Учебное пособие 800262
.pdf3. ZPK модель имеет вид
(51)
Далее в качестве примера с использованием метода переменных состояния рассмотрим RCL цепь.
Дана цепь (см. рис. 11). Состояние системы характеризуется двумя переменными (x1,x2), где x1 — есть напряжение на конденсаторе uc(t), и х2 — ток через индуктивность iL(t).
Рис. 11. RCL цепь
Используя закон Кирхгофа для токов, запишем дифференциальное уравнение, для токов определяющее скорость изменения напряжения на конденсаторе
Следовательно,
|
i |
|
= C |
du |
c |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
c |
|
|
|
dt |
||
|
|
|
|
|
|
||
u |
c |
= |
1 |
∫ |
|
||
|
|
||||||
|
c |
|
idt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
= u(t) -
* → u =
iL
1 c
.
* i |
L |
(t) |
|
|
(52)
, где iL(t)
– x2 , звездочка знак производной. Закон Кирхгофа для напряжений, примененный к правому контуру, дает уравнение, определяющее скорость изменения тока через индуктивность:
29
Следовательно,
i |
L |
|
L
=
di |
|
|
L |
|
|
|
= - Ri |
|
dt |
|
L |
|
|
|
1 |
∫ c |
dt |
|
||
L |
u |
|
|
|
+ u |
, |
c |
|
* |
|
→ i =
1 L
u |
c |
|
, где
u |
c |
|
(53)
- x1
Выход системы определяется линейным алгебраическим уравнением
u |
0 |
|
=
Ril
(t)
.
(54)
Уравнения (53) и (54) можно переписать в виде двух дифференциальных уравнений относительно двух переменных состояния x1 и х2.
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
= - |
|
x |
|
+ |
|
|
u(t) |
|||||
dt |
|
C |
2 |
C |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2 |
= |
1 |
x |
- |
R |
x |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dt |
L |
L |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда выходной сигнал будет равен
(55)
(56)
y (t) = u |
(t) = Rx |
|
1 |
0 |
2 |
(57)
Используя уравнения (55) и (56), а так же начальные условия мы можем определить будущее поведение системы и ее выходную величину.
Воспользовавшись уравнениями (55) и (56) запишем уравнение состояния RCL-цепи
30
|
0 |
- |
1 |
|
1 |
|
* |
c |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
x = |
|
|
x + |
c |
u(t) . |
|
1 |
|
R |
||||
|
- |
|
0 |
|
||
|
L |
L |
|
|
||
|
|
|
|
|
Уравнение выхода будет иметь вид:
(58)
[ |
] |
y = 0R x . |
Если R=3, L=1, C=1/2, то
* |
0 |
-2 |
|
2 |
|
|
|
[ |
] |
x = |
|
|
x |
|
u |
и |
y = |
||
1 |
-3 |
0 |
0 3 x . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(59)
Теперь создадим систему с использованием команду ss. Создадим m – файл. В командном окне MATLAB последовательно откроем окна File, New, M-file (Script в версии R2010b) и введем текст (рис. 12) (комментарии можно не вводить, комментарии начинаются со знака %):* ^
сlear % очистка рабочей области памяти clc % очистка командного окна
R=3.0 % Ohms
L=1.0 % Henry
C=1/2 % Farad
Далее создадим матрицу A
A = [0 -1/C; 1/L –R/L ]% создание матрицы А
B = [1/C; 0]%создание матрицы B
C = [0 R] % создание матрицы C; D = [0]
sys_1=ss(A, B, C, D)
* Для увеличения размера шрифта в рабочем окне выбрать в меню
File –References–Font
^ Внимательно следите за синтаксисом и пунктуацией в M-файле:
иначе - ??? Undefined function or variable
31
Рис. 12. Пример введения текста
Отметите внимание на следующее: Матрицы можно вводить как одну текстовую строку, причем строки матрицы отделяются друг от друга точкой с запятой, а отдельные элементы строки матрицы разделяются пробелами. Если требуемая длина текстовой строки превышает ширину страницы, то можно переносить ее на следующую строку, причем в месте разрыва должны быть поставлены точки, не менее трех. Если после команды имеется точка с запятой, то результаты выполнения команды в командном окне не появляются. Если выполнить эту программу (в окне редактора выполнить Debug и Run или Save and Run), то результат запоминается в рабочей области Workplace). Если теперь открыть ее (в окне МАТLАВ выполнить Desktop затем Workplace), то появится содержание рабочей области с одним среди прочих объектом sys. Рекомендуем сохранять М-файл: С:\Documents and Setting. На рис. 13 показано окно рабочей среды Matlab c формированием передаточной функции с использованием команды tf.
