- •230104 «Системы автоматизированного проектирования»,
- •230101 «Вычислительные машины,
- •§1. Возрастание и убывание функции.
- •§2. Экстремумы функции
- •§3. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
- •§4. Асимптоты
- •§5. Построение графика функции
- •§6. Наибольшее и наименьшее значения
- •§7. Элементарные преобразования графиков
- •Задание 1.
- •Задание 2.
- •§1. Возрастание и убывание функции…………1
- •230104 «Системы автоматизированного
- •230101 «Вычислительные машины, комплексы,
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
§2. Экстремумы функции
Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции f(x), определённой в некоторой окрестности x0, если существует некоторая окрестность (x0 – ; x0 + ) этой точки, такая, что для любого x(x0 – ; x0 + ), x x0 справедливо неравенство f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)); при этом f(x0) называют максимумом (минимумом) функции. Точки максимума и точки минимума называют точками экстремума.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если f(x) дифференцируема в промежутке (a,b) и x0(a, b) является точкой экстремума функции f(x) , то .
Точки, в которых , называются стационарными точками f(x) . Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть f(x) дифференцируема в окрестности стационарной точки x0. Если при переходе через точку x0 меняет свой знак, то x0 является точкой экстремума. А именно, если при переходе через точку x0
а) меняет свой знак с минуса на плюс (т.е. при достаточно малых значениях ), то x0 является точкой минимума;
б) меняет свой знак с плюса на минус (т.е. при достаточно малых значениях ), то x0 является точкой максимума функции;
в) не меняет своего знака, то x0 не является точкой экстремума.
Иногда удобно пользоваться другим достаточным условием экстремума.
Теорема 3 (достаточное условие экстремума). Пусть x0 – стационарная точка функции f(x), дважды дифференцируемой в точке x0. Если , то x0 является точкой экстремума. Точнее говоря, если
а) , то x0 – точка минимума;
б) , то x0 – точка максимума.
Точкой экстремума f(x) может оказаться и точка, в которой не определена.
Стационарные точки и точки, в которых не определена, называют критическими точками функции.
Пример 2.1. Найти точки экстремума функции .
Решение. Наша функция дифференцируема на всей числовой оси. Найдём стационарные точки.
. Стационарными точками являются . При переходе через точку x = 0 не меняет своего знака, поэтому эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точку x = 1 меняет свой знак с «–» на «+», следовательно, x = 1 – точка минимума (на рисунке получается «впадина»).
Пример 2.2. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции .
Решение. Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдем ее первую производную . Критическими точками являются и Следовательно, интервалы возрастания и убывания таковы: . Сведем исследования в таблицу.
Интервалы |
|
|
|
1 |
|
f(x) |
возрастает |
|
Убывает |
0 |
возрастает |
|
>0 |
0 |
<0 |
|
>0 |
Выводы |
|
max |
|
min |
|
Задачи для самостоятельного решения.
Найти экстремумы функций
1.
2.
3. 4.
5.
Ответы: 1. при ; при ;
2. при ; 3. при
4. при ; при и при
;
5. при ; при .