Учебное пособие 2207
.pdfМИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
Кафедра прикладной математики и механики
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к проведению практических занятий № 1-4 для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение»
(профили «Технологии, оборудование и автоматизация машиностроительных производств» и «Оборудование и технология сварочного производства»)
заочной формы обучения
Воронеж 2021
УДК 621.01:531.8(07) ББК 30.12:22.2я7
Составитель
канд. техн. наук В. А. Рябцев
Техническая механика: методические указания к проведению практических занятий № 1-4 для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» (профили «Технологии, оборудование и автоматизация машиностроительных производств» и «Оборудование и технология сварочного производства») заочной формы обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В. А. Рябцев. – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2021. - 31 с.
Методические указания содержат разборы решений типовых задач по сопротивлению материалов, содержащихся в контрольных работах и тестовых заданиях. Решение указанных задач необходимо в рамках подготовки к сдаче зачетов и экзаменов.
Предназначены для студентов заочной формы обучения.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле ТММПЗМС1.pdf.
Табл. 1. Ил. 10. Библиогр.: 3 назв.
УДК 621.01:531.8(07) ББК 30.12:22.2я7
Рецензент – Ю. Б. Рукин, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной математики и механики ВГТУ
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
2
Введение
Техническая механика изучает методы изучения и создания машин и механизмов. Основой этих методов являются методы сопротивления материалов, поскольку основными критериями работоспособности деталей и узлов машин является прочность, жесткость и устойчивость.
Под прочностью понимается способность детали машины выдерживать в процессе эксплуатации заданные рабочие нагрузки без разрушения.
Под жесткостью понимается способность детали машины эксплуатироваться в заданных условиях при деформациях, не превышающих заданные пределы, определенные по условиям эксплуатации.
Под устойчивостью детали машины понимается ее способность сохранять заданную форму равновесия под действием рабочих нагрузок.
В данных методических указаниях рассматриваются решения типовых задач сопротивления материалов по оценке прочности и жесткости стержня при растяжении – сжатии, кручении и плоском изгибе и также по определению размеров сечения заданной формы из расчета стержня на устойчивость при продольном сжатии, напряженного состояния.
3
1. Занятие №1
Растяжение – сжатие стержней и стержневых систем.
Растяжение (сжатием) называют вид деформирования, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы N. Нормальная сила в рассматриваемом сечении прямого стержня равна алгебраической сумме проекций на ось, направленную так же, как и внешняя нормаль к сечению бруса, всех нагрузок, расположенных по одну сторону от этого сечения.
Растяжение и сжатие в стержне возникает в тех случаях, когда из всех внутренних силовых факторов отличны от нуля лишь нормальные силы. Такой вид нагружения существует только тогда:
равные внешние силы приложены симметрично относительно продольной оси стержня и имеют равнодействующую, направленную вдоль оси стержня;
точки приложения к стержню внешних сил расположены вдоль оси стержня и силы параллельны этой оси.
При растяжении нормальная сила направлена вдоль внешней нормали к сечению от рассматриваемой части стержня, а при сжатии – в противоположном направлении.
В поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и определяемые по формуле
|
|
N |
, |
|
|
|
|
|
(1.1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|||
где F – площадь поперечного сечения стержня. |
|
||||||||||
Абсолютное удлинение (укорочение) стержня при его нагружении в |
|||||||||||
упругой области определяется согласно закону Гука |
|
||||||||||
|
l |
Ndz |
, |
|
|
|
(1.2) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
l |
EF |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где l – длина стержня; Е – модуль упругости первого рода. |
|
||||||||||
В наиболее общем случае, когда законы изменения N и F для отдельных |
|||||||||||
участков стержня различны, |
k |
|
|
Nidz |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
l |
, |
(1.3) |
||||||||
|
E F |
||||||||||
|
|
|
i 1 |
li |
i i |
|
|||||
где k – число участков стержня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При Ni const, |
Ei Fi const в пределах |
каждого из участков из |
(1.3) как |
||||||||
частный случай следует формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k |
|
|
Nili |
|
|
|
|||
|
l |
. |
(1.4) |
||||||||
|
E F |
||||||||||
|
i 1 |
i i |
|
|
|
Взаимное перемещение каких-либо двух поперечных сечений стержня можно определить по удлинению (укорочению) той его части, которая заключена между этими сечениями.
