- •1.1. Понятие определителя
- •Пусть дана матрица
- •1.2. Основные свойства определителя
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Определения
- •2.2. Решение систем линейных уравнений
- •2.3. Однородные системы
- •2.4. Действия над матрицами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Вычисление ранга матрицы
- •Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где embed Equation.3 , * - некоторые числа.
- •3.2. Вычисление обратной матрицы
- •3.3. Матричная форма системы уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. Понятие вектора
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Проекции вектора на ось. Свойства проекций
- •6.2. Декартова прямоугольная система координат
- •6.3. Действия над векторами в координатах.
- •6.4. Координаты вектора
- •6.5. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
- •6.6. Деление отрезка в данном отношении.
- •6.7. Разложение вектора по базису
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Пример 8.1. Упростить выражение
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •10.1. Общее уравнение плоскости.
- •10.2. Нормальное уравнение плоскости.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11.1. Уравнение плоскости в отрезках.
- •11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •11.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.1. Общее и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •12.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •12.3. Параметрические уравнения прямой.
- •12.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13.1. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •13.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •13.3. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.1. Общее уравнение прямой.
- •14.2. Каноническое уравнение прямой.
- •14.3. Параметрические уравнения прямой.
- •14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.5. Угол между двумя прямыми.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2. Эллипс.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16 1. Гипербола.
- •16.2. Парабола.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовые расчеты
- •Правила выполнения и оформления типовых расчетов
- •1 . Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.15. Через точку м (2,-1) провести прямую, параллельную прямой embed Equation.3
- •5. Кривые второго порядка
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
15.2. Эллипс.
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых суммы расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.
Пусть постоянная, о которой говорилось в определении равна 2а, а расстояние между фокусами 2с.
Выберем
систему координат следующим образом.
Пусть ось Ох
проходит через фокусы, а ось Оу
через середину отрезка F1F2.
Тогда ф
Рис. 19.
EMBED Equation.3 .
Здесь а – большая, b – малая полуоси эллипса, причем a,d,c связаны соотношением a2 = b2 + c2 ( EMBED Equation.3 ).
Ф орма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом EMBED Equation.3 , (так как с < а, то ε < 1).
В частном случае, когда а = b (с=0, ε = 0, фокусы сливаются в одной точке—центре), эллипс превращается в окружность (с уравнением х2 + у2 = а2).
Две прямые перпендикулярные большей оси эллипса, расположенные симметрично от начала координат на расстоянии EMBED Equation.DSMT4 , называются директрисами эллипса. Их уравнения можно записать
D1 : х = EMBED Equation.3 , D2 : х = EMBED Equation.3 .
Директрисы эллипса расположены вне эллипса, поскольку
EMBED Equation.3 > а (0< EMBED Equation.3 < 1).
Теорема. Отношение расстояния ri от точки М эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы EMBED Equation.3 равно эксцентриситету ε этого эллипса.
Пример 15.4. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
Решение. Пусть искомое уравнение эллипса будет EMBED Equation.3 . Этому уравнению должны удовлетворять координаты данных точек. Следовательно,
EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
Отсюда а2 = 10, b2= 1 и уравнение эллипса имеет вид EMBED Equation.3 .
Вопросы для самопроверки
Каковы канонические уравнения окружности и эллипса?
Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса?
Каковы геометрические свойства эллипса?
Задачи для самостоятельного решения
1 Составить уравнение хорды окружности х2+у2 = 49, делящейся в точке А(1;2) пополам.
Ответ. х + 2у -5 = 0.
2. Определить координаты центров и радиусы окружностей:
а) х2+у2 - 8х + 6у = 0; б) х2+у2+10х- 4у+29 = 0;
в) х2+у2- 4х+14у + 54 = 0.
Ответ: а) а = 4, b=-3, r= 5; б) а = -5, b = 2, r=0. Уравнение определяет точку;
в) а =2, b=-7, r 2=-1. Уравнение не имеет геометрического смысла (мнимая, окружность).
3. Найти угол между радиусами окружности
х2+у2+4х-6у=0, проведенными в точки пересечения ее с осью Оу.
Ответ: tgφ=-2,4.
4. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(1; 2), В(0;-1), С(-3; 0).
Ответ: (х+1)2+(у -1)2=5.
5. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (7; 7) и В(-2; 4), зная, что ее центр лежит на прямой
2х- у-2=0.
Ответ: (х- З) 2+(у-4)2=25.
6. Составить уравнение общей хорды окружностей х2+у2=16 и (х -5)2 + у2 = 9.
Ответ: х=3,2.
7. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса EMBED Equation.3 .
Ответ: 4х+3у+12= 0.
8. На прямой х+5=0 найти точку, одинаково удаленную от левого фокуса и верхней вершины эллипса EMBED Equation.3 .
Ответ: М(—5; 7).
9. Пользуясь определением эллипса, составить его уравнение, зная, что точки F1 (0; 0) и F2 (1; 1) являются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 2.
Ответ: Зх2 + Зу2 - 2ху - 2х - 2у - 1 == 0.
10. Составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от точки А (0; 1) з два раза меньше расстояния до прямой у—4=0.
Ответ: EMBED Equation.3 .
.
Занятие 16. Кривые второго порядка: гипербола, парабола