- •Часть 3
- •Часть 3
- •Введение
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 27
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Приложения тройных интегралов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 29
- •Примеры решения задач
- •Занятие 35-36 вычеты и их вычисление. Основная теорема о вычетах. Применние вычетов к вычислению интегралов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Занятие № 29. Интегрирование функций комплексного
- •Часть 3
- •В авторской редакции
Примеры решения задач
Пример 1. Разложить в окрестности точки в ряд Тейлора.
Решение. Представим в виде суммы двух дробей: и воспользуемся разложением в ряд , сходящемся в круге , подставляя вместо для первой дроби , а для второй - . Получим ряд Тейлора , который сходится в круге .
Пример 2. Разложить в ряд Лорана функцию в областях: а) ; б) ; в) .
Решение. Представим в виде суммы двух дробей: . Если , то , а если , то . Аналогично, при имеем разложение , а если , то . Отсюда следует:
а) в круге . Это ряд Тейлора;
б) в кольце . Ряд Лорана содержит как положительные, так и отрицательные степени ;
в) в кольце . Ряд Лорана содержит только отрицательные степени .
Пример 3. Определить характер особой точки для функций: а) , б) , в) .
Решение. а) Используя разложение в ряд Тейлора , получим, что функция, стоящая в знаменателе дроби, имеет в точке нуль третьего порядка. Отсюда следует, что функция имеет в точке полюс третьего порядка.
б) Разложим в ряд Лорана: . Отсюда видно, что главная часть ряда Лорана содержит бесконечно много членов. Поэтому для функции точка является существенно особой.
в) Используя разложение в ряд Тейлора для функции в окрестности точки , получим . Лорановское разложение функции в окрестности точки не содержит главной части, поэтому эта точка является устранимой особой точкой.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Используя разложение основных элементарных функций, разложить в ряд по степеням и указать области сходимости полученных рядов:
а) ; б) ; в) ; г) .
Доказать, что справедливы формулы:
а) при ;
б) при ,
где и - заданные комплексные числа. Указание: использовать при доказательстве разложение функции в ряд (геометрическую прогрессию).
Разложить в ряд Лорана следующие функции в указанных областях:
а) в кольце и в кольце ;
б) в кольцах и ;
в) в кольце ;
г) в кольцах и .
Найти особые точки функции и определить их тип:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, коллоквиум.
Занятие 35-36 вычеты и их вычисление. Основная теорема о вычетах. Применние вычетов к вычислению интегралов
, с. 132-137; , с. 70-81; , с. 172-179.
Контрольные вопросы и задания
Что называется вычетом функции относительно особой точки?
Чему равен вычет в устранимой особой точке и почему?
Как вычисляется вычет в простом и кратном полюсах?
Как находится вычет в существенно особой точке?
Сформулируйте основную теорему о вычетах. Как применяется теория вычетов к вычислению интегралов по замкнутым контурам?
Сформулируйте лемму Жордана. Как применяются вычеты при вычислении несобственных интегралов?
Примеры решения задач
Пример 1. Найти вычеты функции в ее особых точках.
Решение. Функция имеет две особые точки: - простой полюс и - полюс кратности 2. В случае простого полюса вычет вычисляется по формуле . Для получаем . В случае полюса кратности вычет вычисляется по формуле . Для и получаем .
Пример 2. Вычислить вычет в точке .
Решение. Для функции точка является существенно особой, так как . Поэтому , где - коэффициент ряда Лорана при .
Пример 3. Вычислить интеграл .
Решение. Подынтегральная функция имеет внутри круга одну особую точку - полюс первого порядка (рис. 3). Воспользуемся формулой . Получим . Далее воспользуемся основной теоремой о вычетах. Откуда получим
.
Р ис. 3 Рис. 4
Пример 4. Вычислить интеграл .
Решение. Подынтегральная функция имеет внутри круга одну особую точку , которая является существенно особой (рис. 4). Поэтому для вычисления вычета в точке применим формулу , где - коэффициент ряда Лорана при . Имеем . Так как , то . Следовательно .
Пример 5. Вычислить интеграл .
Решение. Введем функцию , которая на действительной оси ( ) совпадает с подынтегральной функцией, которая является дробно-рациональной. Функция имеет в верхней полуплоскости ( ) единственный полюс четвертого порядка . Поэтому , где . Отсюда .
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
Найти вычеты функции в ее особых точках:
а) ; б) ;
в) .
Вычислить интегралы: а) , где ;
б) , где ; в) , где ; г) , где .
Вычислить несобственные интегралы:
а) ; б) ; в) ; г) .
Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет,
коллоквиум.