- •Методические указания
- •Предисловие
- •Электростатика Основные формулы
- •1. Примеры решения задач Взаимодействие зарядов
- •Решение
- •Напряжённость
- •Решение
- •Потенциал
- •Связь напряжённости с разностью потенциалов. Вектор
- •Решение
- •Диэлектрики
- •Электроёмкость
- •Работа. Энергия системы зарядов
- •2. Задачи для самостоятельного решения
- •3. Примерные варианты для контрольных заданий
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Методические указания
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Электроёмкость
Задача 1.13. На рис. 1.12 изображена батарея конденсаторов. Определить её ёмкость, если .
Дано:
|
|
Д
Рис
1.12
Из рис. 1.12 видно, что ни одно из этих условий не выполняется ни для одной пары конденсаторов.
Заметим, что, отключив от цепи конденсатор , получим соединение, ёмкость которого легко рассчитать, поскольку это будет параллельное соединение двух ветвей: и , каждая из которых есть последовательное соединение двух конденсаторов.
Чтобы выяснить роль конденсатора , найдём разность потенциалов между точками и (рис.1.12) после его отключения. Поскольку и , обе параллельные ветви симметричны, поэтому потенциалы точек и , одинаково расположенных на ветвях, должны быть равны. Следовательно, конденсатор не заряжен. Тогда ёмкость каждой из двух параллельных ветвей равна
,
а ёмкость всей батареи
= .
Ответ: = .
Задача 1.14. Между обкладками плоского конденсатора параллельно им введена металлическая пластинка толщиной а = 8,0 мм. Определить емкость конденсатора, если площадь каждой из обкладок S = 100 см2, расстояние между ними l = 10,0 мм.
Дано: а = 8,0 мм = 8,0·10-3 м S = 100 см2 = 10-2 м2 l = 10,0 мм = 10,0·10-3 м |
C – ? |
Емкость конденсатора найдем из определяющей формулы
Рис. 1.13
если предварительно выразим напряжение на обкладках конденсатора как функцию заряда его обкладок.
В результате явления электростатической индукции свободные заряды в металлической пластинке, введенной в конденсатор, перераспределяются так, что напряженность электрического поля внутри пластинки станет равной нулю:
|
(1) |
С другой стороны, индуцированные заряды распределяться по поверхностям пластинки так, что она станет подобной плоскому конденсатору СD (рис. 1.13), вставленному в данный конденсатор AB. Известно, что напряженность поля в пространстве вне плоского конденсатора равна нулю. Поэтому введение пластинки в конденсатор AB не изменит напряженности однородного поля в пространстве вне пластинки. Пусть эта напряженность равна Е. Выразим ее через заряд конденсатора на основании формул:
и :
|
(2) |
Из соотношения с учётом формул (1) и (2) находим напряжение на обкладках конденсатора
|
(3) |
Подставив в формулу вместо напряжения его значение по (3), получим:
.
Выполнив вычисления, найдем:
Ответ: .
Задача 1.15. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов U1 = 500 В. Площадь пластин S = 200 см2, расстояние между ними d = 1,5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли парафин (ε = 2). Определить разность потенциалов U2 между пластинами после внесения диэлектрика. Определить также емкости конденсатора С1 и С2 до и после внесения диэлектрика.
Дано: U1 = 500 В S = 200 см2 = 2·10-2 м2 d = 1,5 мм = 1,5·10-3 м ε = 2 |
U2 – ? С1 – ? С2 – ? |
Так как конденсатор отключен от источника напряжения, то при любых изменениях параметров конденсатора будет выполняться закон сохранения заряда
(1)
Из определения электроемкости С = q/U следует
C1U1 = C2U2 (2)
Емкость конденсатора С1 и С2 до и после внесения диэлектрика найдем по формулам:
и |
(3) |
Тогда из (2) получаем
, .
Подставив числовые значения в выражение (3), вычислим С1 и С2:
,
.
Ответ: , ,
Задача 1.16. Два коаксиальных диска радиусов см, см расположены на расстоянии мм друг от друга (рис. 1.14). Диски заряжены равномерно с поверхностной плотностью равной мкКл/м2. Определить силу электрического взаимодействия дисков.
Дано: см = 0,1м см = 0,05м мм = 2,4·10-3м мкКл/м2 = =20·10-6 Кл/м2 |
F – ? |
Н
Рис. 1.14
Однако существует другой, более простой путь решения задачи. Каждый из двух взаимодействующих зарядов находится в поле другого заряда, при этом напряженность поля заряженного диска радиуса в тех точках, где расположен второй диск, можно вычислить, не прибегая к интегрированию. Действительно, все точки диска находятся близко от и далеко от его краев. Это значит, что диск можно рассматривать как бесконечную, равномерно заряженную плоскость, напряженность которой определяется формулой:
, |
(1) |
Выразив из формулы заряд диска :
, |
(2) |
найдем искомую силу F из соотношения :
(3)
Подставив в (3) вместо и их значения по формулам (1) и (2), получим:
, |
(4) |
Выполнив вычисления, найдем Н.
Примечание. Как видно из формулы (4), сила взаимодействия дисков не зависит от расстояния между ними. Но это будет, пока выполняется неравенство и диск можно рассматривать как бесконечную плоскость. При достаточно большом расстоянии между дисками, когда , заряды дисков можно считать точечными и силу взаимодействия между ними рассчитывать по закону Кулона.