- •Введение
- •Глава 1. ОСновные понятия теории множеств, комплексных чисел и алгебры многочленов
- •1. Элементы теории множеств и комплексных чисел
- •1.1. Понятие множества. Операции над множествами
- •1.2. Числовые множества и их свойства.
- •2. Алгебра многочленов.
- •Глава 2. Матрицы. Определители
- •1. Алгебра матриц.
- •Виды матриц.
- •2. Определитель n-го порядка.
- •2.1. Определение. Вычисление определителей 2 и 3-го порядков.
- •2.2.Миноры и алгебраические дополнения.
- •2.3.Свойства определителя n-го порядка.
- •3. Действия над матрицами.
- •3.1. Линейные операции над матрицами.
- •3.2. Умножение матриц.
- •3.3. Многочлены от матриц.
- •3.4. Обратная матрица.
- •Вычисление обратной матрицы (через алгебраические дополнения).
- •3.5. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы.
- •3.6. Ранг матрицы. Базисный минор.
- •3.7 Нахождение ранга матрицы
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 3. Системы линейных уравнений и методы их решения.
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Условия совместности системы линейных уравнений
- •3. Метод обратной матрицы
- •4. Правило Крамера
- •5. Метод Гаусса исключения неизвестных
- •7. Метод полного исключения
- •7.1. Решение систем линейных уравнений
- •7.2. Вычисление обратной матрицы методом полного исключения.
- •7.3. Вычисление ранга матрицы методом полного исключения
- •Линейное пространство.
- •8. Собственные значения и собственные векторы матриц
- •9. Квадратичные формы
- •10. Численные методы решения систем линейных уравнений
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 4. Векторная алгебра
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 5. Задачи линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования (злп)
- •2. Графический метод решения злп
- •3. Симплекс – метод решения злп
- •4. Двойственные злп
- •Методы определения опорного плана тз.
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 6. Балансовые модели
- •1. Экономико-математическая модель (эмм) межотраслевого стоимостного баланса (модель Леонтьева)
- •Модель международной торговли
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Библиографический список
- •Глава 1. ОСновные понятия теории множеств, комплексных чисел и алгебры многочленов 4
- •Глава 2. Матрицы. Определители 17
- •Глава 3. Системы линейных уравнений и методы их решения. 52
- •Глава 4. Векторная алгебра 103
- •Глава 5. Задачи линейного программирования 118
- •Глава 6. Балансовые модели 153
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.2.Миноры и алгебраические дополнения.
Минором Mij элемента aij квадратной матрицы n-го порядка A называется детерминант матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы A вычёркиванием i-ой строки и j-ого столбца, на пересечении которых расположен элемент aij.
Алгебраическим дополнением (адъюнктом) Aij элемента aij квадратной матрицы A n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j: Aij=(-1)i+jMij.
Теорема Лапласа (о разложении определителя). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
(разложение по элементам i-ой строки, )
или
(разложение по элементам j-ого столбца, )
Следствие 1. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равны 0, т.е.
при
Следствие 2. Сумма произведений произвольных чисел b1, b2, , bn на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна детерминанту матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа b1, b2, , bn.
Практически определитель раскладывают по элементам строки или столбца, в которых больше всего нулей.
Пример. Вычислить
Решение.
Первый способ. Разложим по элементам четвёртой строки. Вычислим алгебраические дополнения её ненулевых элементов.
Тогда по теореме Лапласа =a42A42+a44A44=1(-3)+11=-3+1=-2.
Второй способ. Разложим по элементам третьего столбца. Для этого вычислим алгебраические дополнения его ненулевых элементов.
Таким образом, =a13A13+a23A23=(-1)0+2(-1)=-2.
Третий способ. Разложим по элементам первого столбца. Для этого вычислим алгебраические дополнения его ненулевых элементов.
.
2.3.Свойства определителя n-го порядка.
Если какая-либо строка (столбец) матрицы A состоит из одних нулей, то detA=0.
При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.
Если матрица A содержит две одинаковые строки (столбца), то detA=0.
Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Если элементы двух строк (столбцов) матрицы A пропорциональны, то detA=0.
Линейность детерминанта. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых:
а) все строки (столбцы), за исключением указанной строки (столбца), совпадают с аналогичными строками (столбцами) определителя ;
б) на месте указанной строки (столбца) первый определитель содержит первые слагаемые, а второй – вторые слагаемые данной строки (столбца) определителя .
Пусть i и j меняются от 1 до n. Тогда
или
Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число
detA= detAТ.
Определители треугольных и диагональной матриц равны произведению элементов главной диагонали.
Теорема Лапласа и использование свойств определителя лежат в основе так называемого метода накопления нулей вычисления определителя.
Пример. Вычислим определитель
Для этого из первой строки вычтем вторую, умноженную на 3 и запишем результат на место первой строки. К третьей строке прибавим вторую, умноженную на два и запишем вместо третьей строки. Из четвертой строки вычтем вторую и результат пишем на месте четвёртой строки:
В последнем определителе из второго столбца вычтем первый, умноженный на два и запишем результат на месте второго.