Учебное пособие 800163
.pdf12.у 2yy ;
13.yу ( y )2 ;
14.( y 2) у 2( y )2 ;
15.xу y 4х3 ;
16.2yу 3 ( y )2 ;
17.xу y х2 cos x ;
18.xу y ln( y x ) ;
19.x3 у 4 ln х ;
20.( y 1)2 у ( y )3 ;
21.x3 ( y y) x2 2 ;
22.y 2y 2tgx ;
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
23. |
y |
y sin x |
; |
||||
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
24. |
у |
y cos x |
; |
||||
|
25.у 2yy ;
26.у y x ;
27.у 2ctgx y sin3 x ;
28.xу y ln yx ;
29.у ln x ;
30.xу y .
9
Задание № 7. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям.
1.у 2у 8у 16х2 2;
2.у 4у 3cos х;
3.у у 2у 3е2 х ;
4. у 2у 2х 1;
5.у 2у у 2х 4;
6.у 4у 4sin 2х;
7.у у 3cos х sin x;
8.у у 6у 6х2 4х 3;
9.у 3у 3е3х ;
10.у 4у 5у 5х 4;
11.у у 2у cos х 3sin x;
12.у 4у (3х 1)е х ;
13.у у 6sin 2х;
14.у 5у 10х 3;
15.у у 2у 1 2х;
16.у 2у 6х2 6х 2;
17.у 4у 3у 8ех ;
18.у 16у 7 cos 3х;
19.у 6у 9у 2е 3х ;
20.у 2у у х 2;
21.y'' + 2y' = 4ex (sin x + cos x) ;
22.y'' - 2y' + 4y = -e2x sin 6x ;
23.y'' + 2y' = -2ex (sin x + cos x) ;
24.y'' + y = 2cos 7x + 3sin 7x ;
у(0) 0; |
|
|
5; |
у (0) |
|||
у(0) 1; |
|
2; |
|
у (0) |
|||
у(0) 2; |
|
5; |
|
у (0) |
|||
у(0) 1; |
|
1; |
|
у (0) |
|||
у(0) 1; |
|
1; |
|
у (0) |
|||
у(0) 2; |
|
7; |
|
у (0) |
|||
у(0) 0; |
|
|
1; |
у (0) |
|||
у(0) 3; |
|
|
5; |
у (0) |
|||
у(0) 2; |
|
|
4; |
у (0) |
|||
у(0) 0; |
|
|
3; |
у (0) |
|||
у(0) 1; |
|
|
2; |
у (0) |
|||
у(0) 0; |
|
|
-4; |
у (0) |
|||
у( ) -1; |
|
|
|
у ( ) -4; |
|||
у(0) 2; |
|
|
4; |
у (0) |
|||
у(0) 3; |
|
|
5; |
у (0) |
|||
у(0) 1; |
|
|
1; |
у (0) |
|||
у(0) 2; |
|
|
|
у (0) 0; |
|||
у(0) 1; |
|
|
|
у (0) 4; |
|||
у(0) 1; |
|
|
|
у (0) -3; |
|||
у(0) 1; |
|
|
|
у (0) 2; |
|||
у(0) 0; |
|
|
|
у (0) 1; |
|||
у(0) 0; |
|
|
|
у (0) 1; |
|||
у(0) 0; |
|
|
|
у (0) 1; |
|||
у(0) 0; |
|
|
|
у (0) 1; |
10
25. |
y'' - 4y' +8y = ex (5sin x - 3cos x) ; |
у(0) 0; |
у (0) |
1; |
||||
26. |
y'' + 2y' = ex (sin x + cos x) ; |
у(0) 0; |
у (0) |
1; |
||||
27. |
y'' - 4y' + 4y = e |
2x |
sin 3x ; |
у(0) 0; |
|
|
||
|
|
у (0) 1; |
||||||
28. |
y'' + 2y' + 5y = -sin 2x ; |
у(0) 0; |
|
1; |
||||
у (0) |
||||||||
29. |
y'' + 6y' +13y = e |
-3x |
cos 4x ; |
у(0) 0; |
|
|
||
|
|
у (0) 1; |
||||||
30. |
y'' + y = 2cos3x - 3sin 3x ; |
у(0) 0; |
|
1. |
||||
у (0) |
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1. Найти:
1) направление наибольшего возрастания функции z= x2 5xy y2 (т.е. grad z) в точке А(2, 1) и скорость ее изменения в этом направлении ( |grad z|); 2) производную в точ-
ке А(2, 1) по направлению вектора а = 3 i +4 j ; 3) экстремум функции z = f (x,y).
