- •По вопросам размещения статей просьба обращаться по адресу:
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
- •Технология поэтапного расчета строительных конструкций методом суперэлементов в смешанной формулировке
- •1. Основные уравнения мкэ, мсэ и смешанного метода
- •2. Краткая характеристика программного комплекса seria и файловая система исходных данных
- •3. Пример поэтапного расчета многопролетного балочного моста по программному комплексу seria
- •Библиографический список
- •Формулы для расчета плоской балочной фермы с произвольным числом панелей
- •1. Схема и расчет
- •2. Анализ
- •Определение основной частоты собственных изгибных колебаний правильных n-угольных, треугольных и ромбических шарнирно опертых пластин с использованием конформных радиусов
- •Введение
- •Библиографический список
- •Оценка напряженно-деформированного состояния внецентренно сжимаемых со стандартной скоростью призм из мелкозернистого бетона
- •Введение
- •Базовое ядровое состояние
- •Предельное ядровое состояние
- •3. Предельные ндс и усилия
- •Расчет косоугольной пластины по методу конечных элементов в форме классического смешанного метода
- •Численное моделирование эволюции деформированного состояния стального элемента таврового сечения в процессе сварки
- •Анализ упругопластических расчетных моделей теории пластического течения
- •Расчет несущей способности внецентренно сжатого стержня из железобетона с использованием деформационной модели
- •Введение
- •1. Основные положения деформационного расчета
- •2. Определение напряжений в бетоне и арматуре для заданных нагрузок
- •3. Вычислительный алгоритм определения несущей способности внецентренно сжатого железобетонного стержня
- •4. Апробация разработанных алгоритмов
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
1. Схема и расчет
Рассмотрим балочную ферму на рис. 1. Для расчета усилий в стержнях методом вырезания узлов составим систему уравнений равновесия всех узлов в проекциях на оси координат.
Рис. 1. Ферма при n=4
Начало координат выберем в левой неподвижной опоре. Программа расчета составляется на языке Maple [1]. Для n панелей число стержней – , включая три опорные стержня. Число шарниров вместе с тремя шарнирами, закрепленными на основании, . Зададим координаты узлов, по которым можно будет определить направляющие косинусы усилий, входящие в уравнения равновесия:
Координаты опорных точек:
Структуру соединения узлов и стержней фермы зададим условными векторами . Здесь первая компонента – номер шарнира фермы в начале соответствующего стержня, вторая – номер шарнира в его конце. Выбор направления условных векторов-стержней не связан со знаком усилий в них и на результат не влияет. Имеем следующие векторы:
Опорным стержням соответствуют векторы:
Длины стержней и проекции векторных представлений этих стержней необходимы для вычисления направляющих косинусов:
Первый индекс в номере принимает значения 1 или 2 и соответствует номеру компоненты вектора , второй – номеру стержня. Матрица направляющих косинусов имеет следующие элементы:
Усилия находим из решения системы уравнений
(1)
где – вектор усилий в стержнях, – вектор правых частей (внешних нагрузок, приложенных к узлам). Для расчета прогиба фермы используем формулу Максвелла – Мора, выделив составляющую прогиба за счет деформации стержней нижнего пояса, – верхнего пояса, – стоек и – раскосов решетки. Соответствующие номера имеют и площади сечений стержней:
Здесь использованы стандартные обозначения для усилий от единичной силы, приложенной к середине нижнего пояса (узел n+1, рис. 2), – усилия в стержнях от заданной нагрузки и длины стержней . Жесткости стержней EF в общем случае разные.
Рис. 2. Нумерация узлов фермы (n=3)
Методом индукции получаем следующие зависимости:
(2)
.
Индукция проводилась по 16 фермам с последовательно увеличивающимся числом панелей. Выявлены закономерности образования коэффициентов. Для этого сначала методами компьютерной математики получены рекуррентные уравнения, которым удовлетворяют характерные коэффициенты. Например, при нахождении с помощью оператора rgf_findrecur было выявлено уравнение, которому удовлетворяет последовательность коэффициентов при в числителе этой величины:
.
Решение уравнения находим, используя оператор rsolve. Приведем соответствующий фрагмент программы на языке Maple:
> with(genfunc):
> S:=seq(DELT2[i],i=1..16);
> N:=nops([S])/2;
> R:=rgf_findrecur(N,[S],Z,n);
>simplify(rsolve({R,seq(Z(i)=S[i],i=1..N)},t)).