Учебное пособие 800319
.pdfРешение. Применяя непосредственно признак Даламбера, получаем
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Следовательно, ряд сходится при x 1 и расходится при x 1 . На границах же интервала (-1, 1) исследова-
ние ряда с помощью признака Даламбера невозможно. Однако непосредственно видно, что при x = -1 и при x = 1 ряд расходится.
Пример 2. Определить интервал сходимости ряда
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2x |
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(2x)3 |
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Решение. Применяем признак Даламбера: |
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(2x)n 1 |
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Ряд |
сходится, если |
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2x |
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1 , |
т.е. |
если |
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x |
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1 2 ; при |
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x |
1 2 ряд сходится; при x |
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1 2 ряд расходится. |
23
Расчетные задания
Задача 1. Исследовать на сходимость ряд.
1. |
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n cos2 n |
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n |
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2. |
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sin2 n |
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3. |
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2 |
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n 1 2 |
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n 1 n 1 2 (n 2) |
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n 1 |
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arctg n |
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n3 |
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n 1 n3 |
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n8 |
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arc cos |
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7. |
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. 8. |
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9. |
n 1 |
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n 1 |
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n2 |
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n3 |
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12. |
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(2 |
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cosn |
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24
18. |
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Задача 2. Исследовать на сходимость ряд. |
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5. |
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6. |
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n 1 |
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7. |
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1)! |
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8. |
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2n n! |
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n 1 |
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nn |
n 1 |
nn |
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10. |
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2) |
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9 11 ... (2n |
5) |
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12. |
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n |
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15. |
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1) |
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n 1 |
n! |
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n 1 n!sin |
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(2n)! |
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n 1 |
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19. |
5n (n 1)! |
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(2n)! |
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n 1 |
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3n n |
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9. |
n 1 |
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. |
(n 2)!4n |
11. |
(3n 2)! |
. |
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n 1 |
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14. n 1 3n n! .
17. |
n! |
. |
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n 1 |
nn 4 |
20. |
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3 5 7 ... (2n |
1) |
. |
21. |
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2n! |
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. |
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2 5 8 ... (3n |
1) |
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n 1 |
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n |
1 |
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2n |
3 |
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22. |
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n!(2n 1)! |
. |
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23. |
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n arcsinn |
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. |
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4n |
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n 1 |
(3n)! |
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n |
1 |
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24. |
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4n 1 |
n2 |
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5 |
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25. |
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n2 sinn |
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(n |
1)! |
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n 1 |
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n |
1 |
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2n |
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Задача 3. Исследовать на сходимость ряд. |
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1 |
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2n 1 |
n2 |
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4n |
3 |
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1. |
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1 1/ n |
n2 |
. 2. |
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3. |
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3n |
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5n 1 |
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n 1 3n 2 |
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n 1 |
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n 1 |
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26
4. |
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3n |
2 |
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n 1 |
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4n |
1 |
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1 |
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n |
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n2 |
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6. |
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n 1 |
4n |
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n |
1 |
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8. |
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n5 3n |
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n 1 |
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2n |
1 n |
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1 |
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n |
1 |
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n2 |
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10. |
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2n |
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n |
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n 1 |
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12. |
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2n |
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2 |
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n |
(n 1)2 . |
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3n |
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1 |
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n 1 |
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||||||||
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3n |
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n |
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14. |
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n |
3 |
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3n |
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7 |
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n |
1 |
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n |
1 |
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n2 |
1 |
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16. |
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n |
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n |
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n 1 |
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3 |
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|||||||
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1 |
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n |
1 |
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n2 |
||||||||||
18. |
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4n |
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n |
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n 1 |
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n |
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n2 |
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20. |
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. |
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10n |
3 |
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||||||||||||||
|
n 1 |
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5. |
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n2 |
. |
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n 1 |
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|
ln n n |
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n |
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2n |
||||
7. |
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||||||||
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n |
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n 1 |
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3n |
1 |
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9. |
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nn |
1 |
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. |
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||||||
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n 1 2n2 |
1 n / 2 |
|
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11. |
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n 3n |
2 |
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5n |
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|
n |
1 |
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||||||
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3n |
n |
|||||||||
13. |
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n5 |
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||||||||||||
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4n |
5 |
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||||||||||||||||||||
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n 1 |
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15. |
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nn |
2 |
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|
. |
||||
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1 |
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n / 2 |
||||||
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n |
1 |
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n2 |
1 |
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|||||||||||
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|
2 |
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|||||||||||||||
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n |
2 |
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2n |
|||||||
17. |
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|
3 n |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||
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2n |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
n |
1 |
|
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19. |
|
|
n2 sinn |
|
. |
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|||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||
|
n |
1 |
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|
2n |
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||||||||
|
|
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5n |
4 |
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|
n2 |
|
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|||||||||
21. |
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|
. |
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|||||||||||
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5n |
3 |
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|||||||||||
|
n 1 |
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27
22. |
n3arctgn |
|
. |
23. |
2n 1 e n . |
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|
||||||||||
n 1 |
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3n |
n 1 |
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n 1 |
1/ 2n |
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|
2n |
n2 |
||||
24. |
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. |
25. |
|
. |
||||||
|
|
|
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||||||
|
n |
|
4n 3 |
||||||||
n 1 |
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|
n 1 |
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|
Задача 4. Исследовать на сходимость ряд
1. |
|
n |
1 |
. |
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|
|
|
|||
n 2 2n n |
1 ! |
||||
4. |
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103 n! |
. |
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n 1 2n ! |
|||||
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7.n1!arctg n5 .n 1
10. |
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6n n2 |
1 |
. |
||
n 1 |
n! |
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13. |
|
72n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
n 1 |
2n |
1 ! |
|
4n
2. n 1 n! 2 .
