- •Исследование моментов инерции и координат центров тяжести конструкций рэс, определение их жесткости и прогиба методические указания
- •Лабораторная работа № 3
- •2. Домашние задания и методические указания по их выполнению
- •3. Вопросы к домашнему заданию
- •4. Лабораторные задания и методические указания по их выполнению
- •Методические указания по выполнению третьего задания.
- •5. Указания по оформлению отчета
- •6. Контрольные вопросы к лабораторным заданиям
- •Лабораторная работа № 4
- •2. Домашние задания и методические указания по их выполнению
- •Приравняв правые части уравнений (9) и (10), получим
- •3. Вопросы к домашнему заданию.
- •4. Лабораторные задания и методические указания по их выполнению
- •Методические указания по выполнению третьего задания.
- •5. Указания по оформлению отчета
- •6. Контрольше вопросы к лабораторным заданиям
- •Моменты и радиусы инерции тела
- •Исследование моментов инерции и координат центров тяжести конструкций рэс, определение их жесткости и прогиба методические указания
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Приравняв правые части уравнений (9) и (10), получим
(11)
Это нелинейное дифференциальное уравнение не решается в элементарных функциях (оно решается с помощью эллиптических интегралов первого и второго рода). Однако в определенной области значений dZ / dX его можно упростить. Пренебрегая квадратом производной dZ / dX ввиду его малости по сравнению с единицей, получаем
(12)
25
При выбранном положительном направлении изгибающих моментов знак плюс будет, если ось аппликат Z направлена вверх, а выпуклость изогнутой положительными моментами Ми. оси балки - вниз. Рассчитаем прогиб балки (рис. 4), для которой Mu = F(l – x), После первого интернирования дифференциального уравнения (12) имеем
,
после второго интегрирования
, (13)
где С и D - постоянные интегрирования находятся из граничных условий: при Х=0,С=О и D=O, поскольку dZ / dX | x = 0 = 0, Z(0) =0.
Тогда наибольший прогиб балки имеет место при Х = l , подставив это значение X в формулу (13), получим:
. (14)
Для других видов балок и их нагружений общее решение дифференциального уравнения (12) позволяет найти изогнутую ось балки при любом ее нагружении.
Задание № 4. Изучить параметры, характеризующие жесткость элементов конструкции. В заготовку отчета занести способы закрепления и коэффициенты, характеризующие жесткость конструкции РЭС.
26
Методические указания по выполнению четвертого задания
При выполнении задания проработать материал, изложенной в соответствующей литературе /4, с. 212-214/. При проработке материала следует учесть, что жесткость конструкций РЭС зависит от характера приложения нагрузки и способа крепления элементов, связанного с коэффициентом К (рис. 5).
Степень жесткости конструкций РЭС характеризуется коэффициентом жесткости λ , Коэффициент жесткости балки постоянного сечения при работе на изгиб равен
(15)
Балка, свободно лежащая на двух опорах и нагруженная равномерно распределенной нагрузкой, обладает жесткостью в 1,5 раза большей, чем балка той же длины, нагруженная сосредоточенной нагрузкой и в 4 - 8 раз меньше жесткости с заделанными концами.
Рис. 5. Варианты закрепления балок
27
При работе на кручение коэффициент жесткости равен
, (16)
при работе на растяжение-сжатие
, (17)
где I - момент инерции сечения балки (бруса) ;
Е - модуль норма; ной упругости материала;
F - действующая сила;
f - прогиб (максимальная деформация) ;
M - крутящий момент;
Iρ - полярный момент инерции сечения балки;
L - длина балки;
K - коэффициент, зависящий от условий нагруженная;
A - сечение балки;
σ - модуль сдвига.
Из соотношения (15-17) следуют выражения деформации для случаев:
растяжение или сжатие
, (18)
изгиба
, (19)
кручения
28
, (20)
где: l1 - длина плеча приложения силы, скручивающей балку.
Предположим, что на каждую балку действуют равные силы. Одна из них вызывает растяжение, а другая - изгиб. Приравнивая (18) и (19) и подставляя I = bh3 / 12 , при консольно закрепленном стержне K = 3 и при h = l найдем
ƒρ= . (21)
При одних и тех же условиях нагрузки изгиб сопровождается значительно большей деформацией, чем растяжение или сжатие. При равенстве деформации материала, работающего на сжатие (растяжение), расходуется в несколько раз меньше, чем материал, работающего на изгиб.
Кроме того, чем меньше масса несущей конструкции при сохранении ее прочностных параметров, тем меньшему воздействию динамических перегрузок она будет подвержена. Поэтому при конструировании несущих конструкций РЭС необходимо оценить возможность использования более легкого материала при сохранении условий прочности и жесткости.
Обозначим объем материала V = bhl, отношение массы материала к его объему как плотность .
После соответствующих преобразований имеем для растяжения
. (22)
29
После подстановки момента инерции I = имеем для:
изгиба
, (23)
и для кручения
, (24)
Из этих выражений следует, что F/E выражает физические свойства материала, а отношение l к h - размерные свойства конструкции. С точки зрения минимальной массы наивыгоднейшим материалом, имеющим наименьшую деформацию, является такой, у которого отношение γ /E является наименьшим. При оценке материала обычно пользуются обратной величиной этих отношений E / γ, проводимых в соответствующих справочных пособиях /4/. Значения E/γ даны в приложении (табл. 3). Имеются различные способы увеличения жесткости элементов конструкции РЭС.
Часто изгиб стремятся заменить растяжением-сжатием или производят блокирование деформации с помощью косых связей. Увеличение жесткости деталей плоской формы осуществимо с образованием на их поверхности ребер жесткости. Пример конструктивного образования которых, показан на рис. 6. Высота, форма и сечение ребер выбираются в зависимости от той жесткости, которую необходимо получить. На жесткость оребренной детали значительное влияние оказывает относительная высота ребра и относительная ширина ζ = . Условия работы ребер жесткости на сжатие и растяжения не одинаковы, они зависят от схемы нагрузив или напряжений на сжатие или растяжение.
30
Рис. 6. Ребра жескости
Момент инерции сечения и момент сопротивления детали с ребрами можно выразить в общей форме, если известны момент инерции I0 и момент сопротивления W0 основного исходного сечения
, (25)
, (26)
Обычно высота ребер в литых деталях составляет h=5h0, а толщина - не более (0,6 - 0,8) h0 . В деталях из тонколистового проката, высоту ребер выбирают из соображения прочности, т. к. толщина их определяется толщиной выбранного материала.
Оптимальную жесткость деталей можно также получить вводя для листовых деталей отбортовки, выдавки, ребра жесткости (рис. 7).
Материалы несущих конструкций РЭС необходимо выбирать с учетом удельных прочности и жесткости или обобщенного коэффициента.
31
Удельная прочность равна σуд = σ02 /γ , где σ02 - условный предел текучести, представляющий собой напряжение, вызывающее в испытываемом образце остаточную деформацию 0,2 %; γ - плотность материала. Удельная жесткость Eуд =E/γ.
Рис. 7. Выдавки и отбортовки для пластинчатых конструкций
Обобщенный коэффициент представляет произведение прочности и жесткости Kоб = σудЕуд = σ02Е / ρ2. Значения указанных показателей даны в приложении. При выборе материала деталей, работающих на прочность, необходимо пользоваться значениями σуд , работающими на жесткость – Еуд . Поскольку Еуд, для ряда материалов отличаются незначительно, при выборе материалов необходимо пользоваться обобщенным коэффициентом Kоб /4/, который характеризует способность материалов нести наиболее высокие нагрузки при наименьших деформациях и массе.