- •Раздел 1. Основные понятия и определения
- •Раздел 2. Математическое описание
- •Раздел 3. Структурные схемы и методы преобразования
- •Раздел 4. Частотные функции
- •Раздел 5. Устойчивость автоматических систем
- •Раздел 6. Точность автоматических систем
- •Раздел 7. Чувствительность автоматических систем
- •Раздел 8. Методы проектирования автоматических систем
- •Для получения переходного процесса заданного вида, передаточная функция замкнутой системы будет выражена:
- •Раздел 9. Методы проектирования автоматических систем с наблюдателем
- •Раздел 10. Проектирование автоматических систем с фильтром калмана
- •Раздел 11. Дискретные системы
- •Раздел 12. Нелинейные системы
- •Раздел 13. Системы управления
- •394026 Московский просп., 14
Раздел 7. Чувствительность автоматических систем
7.1. Понятие функции чувствительности
При эксплуатации автоматической системы значения ее элементов и прежде всего объекта регулирования вследствие различных причин могут отличаться от расчетных.
При этом действительные статические и динамические свойства также, конечно, оказываются отличными от расчетных.
Поэтому возникает задача уже при синтезе автоматической системы выяснить, какие изменения свойств возможны при эксплуатации.
Зависимость свойств САР от изменения параметров элементов есть ее чувствительность.
Для ее количественной оценки используют различные функции чувствительности, которые позволяют оценивать вариации (изменения) передаточных функций, временных характеристик или показателей качества при вариациях (малых изменениях) параметров.
Будем предполагать, что вариации достаточно малы и, кроме того, не изменяют степени уравнений (порядка передаточных функций) как отдельных элементов, так и системы в целом.
Функции чувствительности передаточных функций. Функция чувствительности передаточной функции к параметру есть частная производная от по при номинальных (расчетных) значениях всех параметров:
, (7.1)
где .
Для определения функции чувствительности передаточной функции системы к параметру какого-то i-го элемента удобно сначала отыскать функцию чувствительности передаточной функции к передаточной функции этого i-го элемента:
, (7.2)
где .
Затем определяется функция чувствительности передаточной функции , к параметру :
. (7.3)
В ряде источников / / приведены значения функций чувствительности передаточных функций САР двух наиболее характерных структур. Здесь и есть функции чувствительности передаточных функций соответственно и к передаточной функции участка CAP. Значения передаточных функций должны быть взяты при номинальных (расчетных) значениях параметров.
Рассмотрим функции чувствительности временных характеристик. Они позволяют определить дополнительное движение, т. е. наиболее наглядно выяснить влияние вариаций параметров.
Дополнительным движением называют разность между движением системы, в которой произошли вариации параметров, и ее движением при расчетных значениях параметров.
Функция чувствительности i-й координаты САР к параметру
, (7.4)
где .
Предположим, что регулируемая координата: и к системе приложено только задающее воздействие. Тогда
L (7.5)
где изображение по Лапласу задающего воздействия.
Следовательно:
. (7.6)
Теперь можно определить дополнительное движение регулируемой координаты при вариации параметра :
. (7.7)
Аналогично можно выяснить, как влияет вариация параметров на движение регулируемой координаты, создаваемое возмущением.
Также можно отыскать дополнительное движение рассогласования х. Если предположить, что задающее воздействие есть единичное ступенчатое воздействие, то формула (7.5) будет определять вариацию переходной характеристики системы относительно задающего воздействия при вариации параметра .
7.2. Исследование чувствительности в среде Matlab
Рассмотрим исследование чувствительности в среде Matlab и выясним влияние вариаций на переходную характеристику САР, если = 0,002 с. Передаточная функция разомкнутой системы в первом приближении
,
где k = 50, Т = 0,1 с и = 0,02 с.
Определим передаточную функцию замкнутой системы:
.
Функция чувствительности этой передаточной функции к постоянной времени будет
.
Следовательно, вариация переходной характеристики (дополнительное движение)
.