Условие прочности при растяжении (сжатии) записывают в виде
4
|
N |
|
, |
(1.5) |
|
|
|||
|
F |
|
||
|
|
|
|
где - допускаемое напряжение.
Из условия прочности (2.5) вытекают три вида расчетов: проверочный расчет, проектный расчет и расчет грузоподъемности.
Проверочный расчет сводится к непосредственной проверке соблюдения условия (1.5).
Проектный расчет заключается в определении требуемой площади поперечного сечения стержня и производится по формуле
|
N |
(1.6) |
F |
. |
Расчет грузоподъемности проводится для определения допустимых величин нагрузок. При этом из условия (2.5) определяют допустимое значение нормальной
силы |
|
N F . |
(1.7) |
По найденному значению N с использованием эпюры N или уравнений статики определяются допустимые значения приложенных к стержню нагрузок.
Системы, состоящие из элементов, имеющих форму стержня, называют стержневыми. Стержневые системы подразделяют на статически определимые и статически неопределимые.
Стержневые системы, в которых нормальные силы и реакции связей определяются при помощи метода сечений и уравнений статики или динамики, называются статически определимыми. В статически неопределимых системах использование метода сечений и уравнений равновесия для определения нормальных сил и реакций связей оказывается недостаточным. Разность между числом неизвестных усилий, подлежащих определению, и количеством независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для их определения, называется степенью статической неопределенности системы.
Для определения усилий в статически неопределимых системах необходимо составить, помимо уравнений статики, уравнения совместности перемещений, основанные на рассмотрении геометрической стороны деформации системы и использовании закона Гука. Необходимое число этих уравнений должно быть равно степени статической неопределимости системы.
Для использования МБП нужно устанавливать связь нормальных сил в стержнях системы с базовыми перемещениями (БП). При этом могут быть два случая.
Один конец стержня неподвижен, то есть, присоединен к стойке (рис. 1.1, а). При этом деформации в стержне определяются только перемещениями подвижного конца стержня (точка В) 1 и 2 . Из рис. 1.1, а следует, что удлинение стержня равно
5
l n A n ( A1 A2 ) , |
(1.8) |
где n - орт, направленный по оси недеформированного стержня от подвижной точки к неподвижной; A - полное перемещение.
Пусть i - угол, образуемый n и A . Тогда
l A |
cos 1 A cos 2 |
|
|
|
(1.9) |
1 |
2 |
|
|
|
|
Оба конца стержня подвижны (рис. 1.1, б). В этом случае удлинения |
|||||
стержня определяются в общем случае четырьмя БП A |
, A |
, B |
, B |
. и |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
l eA A eB B |
|
|
|
(1.10) |
где eA и eB - орты, указанные на рис. 2.1, л.
Рис. 1.1
Определение усилий в стержнях статически неопределимой системы, т.е. раскрытие ее статической неопределимости, производят в последовательности, рассмотренной в задачах 1.1 и 1.2.
Задача 1.1
(Построение эпюр нормальных сил и напряжений)
Стальной стержень (E 2*105 МПа), один конец которого жестко защемлен, другой свободен находится под действием продольных сил P и распределенной нагрузки t= 20 кН/м. (рис. 1). Отдельные участки стержня имеют различную площадь поперечного сечения F или 2F (рис. 1).
Требуется:
1.Сделать схематический чертеж стержня по заданным размерам, соблюдая масштаб длин по вертикали.
2.Вычислить значения продольной силы N и нормального напряжения
, построить их эпюры.
3.Найти перемещение сечения I I .
Исходные данные : F 2.0 см2; a 0.10 м; b 0.12 м; c 0.15 м; P 22 кН.
6
Решение
1.Схематический чертеж стержня в масштабе по вертикали приведен на
рис. 1.2.
2.Стержень имеет три участка, в пределах которых нормальная сила описывается единственным аналитическим выражением.
