- •Энтропия. Теоретические и практические материалы
- •Предисловие
- •1. Теоретическая часть
- •1.1. Приведённое количество тепла.
- •1.2. Энтропия
- •1.3. Свойства энтропии
- •1.4. Второе начало термодинамики
- •1.5. Теорема Нернста (III начало термодинамики)
- •1.6. Энтропия и термодинамическая вероятность
- •2. Примеры решения задач на вычисление энтропии
- •Решение
- •Решение
- •3. Задачи для самостоятельного решения по теме «энтропия»
- •Энтропия теоретические и практические материалы
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
- •Энтропия. Теоретические и практические материалы
Решение
Разность энтропий двух состояний 1 и 2 определим по формуле
(1)
Согласно первому началу термодинамики:
(2)
Здесь - молярная теплоемкость при постоянном объеме.
,
где i- число степеней свободы молекулы (для кислорода i=5).
Из уравнения Клайперона –Менделеева
,
тогда
(3)
Подставив числовые значения в (3) и вычислив, получим
.
Ответ: Дж/К.
Задача 2.6. Найти изменение энтропии при переходе 6г водорода от объема в 20л под давлением к объему в 60л под давлением в .
Дано: m=6г=0,006кг
|
|
По первому закону термодинамики
(1)
Применяя уравнение Клайперона- Менделеева
,
получим
(2)
Из уравнения Клайперона –Менделеева имеем
. (3)
Подставляя (3) в (2), получим:
, (4)
где - молярная теплоемкость водорода при постоянном объеме
- молярная теплоемкость водорода при постоянном давлении
Подставив числовые значения в выражение (4), получим
.
Ответ: Дж/К.
Задача 2.7. Водород массой m=100г был изобарно нагрет так, что объем его увеличился в n=3 раза, затем водород был изохорно охлажден так, что давление его уменьшилось в n=3 раза. Найти изменение энтропии в ходе указанных процессов.
Дано: m=100г=0,1кг
а)
n=3 б)
n=3 |
|
Изменение энтропии в ходе указанных процессов будет складываться из изменения энтропии при и , т.е.
(1)
Изменение энтропии водорода в любом процессе можно определить по формуле
, (2)
где dQ – элементарное количество теплоты, полученное водородом при температуре T.
В случае изобарного нагревания, изменение энтропии будет равно
, (3)
где
. (4)
подставляя выражение (4) в (3), получим
(5)
По закону Гей-Люссака
(6)
Используя (6), выражение (5) приведем к виду
(7)
При изохорном охлаждении
(8)
где
(9)
С учетом (9) выражение (8) примет вид
(10)
По закону Шарля
(11)
С учетом (11) выражение (10) будет иметь вид
. (12)
Подставив (7) и (12) в (1), найдем
(13)
По условию задачи
и
тогда
следовательно,
.
Так как , то
. (14)
В условиях данной задачи
.
Ответ: Дж/К.
Задача 2.8. Определить изменение энтропии одного моля идеального газа в изобарном, изохорном и изотермическом процессах.
Решение
Физическая система – один моль идеального газа – участвует в трех различных изопроцессах. Эти процессы квазистатические и обратимые. Следовательно, изменение энтропии можно получить непосредственно по формуле
(1)
Для изобарного процесса
(2)
При постоянном давлении .
Для изохорного процесса
. (3)
При постоянном объеме .
Для изотермического процесса
. (4)
Ответ: ; .
Задача 2.9. Адиабатно изолированный сосуд разделен на две равные части жесткой и нетеплопроводной перегородкой (рисунок). В каждой половине сосуда находится по одному молю одинакового идеального трехатомного газа: в левой половине — при температуре , в правой — при температуре . Перегородку убирают. Определить изменение энтропии газа после того, как установится равновесное состояние.
Дано: i = 6 1=2= 1 моль T1=600 K T2= 300 K V1=V2=V0 |
|
Р
для нахождения изменения энтропии системы III нельзя Необходимо найти такие процессы, в результате которых системы I и II из начального в то же конечное состояние перешли бы обратимым образом. Для этого необходимо нарушить первоначальную адиабатную изолированность систем I и II. Поставим вместо нетеплопроводящей идеально проводящую теплоту невесомую перегородку. Теперь системы I и II имеют тепловой контакт (они адиабатно не изолированы). В каждой системе происходит обратимый изохорный процесс (в левой - охлаждения, в правой - нагревания до температуры смеси ). Нетрудно найти конечную равновесную температуру. Если в результате теплообмена температура газа в левой части сосуда уменьшиться, так, что
,
то в правой части температура увеличится и
.
При выравнивании температур
,
тогда
и ,
следовательно
.
Теперь можно убрать и эту (теплопроводящую) перегородку. Так как обе подсистемы I и II находятся в термодинамическом равновесии при температуре , то и общая система III находится в равновесном состоянии. Заметим, если изохорные процессы в системах I и II можно считать обратимыми, то процесс теплопередачи в системе III нельзя считать обратимым. Обозначим и изменения энтропии систем I и II. Тогда изменение энтропии системы III
(2)
Для системы I
(3)
где - молярная теплоемкость газа при постоянном
объеме.
Для системы II
(4)
Так как , то а , т. е. энтропия системы I убывает, а энтропия системы II возрастает (вспомним, что эти системы, после того как была поставлена теплопроводящая перегородка, перестали быть адиабатно изолированными и энтропия каждой из них может и возрастать, и убывать). Общая система III остается адиабатно изолированной, и энтропия в ней в результате необратимого процесса должна возрастать. Действительно, и
(4)
Подставив числовые значения в выражение (5), получим
.
Таким образом, если количество теплоты переданной системой I, равно количеству теплоты полученной системой II , то изменение энтропии систем I по модулю не равно изменению энтропии системы II в этом же процессе теплопередачи .
Ответ: Дж/К.
Задача 2.10. Теплоизолированный сосуд разделен на две равные части перегородкой, в которой имеется закрывающееся и отверстие. В одной половине сосуда содержится m= 10 г водорода. Вторая половина откачана до высокого вакуума. Отверстие в перегородке открывают, и газ заполняет весь объем. Считая газ идеальным, найти приращение его энтропии.
Дано: dQ=0 m=10г=10-2кг M=210-3кг/моль |
|
Расширение газа здесь является необратимым процессом. Поэтому было бы ошибкой применить формулу
(1)
для данного процесса. Так как газ теплоизолирован (dQ = 0), то по (1) получили бы
.
В действительности же, как это следует из второго начала термодинамики, энтропия газа при его необратимом расширении должна увеличиться.
Воспользуемся тем, что энтропия функция состояния и ее изменение полностью определяется начальным и конечным состояниями системы, независимо от того процесса, в ходе которого система перешла из начального состояния в конечное. Поэтому представим такой процесс расширения газа, который переводил бы его в то же самое конечное состояние, но являлся бы обратимым процессом. Найдя по формуле (1) приращение энтропии в таком обратимом процессе, мы решим поставленную задачу.
Так как данный газ изолирован от окружающей среды (Q = 0, А = 0), то его внутренняя энергия U, как это следует из первого начала термодинамики, должна оставаться постоянной. При этом будет постоянной и температура идеального газа во время его расширения. Значит, в качестве обратимого процесса, переводящего газ в то же конечное состояние, что и данный процесс, можно рассматривать процесс обратимого изотермического расширения, в ходе которого объем газа увеличивается в два раза. Так как в этом процессе , и, следовательно, Q =А, получим ответ по (1) с учетом того, что в изотермическом процессе
(2)
При этом приращение энтропии будет равно
Подставив численные значения данных величин, получим
.
Ответ: Дж/К.