- •Методы оптимального проектирования устройств цифровой обработки сигналов
- •Воронеж 2011
- •Введение
- •1. Векторная постановка задачи оптимального проектирования устройств цифровой фильтрации и обзор методов ее решения
- •1.1 Векторная постановка задачи оптимального проектирования уцос
- •1.2. Методика решения векторных задач оптимального проектирования
- •1.3 Обзор методов решения задач векторной оптимизации
- •2. Формирование обобщенных критериев оптимальности устройств цифровой обработки сигналов и расчет их производных
- •2.1 Формирование обобщенных критериев оптимальности устройств цифровой обработки сигналов
- •2.2 Алгоритмы экономичных вычислений частотных характеристик цифровых фильтров
- •2.3 Построение алгоритмов вычисления производных обобщенных критериев оптимальности уцос
- •3. Методы оптимизации характеристик устройств цифровой обработки сигналов
- •3.1 Поисковый алгоритм оптимизации обобщенных критериев
- •3.2 Алгоритм минимизации среднестепенных критериев оптимальности устройств цифровой обработки сигналов
- •3.3 Алгоритмы минимизации минимаксных критериев оптимальности устройств цифровой обработки сигналов
- •3.4 Комбинированный проблемно – адаптивный алгоритм оптимизации обобщенных критериев оптимальности уцос
- •4. Примеры решения задач оптимального проектирования
- •4.1 Оптимизация частотных характеристик устройств цифровой обработки сигналов нерекурсивной структуры
- •4.2 Оптимизация частотных характеристик устройств цифровой обработки сигналов рекурсивной структуры
- •4.3 Оптимизация частотных характеристик гребенок фильтров
- •5. Цифровые ких-фильтры с дискретными, целочисленными и булевыми коэффициентами передаточных функций
- •5.1. Однородные ких-фильтры
- •5.2. Фильтры с дискретными коэффициентами
- •5.3. Синтез передаточных функций цифровых ких-фильтров в области дискретных и целочисленных значений коэффициентов
- •5.4. Синтез ких - фильтров методом симметрирования амплитудно-частотной характеристики
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Учебное издание методы оптимального проектирования устройств цифровой обработки сигналов
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.3 Построение алгоритмов вычисления производных обобщенных критериев оптимальности уцос
При решении задач оптимального проектирования УЦОС с использованием обобщенных критериев типа (2.14), (2.15) и (2.22) возникает необходимость расчета производных этих критериев. Для обобщенных критериев, заданных аналитически, можно воспользоваться аналитическими методами вычисления производных. Однако на практике такой подход имеет ограниченное применение, так как в конкретных задачах реальные обобщенные критерии имеют достаточно сложную структуру, не позволяющую воспользоваться аналитическим дифференцированием. Поэтому наряду с аналитическими на практике применяются также полуаналитические и численные методы. Следовательно, в коллектив конкурирующих алгоритмов расчета производных обобщенных критериев типа (2.14), (2.15) и (2.22) целесообразно включить алгоритмы, основанные на использовании аналитических, полуаналитических и численных методов.
Достоинства аналитических методов широко известны, однако область их применения достаточно ограничена. В основном они применяются при оптимальном проектировании широкополосных селективных УЦОС невысокого порядка. Полуаналитические методы занимают промежуточное положение между аналитическими и численными методами построения производных. Эти методы основаны на использовании специальной структуры оптимизируемых обобщенных критериев и в этом смысле оказываются менее универсальными, чем численные методы. Область их применения занимает промежуточное положение между узкополосными и широкополосными селективными УЦОС. В силу универсальности и относительной простоты реализации численные методы расчета производных используются при решении задач оптимального проектирования узкополосных селективных УЦОС большой размерности. Таким образом, основным критерием адаптации при проблемно – адаптивной организации подсистемы расчета производных обобщенных критериев является размерность вектора варьируемых параметров.
Общая схема алгоритмов расчета производных обобщенных критериев оптимальности УЦОС и их производных приведена на рис. 2.2.
Рассмотрим обобщенные критерии вида (2.22), как наиболее характерные для задач оптимального проектирования УЦОС. Имеем следующие выражения для составляющих вектора градиента:
(2.28)
, (2.29)
где - локальные критерии УЦОС
Вторые производные можно получить путем линеаризации функций вблизи текущей точки :
(2.30)
Используя (2.30), получаем
; (2.31)
(2.32)
Следовательно, вычисление вторых производных оптимизируемого обобщенного критерия может быть сведено к вычислению первых производных функций . Таким образом, при оптимизации обобщенных критериев оптимальности УЦОС достаточно остро стоит проблема расчета их производных.