2n 1 2n 2 !
5. n 1 2n 3n 5
nn
8. n 1 3n n! .
4n n2
11. n 1 n 2 ! .
3. |
|
|
2n 1 |
n3 |
1 |
|
. |
||||||
n 1 |
|
|
n |
1 ! |
|
|
|||||||
|
|
|
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||||||||
6. |
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n |
5 |
sin |
2 |
. |
||||||
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|
n |
||||||
|
n 1 |
|
|
n! |
|
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|
3 |
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9. |
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n! |
tg |
1 |
. |
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||||
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|||||||||
n 1 |
2n ! |
5n |
|
||||||||||
12. |
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|
|
nn |
|
|
. |
|
|
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|
|
n |
1 |
|
n! 2 |
|
|
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14. |
4n n! |
|
. 15. |
1 |
3 5 |
... 2n 1 |
. |
|
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|
|
|
|
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3n ! |
|
|
3n |
n 1 ! |
||||
n 1 |
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n 1 |
|
|
|
n! |
|
|
|
n! 2 |
|
|
n |
||
16. |
|
|
. 17. |
|
|
|
. |
18. |
n 1 n!sin |
|
. |
n 1 n2 1 |
n 1 3n |
1 2n ! |
2n |
28
|
|
n 1 ! |
|
|
|
|
|
5n 3 n2 |
|
|
|
|
2n n! |
|
|
||||||||
19. |
|
|
|
|
. |
|
|
20. |
|
|
|
. |
|
21. |
|
|
|
|
. |
||||
n 1 |
|
nn |
|
n 1 |
n |
1 ! |
|
n 1 |
nn |
||||||||||||||
|
|
5n |
n |
1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
||||
22. |
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|
|
. |
|
|
23. |
|
|
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|
. |
|
|
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|
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n 1 |
|
2n ! |
|
|
|
|
n 1 |
n |
2 !4n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
24. |
|
3 |
5 |
7 ... |
2n |
1 |
|
.25. |
|
|
|
1 |
4 7 ... |
3n |
2 |
. |
|||||||
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|
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|
|
|
|
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n 1 |
2 |
5 |
8 ... |
3n |
1 |
|
|
n 1 |
7 |
9 11 ... |
2n |
5 |
|
|
Задача 5. Исследовать на сходимость ряд.