На рис. 14. показаны команды преобразования рациональной передаточной функции в форму с выделенными нулями и полюсами.
32
Рис. 13. М-сценарий формирования передаточной функции
Рис. 14. Преобразование рациональной передаточной функции в форму с выделенными нулями и полюсами
33
Итак, посмотрим результат работы нашего примера, а именно расчет элементов матриц A, B, C и D и с использованием созданного нами М-файла. Закроем и вновь откроем Matlab. Получим такую картину
Для закрытия Editor:
File-Close Editor.
Напомним, как вводится традиционная передаточная функция в виде отношения полиномов (рис. 15).
Рис. 15. Передаточная функция в виде отношения полиномов
Задана передаточная функция САУ
.
Создадим LTI-объект с именем w, для этого выполним: Выполним конвертацию LTIобъекта заданного в переменных состояния с использованием команды >>sys_tf=tf(sys).
Так же выполним конвертацию ZPKфункции из моделей в переменных состояния >>sys_zpk=zpk(sys).
На рис. 16 показана схема преобразования двух видов: функция ss позволяет перейти к передаточной к представлению в пространстве состояний, функция tf выполняет обратную задачу.
34
Рис. 16. Схемы преобразования
Рассмотрим альтернативные варианты задания и преобразований передаточной функции в переменные состояния.
Например, имеется система третьего порядка
W (S) =
s |
3 |
|
2s |
2 |
+ 8s + 6 |
|
|
|||
+ 8s |
2 |
+16s + 6 |
|
|
.
(60)
На рис. 16 показано, как с помощью функции ss происходит переход от передаточной функции (60) к описанию
системы управления |
d |
= Ax+Bu и у = Сх + Du, где |
|
|||
|
|
|||||
dt |
|
|||||
- 8 - 2 |
- 0,75 |
2 |
|
|
||
А= 8 |
0 |
0 |
, B= 0 |
, C=[1 0,5 0,375] |
D=[0] . |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
Представление передаточной функции в виде модели в переменных состояния представлено на рис. 17.
35
Рис. 17. Представление передаточной функции в виде модели в переменных состояния
Обратите внимание на альтернативное задание числителя (num) и знаменателя (den).
Контрольные вопросы
1.Дать определение и примеры состояний управляемой системы.
2.Показать на примере справедливость принципа суперпозиции.
1. Вывести уравнения в пространстве состояний для заданной схемы соединения трех систем.
3.Получить описание одномерной системы в канонической форме Коши.
4.Провести анализ влияния размерности векторов управления и выходов на управляемость и наблюдаемость схемы.
36
Индивидуальные задания
1. На основе функций представленных в табл. 3:
а) Постройте графики данного примера (например, step(sys));
б) Сделайте тоже самое с использованием LTI-viewer.
|
|
|
Таблица 4 |
|
Функции |
|
|
Синтаксис |
|
Описание |
|
|
|
||
|
|
||
pole(<LTI-объект>) |
Вычислениеполюсовпередаточной функции |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
zero(<LTI-объект>) |
Вычисление |
нулей |
передаточной |
|
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
step(<LTI-объект>) |
Построение |
графика |
переходного |
|
процесса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
impulse(<LTI- |
Построение |
графика |
импульсной |
объект>) |
переходной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bode(<LTI-объект>) |
Построение |
логарифмических |
|
|
частотных характеристик диаграммы |
||
|
Боде |
|
|
|
|
||
|
|
||
nyquist(<LTI- |
Построение частотного годографа Найквиста |
||
объект>) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. В табл. 4 представлены электрические цепи. Выбрать координаты состояния, например x1 – ток в цепи, x2 – напряжение на конденсаторе. Записать уравнение, описывающее переходные процессы в цепи. Записать математическую модель в переменных состояния (форма Коши). Записать матричную форму полученного уравнения в соответствии с вариантом.
37
Таблица 5
Варианты заданий
Вариант
Вариант 1. Низкочастотный RL- фильтр
Вариант 2. Высокочастотный RL-фильтр
Вариант 3. Высокочастотный RC-фильтр
Вариант 4. Низкочастотный RС- фильтр
Схема
i |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
v |
R |
v |
|
v |
|
|
|||
in |
|
R |
0 |
|
|
|
|
|
i
|
R |
|
|
|
v |
L |
v |
L |
v |
in |
|
|
0 |
|
|
v |
|
|
|
|
|
i |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
v t |
v |
|
R |
v |
|
v |
|
in |
|
|
R |
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
i |
v |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
v |
|
С |
v |
v |
|
|
|
|
||||
|
in |
|
|
|||
|
|
|
|
|
С |
0 |
38