Решение.
1) Градиент функции двух переменных z=f (x,y) в точке А(x;y) - это вектор на плоскости Oxy:
grad
grad grad
|grad
|
|
|
z |
|
z |
|
|||||
z( A) |
|
i |
|
|
|
j . |
|||||
x |
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x 5y i |
|
5x 2y j ; |
|||||||||
z( A) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
9i |
12 j . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z| = |
|
92 122 |
|
|
|
225 15 . |
2) Производная функции по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении. В случае
функции |
двух |
переменных |
z= |
f(x,y) |
имеем |
||||||
|
z |
z |
|
|
z |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
cos |
|
|
sin , где |
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
; sin |
|
|
|
|
|
|
ay |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
a |
2 |
a |
2 |
|
|
|
|
|
a |
2 a |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
||||||||
Тогда |
z |
|
A |
2x 5y |
|
9 ; |
|
z |
|
A |
5x 2 y |
|
|
|
12 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
A |
|
||||||||
cos |
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ax2 ay2 |
|
|
|
|
9 16 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
sin |
|
|
|
|
|
|
|
ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ax2 ay2 |
|
9 |
16 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Найдем экстремум функции.
Необходимое условие экстремума.
Если функция z= f(x,y) дифференцируема в точке М0(x0,y0) и имеет в этой точке экстремум, то
f (x |
0 |
, y |
0 |
) 0 ; |
f (x |
0 |
, y |
0 |
) 0 . |
x |
|
|
y |
|
|
Достаточное условие экстремума.
Пусть функция z= f(х, у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0 (х0 ,у0), а в самой точке М0
|
|
|
|
|
|
|
(x0 , y0 ) |
0 (т.е. точка М0 является кри- |
||||||||||
f x (x0 , y0 ) 0 ; |
f y |
|||||||||||||||||
тической). Обозначим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f |
(x |
0 |
, y |
0 |
) A , |
f |
(x |
0 |
, y |
0 |
) B , |
f |
(x |
0 |
, y |
0 |
) C . |
|
xx |
|
|
|
|
xy |
|
|
|
yy |
|
|
|
Тогда:
1.Если число = AC B2 >0, то в точке М0 (х0 ,у0) функция f(х, у) имеет экстремум, а именно максимум, если А < 0 и минимум, если А > 0.
2.Если число = AC B2 <0, то в точке М0 (х0 ,у0) экстремума нет.
3.Если число = AC B2 =0, то признак не применим.
12
Найдем частные производные заданной функции и приравняем их к нулю.
zxz
y
2x 5y |
2x 5y 0 |
. |
|
|
|
5x 2 y |
5x 2 y 0 |
|
Решая систему уравнений, получим критическую точку
х1=0; у1 =0; М1(0,0).
Найдем вторые производные:
2 z |
=2 , |
2 z |
=5, |
2 z |
=2. |
|
x 2 |
x y |
y 2 |
||||
|
|
|
||||
В точке М1: А=2, |
В= 5, С =2. AC B2 < 0. Экстремума |
нет.
Задание 2. 1) Решить уравнение x2 y2 y 1 y.
Решение. Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде M (x)N( y)dx P(x)Q( y)dy 0 .
Для решения данного уравнения надо обе его части умножить или разделить на такие выражения, чтобы в одну часть уравнения входили только множители, содержащие переменную х, а в другую – только у, то есть разделить переменные. После разделения переменных обе части интегрируются.
