- •Двойные интегралы.
- •Основные понятия и свойства.
- •Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования
- •Геометрические приложения двойных интегралов
- •Тройной интеграл
- •Замена переменных в тройном интеграле
- •Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •2. Тройной интеграл в сферической системе координат
- •Приложения тройных интегралов
- •Криволинейный интеграл 2-го рода
- •1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла 2-го рода.
- •2. Определение криволинейного интеграла 2-го рода.
- •3. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода
- •5.Формула Грина
- •6.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •7. Нахождение функции по ее полному дифференциалу
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Геометрические приложения двойных интегралов
1. Площадь области на плоскости выражается формулой
2. Объем тела , где
непрерывная неотрицательная в области
функция, выражается формулой
3. Площадь поверхности, заданной явно уравнением , вычисляется с помощью двойного интеграла вида:
Физические приложения двойных интегралов
Пусть - материальная бесконечно тонкая пластинка с плотностью . Тогда справедливы следующие формулы:
1. - масса пластинки;
2. - статические моменты пластинки относительно осей
3. - координаты центра тяжести пластинки;
4. - моменты инерции пластинки относительно осей
5. - момент инерции пластинки относительно начала координат.
Пример. Найти объем тела , ограниченного поверхностями
Решение. Данное тело можно представить в виде
(рис.16), где - область на плоскости , ограниченная кривыми , то есть
. Переходя от двойного интеграла к повторному, получим
Пример. Найти моменты инерции относительно осей пластины с плотностью ограниченной кривыми и прямыми , расположенной в первом квадранте (рис.17).
Решение.
. Чтобы свести каждый из этих интегралов к повторному в декартовых координатах, нужно область разбить на три части. Поэтому удобнее перейти к полярным координатам:
. Тогда изменяется от до , а при каждом значении переменная изменяется от (значение на кривой , уравнение которой в полярных координатах в I квадранте имеет вид ) до (значение на кривой Следовательно, Аналогично получаем
Задачи для самостоятельного решения
1. Привести двойной интеграл к повторному двумя способами, если:
а) - область, ограниченная кривыми
б) - круг
в) - треугольник со сторонами, лежащими на прямых
г) - кольцо
д) - область, ограниченная кривыми
;
е) - область, лежащая вне окружности и внутри кривой .
2. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:
а) б) в)
г) д)
е) ж)
3. Вычислить двойные интегралы:
а) б)
в) где
г) где
д) где
е) где - область, ограниченная кривыми
;
ж) где - область, ограниченная кривой
з) где - область, ограниченная кривыми
4. В следующих интегралах перейти к полярным координатам
а) б) в) .
5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
а)
б)
в)
6. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми:
а)
б)
в)
Ответ: а) б) в)
7. Найти координаты центра тяжести круглой пластинки если ее плотность в точке пропорциональна расстоянию от точки до точки
Ответ:
8. Найти моменты инерции и относительно осей
и однородной пластинки с плотностью , ограниченной кривыми:
а)
б)
в)
г)
Ответ: а) б) в) г)
9. Найти моменты инерции и относительно осей и однородной пластинки с плотностью , ограниченной кривыми:
а)
б)
Ответ: а) б)
10. Шар радиуса погружен в жидкость постоянной плотности , причем центр шара находится на расстоянии от уровня жидкости и . Найти силы давления и на верхнюю и нижнюю полусферы этого шара.
Ответ:
11. Доказать, что если в плоскости, где расположена пластинка массы , взяты две параллельные оси и на расстоянии друг от друга, причем первая из них проходит через центр тяжести пластинки , то моменты инерции пластинки относительно этих осей связаны соотношением
Ответ: Взяв ось в качестве оси абсцисс, получаем
Так как, по условию , то приходим к равенству