- •Компьютерный практикум по численным методам
- •Введение
- •1 Решение нелинейных уравнений и систем уравнений
- •1.1 Понятие о линейных и нелинейных уравнениях
- •1.2 О методах решения нелинейных уравнений
- •1.3 Решение нелинейных уравнений
- •1.4 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона
- •1.5 Использование стандартных функций системы Maple
- •Упражнения
- •2 Решение задач линейной алгебры
- •2.1 Матричные и векторные операции
- •2.2 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1 Прямые методы решения слау. Факторизация матриц
- •2.3 Итерационные методы решения слау
- •Упражнения
- •3 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •3.1 Основные понятия
- •3.2 Численное решение задачи Коши
- •3.3 Решение краевой задачи методом стрельбы
- •Упражнения
- •4 Приближение (аппроксимация) функций
- •4.1 Введение
- •4.2 Интерполирование
- •4.3 Локальная интерполяция
- •4.4 Интерполирование сплайнами
- •4.5 Интерполяция Эрмита
- •4.6 Среднеквадратичное приближение
- •4.7 Аппроксимация с помощью взвешенных невязок
- •Упражнения
- •5 Метод конечных разностей
- •Упражнения
- •6 Прямые методы вариационного исчисления
- •6.1 Введение
- •6.2 Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера
- •6.3 О прямых методах вариационного исчисления
- •Упражнения
- •7 Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом ритца
- •7.1 Некоторые замечания по использованию метода Ритца
- •Упражнения
- •8 Решение краевых задач методом галёркина
- •Упражнения
- •9 Метод конечных элементов
- •Упражнения
- •10 Решение двумерной краевой задачи методом ритца
- •Упражнения
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Упражнения
1. Решить задачу из примера
,
для разных чисел конечных элементов (n=26 и более). Показать сходимость решения, исследуя поведение функционала, аппроксимации и граничного значения (2).
2. Решить ту же задачу, используя квадратичные элементы Лагранжа. Показать сходимость решения, исследуя поведение функционала, аппроксимации и граничного значения (2) для разного количества конечных элементов (начать с n=2). Провести также анализ сходимости решения в аспекте сравнения задач с одинаковым полным числом узлов, но с разными типами конечных элементов.
3. Решить методом конечных элементов уравнение
а) на отрезке 1x2 с краевыми условиями ;
б) на отрезке 1x2 с краевыми условиями ;
в) на отрезке 1x2 с краевыми условиями ;
г) на отрезке 0,5x2,5 с краевыми условиями ;
д) на отрезке 1x2,5 с краевыми условиями ;
е) на отрезке 0,6x3,2 с краевыми условиями .
4. Решить методом конечных элементов краевые задачи из упр. №2 раздела 5 «Метод конечных разностей». Использовать линейные элементы Лагранжа. Сравнить с точным решением. Построить графики. Провести анализ сходимости аппроксимации.
5. Решить ту же задачу, но с использованием квадратичных и кубических элементов.
6. Сравнить вычисления по МКЭ для случаев одинаковых и неодинаковых размеров конечных элементов. В последнем случае длины элементов выбираются в зависимости от характера поведения решения.
7. С помощью МКЭ найти решение краевой задачи, не имеющей аналитического решения. Условия задач взять из упр. №3 раздела 7 «Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом Ритца». Показать сходимость аппроксимаций.
8. Преобразовать дифференциальное уравнение 2-го порядка
к виду (9.6), допускающему применение процедуры Ритца, путем умножения обеих частей на некоторый множитель (x) (см. раздел 7), после чего выполнить конечно-элементные вычисления для данной граничной задачи.
Вариант 1. ; .
Вариант 2. ; .
Вариант 3. ; .
Вариант 4. ;
.
Вариант 5. ;
.
9. Вывести базисные функции для эрмитовых конечных элементов. Решить задачу из № 4, используя эрмитовы элементы.
Указание. Эрмитовы конечные элементы характеризуются тем, что обеспечивают непрерывность не только самой функции, но и ее производной (производных) на границах элементов. Чтобы получить простейшую систему таких функций, следует, используя представление
,
составить и решить систему уравнений
,
относительно коэффициентов C1, C2, C3, C4. Затем выражение для функции е необходимо привести к виду , откуда и выводятся искомые функции.