Рассмотрим вывод формулы вектора градиента для обобщенного критерия типа (2.14) в случае, когда решается задача проектирования НЦФ и РЦФ. Для других случаев эти формулы выводятся аналогично. Компонентами вектора градиента, которые должны быть определены, являются и .
Принимая во внимание, что для НЦФ имеет место соотношение (2.23) и продифференцировав в частных производных формулу по pn и qn, а также произведя требуемые алгебраические преобразования, получим:
(2.33)
(2.34)
где us(k) и uz(k) - алгебраические выражения, вид которых зависит от способа задания требований ЧТЗ к ЧХ и не оказывает существенного влияния на объем вычислений.
Выражения в фигурных скобках приведенных формул соответствуют однократному БПФ. С учетом общих членов формул (2.33) и (2.34) компоненты вектора градиента могут быть в последующем математически обработаны посредством двукратных БПФ.
Данный способ расчета компонент вектора градиента применим также и в случае, когда одновременно оптимизируются АЧХ и ФЧХ. При этом на практике очень часто вместо ФЧХ одновременно с АЧХ оптимизируется характеристика ГВЗ. В этом случае необходимо член формулы, соответствующий сумме ошибок ФЧХ обобщенного критерия, преобразовать в сумму ошибок характеристики ГВЗ. При этом в целях ускорения времени расчета характеристики ГВЗ предлагается использовать БПФ. Представив передаточную функцию НЦФ формулой (2.23) можно получить формулу для расчета характеристики ГВЗ в удобной для применения БПФ типа (2.25) форме:
(2.35)
Так как
(2.36)
где F и F-1 соответственно прямое и обратное преобразование Фурье, то
(2.37)
где
Из формул (2.23) и (2.35) следует, что для быстрого вычисления характеристики ГВЗ целесообразно воспользоваться двукратным БПФ.
Быстрое вычисление компонент вектора градиента связана с необходимостью быстрого вычисления сумм вида:
(2.38)
Из формул (2.35), (2.37), а также из соотношений
следует, что
(2.39)
При этом
Второй член формулы (2.38) можно получить таким же путем. Из приведенных выше результатов следует, что вычисления по формуле (2.38) целесообразно проводить с использованием четырехкратного БПФ.
Передаточная функция РЦФ имеет вид [72]
, (2.40)
где
(2.41)
Можно показать, что для каскадной формы реализации РЦФ производные АЧХ по его коэффициентам, необходимые при вычислениях по формулам (2.28), (2.29), имеют вид
, (2.42)
, (2.43)
, (2.44)
, (2.45)
где
. (2.46)
Обратимся теперь к численным методам вычисления производных обобщенных критериев оптимальности УЦОС. Достоинством численного подхода, кроме его универсальности, является низкая стоимость подготовки задачи к решению на ПЭВМ. От пользователя требуется лишь написание программы для вычисления значения при заданном . Для численного расчета первых производных в данной работе использована формула
(2.47)
где .
Величина шага s в формуле (2.47) может вычисляться двумя способами. В первом величину s на каждой k+1 -ой итерации определяют в соответствии с известным методом Стюарта [77], и находят как наименьший положительный корень кубического уравнения:
(2.48)
Здесь gii - диагональные элементы гессиана обобщенного критерия; - значение обобщенного критерия на k-ой итерации; - машинная точность (=9.537*10-7). Решение уравнения (2.48) находится способом, изложенным в [77].
Для ряда алгоритмов величина s является фиксированной в ходе работы и определяется из выражений:
(2.49)
где - i-я компонента вектора начального приближения; - некоторая малая величина. По результатам тестирования алгоритмов на классе тестовых задач величина принята равной 10-4.
При использовании соотношения (2.47) вычислительные затраты характеризуются числом обращений к вычислению значений : для вычисления градиента – 2N, для вычисления матрицы Гессе - (2N2+1) обращений, где N - размерность вектора варьируемых параметров .
Эффективность приведенных способов расчета производных была исследована на классе тестовых задач оптимизации УЦОС. Результаты тестирования послужили основой для определения численных значений критериев адаптации при проблемно – адаптивной организации подсистемы расчета производных обобщенных критериев оптимальности УЦОС. К примеру, по результатам тестирования для использованного в данной работе варианта алгоритма соряженных градиентов величину s наиболее целесообразно вычислять как наименьший положительный корень кубического уравнения (2.48).
Отметим, что реализованные на основе численных производных методы оптимизации оказываются, по существу, методами 0 – го порядка [3]. Действительно, заменяя , например, конечно – разностной формулой (2.47), фактически используем лишь значения обобщенного критерия , вычисленные при определенных значениях аргумента.