При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные х и у, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.
Запишем заданное дифференциальное уравнение в дифференциальном виде:
x2 y2 |
dy |
y 1; |
x2 y2 dy ( y 1)dx. |
||||||
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Делим обе части уравнения на |
x2 ( y 1) : |
y2 |
|
dy |
dx |
. |
|||
y 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения.
13
|
|
|
y2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
1 1 |
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
;. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
C; |
|||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|||||||||||
|
y2 |
1 |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
y |
1 |
|
y |
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( y 1)dy ln |
|
y 1 |
|
|
1 |
C; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y ln |
|
y 1 |
|
|
|
|
C - общий интеграл уравнения. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При делении на x2 ( y 1) , могли быть потеряны решения х = 0
иу = 1. Очевидно, у = 1 – решение уравнения (3), а х =0 – нет.
2)Решить уравнение (1 x) ydx (1 y)xdy 0.
Решение. Разделяя переменные, имеем
|
|
1 x |
dx |
y 1 |
dy, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 dx |
1 |
|
|
dy, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
интегрируя, получаем ln |
|
x |
|
x ln |
|
y |
|
y C |
или ln |
|
xy |
|
x y C . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Последнее соотношение есть общий интеграл уравнения.
Задание 3. Решить уравнение |
dy |
|
|
xy |
. |
|||
dx |
x 2 y 2 |
|||||||
|
|
|
||||||
Решение. Уравнение первого порядка |
|
dy |
f ( x, y) |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
называется однородным дифференциальным уравнением отно-
сительно х и у, если функция f (x, y) - однородная функция нулевого порядка относительно х и у, то есть f( x, y) = f (x,y).
Для решения такого уравнения делается подстановка u xy ,
т.е. y =ux.
14
Справа в заданном уравнении стоит однородная функция нулевого порядка, следовательно, имеем однородное уравне-
ние. Делаем замену u |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
, тогда y =ux, |
|
y |
|
u x u , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
du |
x |
|
|
u |
, |
|
|
du |
x |
|
|
u 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
u 2 |
|
|
|
|
|
1 u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
dx |
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Разделяя переменные, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1 u 2 )du |
|
dx |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 3 |
|
|
|
x |
|
|
|
u 3 |
|
u |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Отсюда, интегрируя, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
ln |
|
u |
|
ln |
|
x |
|
ln |
|
C |
|
, |
или |
|
|
|
|
1 |
|
ln |
|
uxC |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2u 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя y/x=u, получим общий интеграл исходного уравнения:
|
x 2 |
ln |
|
yC |
|
. |
|
|
|
||||||
2 y 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Задание 4. Найти частное решение дифференциального уравнения y ytgx cos2 x , удовлетворяющее начальному ус-
ловию у(0) =1.
Решение. Линейным уравнением первого порядка назы-
вается уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид
dydx P(x) y Q(x) ,
где P(x) и Q(x) - заданные непрерывные функции или посто-
янные.
Решение линейного уравнения ищем в виде произведения двух функций от х: у= u(x) v(x) . Тогда dydx u dvdx v dudx .
15
|
Подставляя в заданное |
уравнение у=u(x) v(x) и |
||||||||
dy |
u |
dv |
v |
du |
, имеем u |
dv |
v |
du |
uvtgx cos 2 x . |
|
dx |
dx |
dx |
dx |
dx |
||||||
|
|
|
|
|
Сгруппируем слагаемые с u, вынося u за скобку:
dv |
|
|
du |
|
2 |
|
|
u |
|
vtgx |
v |
|
cos |
|
x . Определим v так, чтобы вы- |
|
|
|
|||||
dx |
|
|
dx |
|
|
|
ражение в скобках обратилось в нуль. Тогда |
dv |
vtgx , разде- |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
ляя переменные, |
получим |
|
dv |
|
sin x |
dx . Интегрируя уравне- |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
cos x |
|
|
|
ние, найдем ln |
|
v |
|
ln |
|
cos x |
|
|
или v cos x . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Для определения u имеем уравнение |
|
|
|||||||||||||||||
cos x |
du |
cos2 x , |
du |
cos |
x ; |
u cos xdx sin x C . |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножив u на v, получим общее решение y cos x(sin x c) .
