- •Введение
- •Общие рекомендации
- •Вопросы программы к контрольной работе № 1
- •Раздел I. Векторная и линейная алгебры
- •Раздел II. Аналитическая геометрия
- •Раздел III. Введение в математический анализ
- •Вопросы программы к контрольной №2
- •Раздел IV. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его применение
- •Контрольная работа №1
- •Задача 6. Используя данные своего варианта из задачи 3: а) написать уравнение грани авс;
- •Контрольная работа №2
- •Оглавление
- •Математика
- •3 94006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Раздел III. Введение в математический анализ
Понятие функции, её область определения и область значений. График функции. Способы задания функции: а) аналитический (явный, неявный, параметрический); б) табличный; в) графический.
Понятие сложной функция.
Понятие обратной функции, условие ее существования.
Основные элементарные функции, их свойства и графики.
Предел переменной величины. Понятие о пределе функции в точке .
Основные свойства пределов: предел суммы, произведения и частного переменных величин, имеющих пределы.
Понятие неопределенности. Раскрытие неопределенности типа или для рациональной дроби.
Первый замечательный предел и его следствия.
Второй замечательный предел и его следствия.
Определение непрерывности функции в точке, свойства непрерывных функций.
Определение непрерывности на языке односторонних пределов. Точки разрыва и их классификация.
Определение непрерывности функции на интервале и на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.
Литература: [2, гл I, II ]; [3, гл. IV]; [5, гл. V].
Вопросы программы к контрольной №2
Раздел IV. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его применение
Определение производной функции в точке, ее геометрический и физический смысл.
Правила дифференцирования: производная суммы и разности функций; производная произведения функций; производная частного функций; производная произведения функции на число; правило нахождения производной сложной функции.
Таблица производных основных элементарных функций.
Производные высших порядков.
Уравнение касательной и нормали к графику кривой на плоскости в заданной точке.
Дифференциал функции в точке, его геометрический смысл и связь с приращением функции. Формула вычисления дифференциала функции через ее производную и дифференциал (приращение) аргумента. Символическая запись производной в виде отношения дифференциалов. Применение дифференциала для приближенного вычисления значений функции.
Формула Лагранжа (формула конечных приращений).
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей типа и .
Возрастание и убывание функции на интервале, связь со знаком первой производной.
Точки максимума и минимума (точки экстремума). Необходимое и достаточное условия экстремума функции. Критические точки функции.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции.
Выпуклость и вогнутость графика функции, связь со знаком второй производной. Точки перегиба, их необходимое и достаточное условия.
Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты, их нахождение.
Общая схема полного исследования функции, заданной в явном виде.
Литература: [2, гл. V]; [3, гл. VII].
Контрольная работа №1
Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и методом Крамера.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20.
Задача 2. Даны три точки А, В и С найти: координаты векторов , , , и построить их на координатной плоскости.
1. |
А(4;-3), |
В(2;4), |
С(-1;2); |
|
11. |
А(-6;2), |
В(2;3), |
С(1;-4); |
2. |
А(-3;-2), |
В(5;1), |
С(1;-4); |
12. |
А(-3;-4), |
В(-1;3), |
С(4;1); |
|
3. |
А(1;5), |
В(-3;2), |
С(1;3); |
13. |
А(-1;-3), |
В(-6;2), |
С(2;3); |
|
4. |
А(-3;-2), |
В(-1;4), |
С(4;2); |
14. |
А(5;3), |
В(-4;2), |
С(3;-4); |
|
5. |
А(-5;1), |
В(-1;2), |
С(-3;-2); |
15. |
А(4;-3), |
В(-3;-4), |
С(-1;4); |
|
6. |
А(1;-4), |
В(5;-1), |
С(-2;3); |
16. |
А(-4;-4), |
В(3;3), |
С(5;-2); |
|
7. |
А(1;-2), |
В(4;1), |
С(0;4); |
17. |
А(-6;-1), |
В(5;2), |
С(-1;1); |
|
8. |
А(-1;-4), |
В(4;1), |
С(-1;2); |
18. |
А(-1;-5), |
В(1;-3), |
С(-2;6); |
|
9. |
А(-3;2), |
В(2;3), |
С(-1;-4); |
19. |
А(-4;1), |
В(4;-1), |
С(1;-2); |
|
10. |
А(-1;3), |
В(4;1), |
С(0;-3); |
20. |
А(-1;5), |
В(6;1), |
С(1;-1); |
Задача 3. Даны координаты вершин пирамиды . Требуется найти:
а) скалярное произведение ; б) длины сторон и ; в) угол между этими сторонами; г) площадь грани ; д) объем пирамиды ABCD .
А (1, 1, 1), В (6, 3, 1), С (3, 6, 1), D (2, 3, 5).
А (2, -1, 1), В (0, 2, 1), С (0, -1, 5), D (2, 2, 9).
А (1, 2, -2), В (2, 1, 1), С (-1, 4, -1), D (4, 0, 3).
А (1, 3, 2), В (3, 2, 2), С (1, 4, 2), D (1, 3, 5).
А (2, 2, 1), В (3, 5, 4), С (1, 6, 0), D (1, 4, 7).
А (4, 1, 1), В (3, 4, 2), С (4, 6, 1), D (3, 3, 7).
А (0, 2, 1), В (3, 4, 2), С (3, 5, 1), D (1, 2, 6).
А (2, 1, 0), В (1, 3, 2), С (3, 4, 1), D (2, 3, 7).
А (2, -2, 0), В (3, 3, 1), С (0, 4, 2), D (1, 3, 6).
А (-1, 3, 2), В (1, 2, 2), С (1, 9, 1), D (1, 5, 10).
А (1, 5, 10), В (-1, 3, -6), С (2, 3, 7), D (1, 2, 6).
12. А (1, 1, 1), В (2, -1,1), С (1, 2, -2), D (2, 7, 5).
13. A (1, 3, 2), B (2, 2, 1), C (4, 1, 1), D (2, 2, 9).
14. A (2, 1, 0), B (2, -2, 0), C (-1, 3, 2), D (4, 0, 3).
15. A (6, 7, 1), B (0, 2, 1), C (2, 1, 1), D (1, 3, 5).
16. A (3, 2, 2), B (3, 5, 4), C (3, 4, 2), D (1, 4, 7).
17. A (1, 3, 2), B (3, 3, 1), C (1, 8, 2), D (7, 3, 7).
18. A (3, 6, 1), B (0, -1, 5), C (1, 4, 2), D (1, 3, 6).
19. A (1, 6, 0), B (3, 5, 1), C (3, 6, 1), D (2, 3, 7).
20. A (3, 4, 1), B (0, 4, 2), C (1, 9, 1), D (1, 5, 10).
Задача 4. Даны координаты вершин треугольника ABC (см. задание 2). Выполнить задания: a) написать уравнения прямых АВ и АС; б) вычислить угол между этими прямыми через их угловые коэффициенты; в) написать уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС; г) найти длину высоты треугольника, опущенный из вершины В.
Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат. Требуется: а) построить в полярной системе координат точки этой кривой, давая углу значения в № 1 – 10 и давая углу в № 11 – 20;
б) перейдя к уравнению той же кривой в декартовой системе координат, показать, что это уравнение кривой второго порядка;
в) приводя это уравнение к каноническому виду, назвать кривую и нарисовать ее на координатной плоскости XOY.
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. .
10. . 11. . 12. .
13. . 14. . 15. .
16. . 17. . 18. .
19. . 20. .