- •Программа курса
- •Статика
- •Кинематика
- •Кинематика твердого тела
- •Содержание контрольных заданий, выбор вариантов, порядок выполнения работ, общие пояснения к тексту задач
- •Принятые обозначения
- •Задачи к контрольным заданиям Статика Задача с1
- •Кинематика Задача к1
- •Задача к2
- •Контрольные вопросы Задача с1
- •Задача к1
- •Задача к2
- •Библиографический список
- •Содержание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Кинематика Задача к1
Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б, которые надо решить.
Задача К1а. Точка движется в плоскости (рис. К1.0–К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: , , где и выражены в сантиметрах, – в секундах.
Найти уравнение траектории точки; для момента времени с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Рис. К1.0 Рис. К1.1 Рис. К1.2
Рис. К1.3 Рис. К1.4 Рис. К1.5
Рис. К1.6 Рис. К1.7 Рис. К1.8
З
Рис. К1.9
Задача К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса м по закону , заданному в табл. К1 в столбце 5 ( – в метрах, – в секундах), где — расстояние точки от некоторого начала , измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени с. Изобразить на рисунке векторы и , считая, что точка в этот момент находится в положении , а положительное направление отсчета – от к .
Таблица К1
Номер условия |
|
|
||
Рис. 0–2 |
Рис. 3–6 |
Рис. 7–9 |
||
0 |
12 |
|
4 |
4 |
1 |
–6 |
8 |
6 |
2 |
2 |
–3 |
|
4 |
|
3 |
9 |
|
10 |
–2 |
4 |
3 |
2 |
–4 |
4 |
5 |
10 |
|
12 |
–3 |
6 |
6 |
2 |
–3 |
|
7 |
–2 |
|
–8 |
–2 |
8 |
9 |
|
9 |
3 |
9 |
–8 |
4 |
–6 |
–2 |
Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения.
В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени с. В некоторых вариантах задачи К1а при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные тригонометрические соотношения.
Пример К1а.
Даны уравнения движения точки в плоскости :
,
( , – в сантиметрах, – в секундах).
Определить уравнение траектории точки; для момента времени с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Решение:
1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время . Поскольку входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу
:
. (1)
Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим
, ,
с ледовательно,
.
Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1,а):
. (2)
2
Рис.
К1,а
, ,
.
Для момента времени с: , , .
3. Аналогично найдем ускорение точки:
, ,
.
Для момента времени с: , , . (4)
4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:
Получим
,
откуда
. (5)
Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и ,(4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при с: .
5. Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные при с числовые значения и , получим, что .
6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения и при с, найдем, что см.
Ответ: , , , , см.
Пример К1б.
Точка движется по дуге окружности радиуса м по закону , ( – в метрах, – в секундах), где (рис. К1,б).
Определить скорость и ускорение точки в момент времени с.
Решение:
Определяем скорость точки:
.
При с получим .
Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:
,
,
.
П
Рис. К1,б
Изобразим на рис. К1,б векторы и , учитывая знаки и считая положительным направление от к .
Ответ: , .