10*. Найти решение методом конечных элементов задачи из № 4, проведя дискретизацию уравнения методом наименьших квадратов.
Указание. Для исключения бесконечностей в подынтегральных выражениях следует использовать функции формы гладкости С1. Однако, если переформулировать задачу в виде системы дифференциальных уравнений, можно обойтись и обычными C0-гладкими функциями, но ценой увеличения неизвестных.
11*. Решить задачу одномерной теплопроводности
; , ,
где а) k=1, Q=1 при 0x1/2 и Q=0 при 1/2x1;
б) Q=1, k=1 при 0x1/2 и k=3 при 1/2x1.
12*. С помощью МКЭ найти решение краевой задачи из упр. №2 или №3 раздела 5 «Метод конечных разностей», дискретизируя уравнения методом Галеркина. Показать сходимость.
Указание. Весовые функции {Wi} взять теми же, что и аппроксимирующие функции {Ni}, т.е. с малым носителем. При этом максимальный порядок производных от {Ni} под интегралом следует понизить методом интегрирования по частям.
13*. Решить задачу из упр. №2,б раздела V «Метод конечных разностей» либо №7 текущего раздела, используя конечные элементы с иерархическими базисными функциями.
Указание. Рассмотрим последовательность конечно-элементных аппроксимаций
,
,
и т.д.,
где
– обычные функции формы лагранжевого элемента 1-го порядка,
– при p3 так называемые иерархические базисные функции. Приведенные аппроксимации справедливы для стандартного конечного элемента: –11. Нетрудно видеть, что первые два параметры и здесь совпадают со значениями функции e в точках =–1 и =1 соответственно, а всем остальным параметрам придать подобный смысл не так просто. Да в этом и нет особой необходимости, так как слагаемые , , … играют роль поправок к линейной аппроксимации. Тем не менее, можно записать
,
т.е. равны производной (p–1)-го порядка от e в середине конечного элемента. Проверьте, что приведенные функции формы обеспечивают непрерывность решения на границах элементов.
Каждая следующая функция имеет степень многочлена на единицу больше, чем предыдущая. Предположим, получено решение задачи (1) для обычных линейных конечных элементов. Добавляя к аппроксимации на каждом конечном элементе слагаемое , получим новое решение (2), более точное чем (1), поскольку оно основано уже на квадратичной аппроксимации. Точно так же, используя еще одно дополнительное слагаемое , найдем решение (3) – приближение кубическим полиномом. И так далее. Подумайте, в чем преимущество такого подхода?
И в заключение отметим, что переход от произвольного элемента x[x1, x2] к стандартному [–1, 1] можно осуществить по формуле
.
При этом требуется всего лишь совершить замену переменной в интегралах, вычисляемых по области конечного элемента.
14*. Указанная в предыдущем упражнении система иерархических функций отнюдь не единственно возможная. Приведем еще одну систему, определяемую интегрированием от полиномов Лежандра:
Производные этих функций обладают ортогональностью – свойством, весьма полезным при вычислениях. Решите одну из задач из упр. 2 раздела 5 «Метод конечных разностей» (варианты 1–3, 10), используя последовательно указанные иерархические функции. Выведите явно матрицу S системы уравнений. Сделайте вывод.
15*. Решить задачу Штурма–Лиувилля из упр. №5 раздела 7 «Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом Ритца».
16*. Для нелинейного дифференциального уравнения
, 0x1
с краевыми условиями (0) = 0, (1) = 1 провести дискретизацию и получить численное решение на основе МКЭ
1) = ; f = –2; 2) = cos(/2); f = 0; 3) =1/(+1); f = 0;
4) = e; f = x; 5) =1+0.1; f = –10x; 6) =1; f = e.
17*. Края x=0 и x=1 плиты с коэффициентом теплопроводности k=1 поддерживаются при температуре 10 и 80C. Найти стационарное распределение температуры , если тепло генерируется внутри плиты со скоростью a2 (a=0,01 0,03) на единицу длины.