Для определения нормальной силы в поперечном сечении стержня используем метод сечений. При этом рассматриваем верхние отсеченные части стержня, поскольку реакция опоры не определена.
Рис 1.2 |
|
|
|
1 участок 0 z1 c = 0.15 м (рис 1.2,г). |
|
|
|
Нормальная сила на участке N( z1 ) -P - 22 кН, |
N(0 ) -P , N(c) -P . |
||
Пусть r P/ F 22*1000/2*10-4= 110 МПа |
|
|
|
Нормальное напряжение на участке |
|
|
|
( z1 ) P/ F r, (0 ) P/ F r, (c) P/ F r. |
|
||
2 участок 0 z2 b = 0.12 м (рис 1.1,д). |
|
|
|
Нормальная сила на участке N( z2 ) P , |
N(0 ) -P , |
N(b) -P . |
|
Нормальное напряжение на участке |
|
|
|
7
( z2 ) N( z2 )/ F P / F r , (0 ) -r , (b) -r .
3 участок 0 z3 a= 0.1 м (рис 1.2,е).
Нормальная сила на участке N( z3 ) P P tz3 2P tz3 2P(1 0.5tz3 / P),
N(0 ) -2P, N(a ) -2*21*(1-0.5*20*0.1/22)= -1.909 P .
Нормальное напряжение на участке
( z3 ) N( z3 )/ 2F , (0 ) N(0 )/ 2F =-2P/ 2F r,
(a) N(a )/ 2F =-1.909P/ 2F -0.955r .
По полученным величинам нормальной силы и нормального напряжения строятся эпюры нормальной силы и нормального напряжения (рис. 1.2, б, 1.2,в).
3. Искомое перемещение u определяем относительно заделки стержня. Это перемещение равно сумме удлинений l2 и l3 второго и третьего участков стержня
|
|
|
|
|
N( z2 |
)b |
|
a |
( 2P tz3 ) |
|
|
|
Pb |
|
2Pa |
|
ta |
2 |
|
||
|
u l2 l3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
dz3 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|||
|
EF |
|
2EF |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
EF |
2EF |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2EF |
||||||||
|
P |
(2b 2a 0.5 |
ta2 |
) |
|
|
|
22*103 |
|
|
(2*0.12 2*0.10 0.5*20*103*0.102 / 22*103 )= |
||||||||||
2EF |
P |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2*2*1011*2*10 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= -1.198*10-4 м.
Отрицательность величины u означает, что данное сечение переместилось вниз.
Задача 1.2
(Определение удлинений стержней и напряжений в стержнях плоской статически неопределимой системы (задача № 1 КР №1))
Для заданной стержневой системы (рис. 1.3), состоящей из стальных стержней круглого поперечного сечения, требуется:
а) подобрать диаметры поперечных сечений стержней, если известны: отношения площадей, величина действующей нагрузки Р= 60 кН и допускаемое напряжение
Рис. 1.3
160 МПа.
Решение Поскольку вследствие симметрии системы узлы А и В могут перемещаться
независимо друг от друга только по вертикали, перемещения в рассматриваемой системе определяются 2 перемещениями узлов А и В.
Для определения сил и напряжений в стержнях системы используем принцип суперпозиции.
8
Пусть 1 и 2 перемещения точек А и В соответственно. Закрепив мысленно точку В, сообщаем точке А перемещение 1 . Тогда удлинения стержней будут равны l11 1 , l21 1 cos , l31 0. Нормальные силы в стержнях, вызванные перемещением 1
N11 c1 l11 c1 1 , N21 c2 l21 c2 1 cos , N31 c3 l31 0.
Закрепив точку А, сообщаем точке В перемещение 2 . Тогда удлинения стержней будут равны
l12 |
2 , |
l32 |
2 cos , |
l22 |
0. |
Нормальные силы в стержнях, вызванные перемещением 2 определятся по формулам
N12 c1 l12 c1 2 , N32 c3 l32 c3 2 cos , N22 c2 l22 0 .