|
|
1 n |
|
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|
n |
2 |
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2n |
|
n |
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2n2 |
|
|
1 |
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n2 |
||||||||||||||
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|
|
|
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|||||||||||||||||||
1. |
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. |
2. |
|
n4 |
|
|
|
. |
|
3. |
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|||||||||||||||||||||
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n2 |
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|||||||||||||
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3n n 1 |
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1 |
|||||||||||||||||||||||||||
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n 1 |
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|
n 1 |
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3n 5 |
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|||||||||||||||||||||
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|
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1 |
|
n2 |
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1 |
|
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2n 1 |
n2 |
|
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|
|
|
|
|
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|
2n 2 |
n |
|
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|||||||||||
4. |
|
1 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
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|
|
6. |
|
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|
n3 . |
||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
4n |
n 1 3n 2 |
|
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n 1 |
|
|
3n 1 |
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||||||||||||||||||
|
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|
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||||||||||||||||||
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4n |
3 |
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n2 |
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|
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|
n |
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|
n2 |
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||||||
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|
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|||||||
7. |
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|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
9. |
n 1 n arcsin |
|
. |
|||||||||||||||
n 1 |
5n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
10n |
|
5 |
|
4n |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n 2 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
n |
|
|
|
|
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|
|
2n |
3 |
n |
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10. |
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. |
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11. |
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. |
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12. |
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n2 . |
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n 1 3n 1 |
|
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n 1 |
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n |
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|
5n |
|
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n 1 |
|
|
n 1 |
|
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|||||||||||||||
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3n |
2 |
|
|
n |
|
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|
|
n |
1 |
n2 |
|
|
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|
|
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|||||
13. |
n2 |
|
|
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|
|
|
. |
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|
14. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
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|
|
|
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||||||||||||||
|
|
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4n |
1 |
|
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|
|
|
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|
2n |
3 |
|
|
|
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||||||||||||||||
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
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|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
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|
29
|
|
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|
2n 1 |
|
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|
n |
|
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2n |
1 |
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|
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||
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|
|
|
|
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|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
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. |
16. |
|
|
|
. |
17. |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
n 1 |
|
3n |
1 |
|
n 1 3n |
1 |
|
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|
n 1 |
n2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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n3 |
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|
|
n |
|
|
n2 |
|
18. |
|
n2 sinn |
|
|
|
. |
|
19. |
|
|
. |
|
|
|
|
20. |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
2n |
|
n 1 ln n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
3n 1 |
||||||||||||
21. |
|
n3 arctg n |
|
|
. |
22. |
|
|
3n n5 |
|
|
|
|
. |
23. |
|
2n 1 e n . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n 1 2n 1 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
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|
|
3n |
1 |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
24. |
|
n |
|
|
. |
|
25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
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|
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|||||||||
|
n 1 |
|
|
4n |
2 |
|
|
|
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|
|
|
n 1 |
|
|
4n |
3 |
|
|
|
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|
|
Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.
1. |
|
|
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|
1 |
. |
|
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|
n 2 |
|
|
|
|
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||||
|
n ln2 (3n 1) |
|
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|
|
|
||||||
3. |
|
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|
|
1 |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
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|
||||
n 1 (2n |
|
3) ln2 (2n |
1) |
|||||||||
5. |
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 (3n |
|
4) ln2 (5n |
2) |
|||||||||
7. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
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|
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|
|||||||
n 1 (n |
|
1) ln2 (n |
|
1) |
||||||||
2 |
3 |
2. |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n ln2 (2n 1) |
|
|
|
|||||||||
4. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
n 3 (3n |
5) ln2 (4n |
7) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
6. |
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
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|
|
1) ln2 (n |
|
|
|
|
2) |
|||
n 1 (2n |
5 |
|
|
||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n 1 (n |
2) ln(n |
3) |
|
|
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30
9. n 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
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|
|
||
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|||||
(2n |
1) ln(2n) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
||||
n |
2 (3n |
1) ln n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
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|
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|
. |
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|||||
n |
2 (2n |
3) ln(3n |
1) |
|||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
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|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|||||||
n |
2 (n |
3) ln2 (2n) |
||||||||||||||||
17. |
|
|
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|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|||
n |
3 n ln(n |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
19. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
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||||
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||
n |
5 (n |
2) |
|
ln(n |
3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
21. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
2 (n |
5) ln2 (n |
1) |
|
||||||||||||||
23. |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
2 (n2 |
1) ln n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
25. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
4 (n |
3) ln2 n 2 |
10.
n 1
12.
n 2
14.
n 1
16.
n 2
18.
n 2
20.
n 4
22.
n 2
24.
n 3
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(n |
1) ln(2n) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(2n |
1) ln(n |
1) |
|||||||||||
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(n |
2) ln2 n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(2n |
3) ln2 (n |
1) |
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
ln(3n 1) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(3n |
1) ln(n |
2) |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(n |
3) ln2 (n |
7) |
|
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
(n2 |
3) ln2 n |
|
|
|
|
|
|
31
Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.
1. |
1 n 1 |
2n |
1 |
. |
|
n(n |
1) |
||||
n 1 |
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
2 ln(n |
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
|
|
1 |
n |
|
|
|
2n2 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 3 n ln(n |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
sin |
|
n |
||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
3n |
|
1 |
n |
||||||||||||||||||||
11. |
|
|
sin n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n |
1 |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13. |
|
|
|
|
|
|
1 n tg |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
15. |
|
|
|
|
|
( |
1)n |
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
1 22n (n |
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n 1 |
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
3 2 n (n |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
||
2. |
|
|
|
|
1 n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
|
2n |
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
1 n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
ln(n |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
n |
|
|
3 (n |
1) ln n |
|||||||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
1 n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
n 1 |
n4 2n |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10. |
|
|
|
|
1 n |
1 |
|
|
|
3n |
1 |
|
|
n . |
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12. |
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
n 3 |
n ln(2n) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
14. |
|
|
|
cosn |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3n) 3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n 1 cos( |
|
3n |
||||||||||||||||||
18. |
|
|
|
|
1 n |
|
2n 1 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
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