-
щей на участок σ/ мембраны, будет равна p x, y,t dxdy.
Силы должны в любой момент времени t уравновешиваться силами инерции участка σ' мембраны
2u
x,y t2 dxdy,
где ρ(х,у) — поверхностная плотность мембраны. Таким образом, мы получаем равенство
|
|
2u |
|
2u |
|
2u |
|
||
|
x,y |
|
T |
|
|
|
|
p x, |
|
t2 |
x2 |
y2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y,t dxdy 0.
Отсюда в силу произвольности площадки следует, что
45
x, y |
2u |
|
2u |
|
2u |
p x, y,t . |
||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|||||
|
t |
|
x |
|
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Это есть дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны. В случае однородной мембраны ρ=const, и уравнение малых колебаний мембраны можно записать в виде
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
2u |
|
2u |
f x, y,t , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
p x, y,t |
. |
|
|
|
|||||||
где a |
T |
|
; f x, y,t |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если внешняя сила отсутствует, т. е. р(х,у,t) = 0, то получаем уравнение свободных колебаний однородной мембраны
|
2 |
u |
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
2 |
u |
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Как и при рассмотрении колебаний струны, одного этого уравнения недостаточно для полного определения движения мембраны; нужно задать смещение и скорость ее точек в начальный момент времени:
u |
|
t 0 |
|
|
x, y , |
u |
|
|
t 0 |
x, y . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
t |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
Далее, так как на контуре L мембрана закреплена, то должно быть u L 0 при любом t ≥ 0.
1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
Задача о свободных колебаниях однородной круглой мембраны с закрепленной границей заключается в следующем.
Найти функцию u(t,x,y), удовлетворяющую в круге x2 y2 R2 дифференциальному уравнению
46
|
2u(t,x,y) |
|
2u(t,x,y) |
2u(t,x,y) |
||||||||||
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
t2 |
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
u(t,x) |
|
t 0 |
(x), |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
начальным условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u(t,x) |
|
|
(x) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и граничному условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||||||
u(t,x, y) |
x2 y2 R2 |
0 (рис. 1.14). |
|
|
y
x
0 R
Рис. 1.14. Схема круглой мембраны
В полярных координатах r, эта задача формулируется следующим образом. Найти функцию u(t,r, ), удовлетворяющую в круге r Rдифференциальному уравнению
2u(t,r, ) |
a2 |
2u(t,r, ) |
|
1 u(t,r, ) |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
r2 |
r |
|
r |
r2 |
||||
|
|
|
|
|
начальным условиям
u(t,r, ) t 0 (r, ),
u(t,r, )
t 0 (r, )t
и граничному условию u(t,r, ) r R 0.
2(t,r, )
2 ,
47
Рассмотрим частный случай этой задачи, когда начальные отклонения и начальные скорости не зависят от переменной . Это означает, что точки, одинаково удаленные от центра мембраны, в начальный момент времени имеют одинаковые отклонения и одинаковые скорости. В этом случае и при t>0 отклонение точек мембраны не будет зависеть от переменной . Таким образом, рассматривается следующая задача. Найти функцию u(t,r), удовлетворяющую в круге r Rдифференциальному уравнению
2u(t,r)
t2
начальным условиям
|
2u(t,r) |
1 u(t,r) |
|||||||||||
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
r2 |
|
r r |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
u(t,r) |
|
t 0 |
(r), |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u(t,r) |
|
|
(r) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
||||||
t |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и граничному условию u(t,r) r R 0.
Для решения этой задачи используем метод разделения переменных, примененный нами ранее для решения задачи о колебаниях конечной струны. Найдем сначала ненулевые решения нашего уравнения, удовлетворяющие только гранично-
му условию. |
|
Эти |
решения |
|
|
будем искать в виде |
|||||||
u(t,r) Т (t)Х (х), где Х(0) |
, |
Х(R) 0. |
|||||||||||
Дифференцируя функцию u(t,r) |
и подставляя результа- |
||||||||||||
ты дифференцирования в наше уравнение, получим |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
T |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
||||
(t)X(r) a |
|
|
|
r |
X (r) T(t) 0, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(r) |
|
r |
X (r) |
|||||||
|
|
T (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
a2T(t) |
|
|
|
X(r) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что
48
|
|
T |
|
2 |
T(t) 0, |
(***) |
|
|
|
|
(r) a |
||||
X |
|
1 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(r) |
|
(r) X(r) 0 (0 r R), |
|
||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
(X(0) , |
X(R) 0). |
|
Уравнение можно записать в виде
r2 X (r) rX (r) r2 X(r) 0.
Следовательно, это уравнение является уравнением Бесселя с n=0. Поэтому на отрезке [0,R] при n=0 сделаем в уравнении замену независимой переменной r R ,тогда
d |
d 1 |
d2 |
|
d2 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
d 2 |
|
R2 |
|||||
dr d R dr2 |
|
|
|
В результате этой замены уравнение примет вид
X ( ) 1 X ( ) R2 X( ) 0.
Таким образом, мы пришли к следующей задаче. Найти ненулевые решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие на отрезке [0,1] граничным условиям
Х(0) , |
Х(1) 0. |
|
|
Ненулевые решения, |
удовлетворяющие |
условию |
|
Х(0) , существуют только при R2 ( k(0) )2, |
где |
(k0) по- |
|
ложительные решения уравнения J0( ) 0, и |
эти |
решения |
имеют вид Xk ( ) J0( k ), k 1,2,3..... Таким образом, наша
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( (0))2 |
|
|
задача имеет ненулевые решения только при |
|
k |
, и |
||||||||
R2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
эти решения имеют вид Xk (r) J |
|
k r |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
0 |
R |
. Подставляя значе- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ния |
k |
|
( k(0))2 |
в уравнение (***) |
и решая полученное |
||||||
R2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение, находим
49