Используя начальное условие у(0) =1, подставляя его в общее решение, имеем 1= сos0 (sin0 +C), откуда С=1. Искомое частное решение будет иметь вид
y cos x(sin x 1) .
Задание 5. Найти решение задачи Коши (частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее началь-
ному условию) y y / x x2 y4 , если у(1) =1. Решение. Уравнение Бернулли имеет вид
|
|
dy |
P(x) y Q(x) ym , где |
m 0; |
m 1. |
||||||||
|
|
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разделяя правую и левую части уравнения на ym и заме- |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 m |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
няя z y m 1 , |
а z |
|
y m y |
, получаем линейное дифферен- |
|||||||||
|
|
циальное уравнение первого порядка.
16
Опираясь на вышесказанное, разделим правую и левую
части нашего уравнения на y4, |
тогда |
|
|
y |
|
|
|
1 |
x2 |
. |
Введем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y 4 |
|
|
y3 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 4 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
замену z y 3 |
, |
тогда |
z |
. |
Подставляя |
в уравнение, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем |
|
z |
|
|
z |
x2 . |
Получили линейное уравнение относи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тельно z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Положим z= u (x) v (x), |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dz |
|
u |
dv |
|
v |
du |
. |
|
Подставляя |
|
|
в |
|
|
|
уравнение, |
имеем |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
dv |
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
uv |
|
|
2 |
|
|
|
|
du |
|
|
|
dv |
|
|
|
|
v |
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
u |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
, |
|
v |
|
u |
|
|
|
|
3 |
|
|
3x |
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в нуль. |
|
Тогда |
|
dv |
|
3 |
v |
|
, |
разделяя |
переменные, |
|
получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
3 |
dx |
. |
|
Интегрируя |
уравнение, |
найдем |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
v |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или v x3 . |
Для определения |
|
u имеем уравнение |
|||||||||||||||||
|
v |
du |
3x2 |
|
или |
x3 |
du |
|
3x2 . |
Тогда |
||||||||||
|
dx |
dx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|||||||||
u 3ln |
|
x |
|
ln |
|
c |
|
или u ln |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln v 3ln x
du 3 dx , x
17
Окончательно получим |
z ln |
c |
|
x3 . Вспоминая, что |
|
z |
|
1 |
, |
|||||||||||||||||||||
x3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
|||
имеем |
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
Подставляя у(1) |
=1, |
имеем |
с=е, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
ln |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
- решение задачи Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 3 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задание 6. |
1) Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy y ln(y / x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение. Перед нами уравнение вида |
d 2 y |
|
f ( x, |
dy |
) , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
dx |
|
|
|
||||
которое не содержит явным образом искомой функции у. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Обозначим производную |
dy |
через q, |
положим |
|
dy |
|
q . |
||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
d 2 y |
|
|
dq |
. |
Подставляя эти |
выражения производных в |
|||||||||||||||||||||||
dx 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
исходное |
уравнение, получим уравнение |
первого |
порядка |
dqdx f (x, q) относительно неизвестной функции q (x). Проин-
тегрировав это уравнение, находим его общее решение q = q
(х, С1), а затем из соотношения dydx q получаем общий инте-
грал исходного уравнения y q(x, C1 )dx C2 .
Итак, полагая y q , преобразуем решаемое нами уравнение к виду
xq q ln(q / x) |
или q (q / x) ln(q / x) . |
||
Это однородное уравнение первого порядка. Полагая q/x |
|||
= u, откуда q = zx, q |
|
|
u , получим уравнение |
|
u x |
||
|
|
|
18 |