Таким образом, за счет обоих перемещений в стержнях будут действовать нормальные силы
N1 N11 N12 c1 1 c1 2 c1( 1 2 ),
N2 N21 N22 c2 1 cos 0 c2 1 cos ,
N3 N31 N32 0 c3 2 cos c3 2 cos .
Уравнение равновесия узлов А и В имеют вид (рис. 1,2,б)
P 2N2 cos N1 0 , N1 2N3 cos 0 .
Подставляя сюда выражения для нормальных сил, получаем уравнения для
1 |
и 2 c1( 1 2 ) 2c2 1 cos2 P , c2( 1 2 |
) 2c3 2 cos2 0, |
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(c1 2c2 cos2 ) 1 c1 |
2 |
P, |
|
|
(1.11) |
|||
|
c1 1 (c1 2c3 cos2 ) 2 |
0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
Далее проще эту систему численно, для чего нужно определить коэффици- |
||||||||
енты при 1 и 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из рис. 1.3, а следуют выражения для длин и жесткостей стержней и углов |
||||||||
между их осями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 a , l2 |
|
a2 (1,5a )2 |
1,802a , l3 |
(2a)2 |
(1,5a )2 |
2,5a, |
||
|
cos a / l2 |
a /(1,802a ) 0,5547 |
, cos 2a / l3 |
2a /(2,5a) 0,8, |
|||||
|
c1 E1F1 / l1 |
2EF / a, c2 E2 F2 |
/ l2 2EF /(1802a) 1,111EF / a , |
c3 E3F3 / l3 EF /(2,5a) 0,4EF / a.
Тогда
c1 |
2c2 |
cos2 |
|
2EF |
|
|
2 1,111EF |
0,55472 2,683 EF / a, |
|
|
||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c1 |
2c3 |
cos2 |
|
2EF |
|
|
2 0,4EF |
0,82 |
2,512 EF / a. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система (1,11) приобретает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2,683 |
EF |
1 2 |
EF |
2 P , |
2EF |
1 |
2,512 |
EF |
2 |
0 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
|
|
|||||||||
Отсюда следует 1 |
1,256 2 |
0 , |
2 0,730 |
Pa |
, |
1 |
0,917 |
Pa |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EF |
|
|
|
|
EF |
9
Тогда
N1 |
c1( 1 |
2 |
) |
2EF |
(0,917 0,730 ) |
Pa |
0,374P 22,426кH , |
|||||||||
|
|
EF |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||
N2 c2 1 cos |
1,111EF |
0,917 |
|
Pa |
0,5547 0,565P 33,907кН , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
EF |
|
||||||||
N3 |
c3 2 cos |
0,4EF |
0,730 |
|
Pa |
0,8 0,234P 14,016кН . |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
EF |
|
Следовательно, стержни 2 и 3 сжаты, а стержень 1 — растянут.
Для определения площадей поперечных сечений стержней используются условия прочности стержней
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ni |
|
или F |
|
Ni |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
F |
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получаем три неравенства для определения F: |
|
|
||||||||||||||||||||
F 2F |
N1 |
|
22,426*103/160= 140,16 мм2; |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
||
F2 2F |
|
|
|
|
|
33,907*10 |
|
/160= 211,91 мм |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N3 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F3 F |
|
|
|
14,016*10 |
|
/160= 87,63 мм |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Отсюда получаем 3 неравенства для определения величины площади F |
||||||||||||||||||||||
F 70,08 мм2, F 105,955 мм2, F 87,63 мм2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 105,955 мм2, и F |
F |
2 |
|
|
|
|
211,91 мм2, F |
|
105,955 мм2. |
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Диаметры стержней
d1 d2 2F1 / 2211,91/ 16,426 мм, d3 2F3 / 2105,955 / 11,633 мм.
Принимаем d1 d2 18 мм. Тогда
F1 F2 d12 / 4 182 / 4 254,469 мм2, F3 0,5F1 127,235 мм2.
Тогда d3 2F3 / 2127,235 / 12,728 мм.
Округлять диаметр d2 до 13 мм нельзя, поскольку при этом нарушатся заданные условием задачи соотношений между площадями стержней.
10