1.11. Алгебраические структуры

Алгебраические методы описания моделей находят широкое применение при формализации различных предметных областей. Часто объектом изучения в математике и ее приложениях является множество вместе с определенной на нем структурой. Грубо говоря, при построении модели предметной области все начинается с введения подходящих обозначений для операций и отношений с последующим исследованием их свойств.

При этом, словом "алгебра" обозначают не только область математики, но и один из конкретных объектов, изучаемых в этой области.

Нам уже известны числовые поля, формирующие основу обычной арифметики, линейные пространства, обеспечивающие связь геометрических объектов с операциями над числами, множества с введенными на них бинарными отношениями. Все эти структуры образуют алгебраические системы с определенными в них законами.

1.11.1. Основные определения

Пусть - всюду определенная (тотальная) функция , называемая n-арной (n-местной) операцией на М.

Множество М вместе с заданными на нем операциями называется алгеброй.

Здесь , где -арность операции .

Множество М называется основным (несущим) множеством или основной (носителем). Вектор арностей называется типом алгебры, а множество операцией называется сигнатурой. Записывают так: или .

Замечание: Операции конечноместны, сигнатура конечна. Носитель М не обязательно конечен, но не пуст.

Типом алгебры называется вектор арностей операций сигнатуры.

Примеры:

1. Алгебра - поле действительных чисел. Тип – (2,2) (сигнатура включает две бинарные операции – сложение и умножение).

2. Алгебра - алгебра подмножества над множеством М . Тип . Сигнатура включает две бинарные операции и одну унарную.

3. Алгебра , где - операция дифференцирования.

Если в качестве используются отношения, то множество М вместе с заданными на нем отношениями называется моделью. Обозначается: ,

где М – несущее множество, - сигнатура модели .

Пример 1.

Моделью является множество чисел М₁ с отношениями: "быть больше" (>) и "быть равным" (=), т.е. .

Пример 2.

Набор не образует алгебру, поскольку деление не является операцией на множестве Z (например, ), а элемент не принадлежит Z.

Множество М вместе с заданными на нем операциями и отношениями называется алгебраической системой или алгебраической структурой. Обозначается:

Пример3:

На множестве М заданы: одно бинарное отношение частичного порядка (обозначение ) и две бинарные операции : - так называемая решетка.

Таким образом, одним частным случаем алгебраической структуры являются алгебры (алгебраические структуры с пустым множеством отношений). Другим частным случаем алгебраических структур являются модели, то есть множества, на которых заданы только отношения.

1.11.2. Замыкание и подалгебры

Подмножество называется замкнутым относительно операции на М₁, если для любых

Если Х замкнуто относительно всех , то называется подалгеброй где

.

Примеры:

1. Для алгебры все конечные подмножества, кроме , не замкнуты относительно обеих операций.

Поле рациональных чисел образует подалгебру.

2. Для алгебры . При этом для любого подмножества Х множества М образует подалгебру.

3. Для алгебры множество элементарных функцией образует подалгебру.