Учебное пособие 800319
.pdfМ.Л. Лапшина С.А. Фурсова М.В. Юрьева
РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ
Учебное пособие
Часть 1
Воронеж 2004
3
4
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Воронежский государственный технический университет
М.Л. Лапшина С.А. Фурсова М.В. Юрьева
РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ
Утверждено Редакционно-издательским советом в качестве учебного пособия
Воронеж 2004
5
УДК 51
Лапшина М.Л., Фурсова С.А., Юрьева М.В. Ряды. Ряды Фурье. Ч.1: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос.
техн. ун-т, 2004. 92 с.
В данной работе изложены основные понятия и теоремы, необходимые для решения практических задач. Пособие содержит большое количество примеров для проведения практических занятий и контроля знаний студентов. Практические задачи снабжены необходимыми комментариями и решениями, и поэтому пособие может быть использовано студентами для самостоятельной работы.
Учебное пособие предназначено для студентов 1 курса инженерных специальностей, изучающих курс «Математика» раздел «Ряды».
Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандартов высшего профессионального образования по направлению 230200 «Информационные системы», специальности 230201 «Информационные системы и технологии», по направлению 200400 «Биомедицинская техника», специальности 200401 «Биотехнические и медицинские аппараты и системы», по направлению 150100 «Металлургия», специальности 150104 «Литейное производство черных и цветных металлов», дисциплине «Математика».
Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS Word XP и содержится в файле РядыФу-
рье.doc.
Библиогр.: 6 назв.
Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов Рецензенты: кафедра математического моделирования ВГУ,
зав. кафедрой, д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин, д-р физ.-мат. наук, проф. И.Я. Новиков
©Лапшина М.В., Фурсова С.А., Юрьева М.В., 2004
©Оформление. Воронежский государственный технический университет, 2004
6
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие «Ряды» посвящено одному из важнейших разделов математического анализа – теории рядов и предназначено для студентов 1 курса инженерных специальностей, изучающих курс «Математика» раздел «Ряды».
В каждой области точного естествознания наряду с главами, освещающими важнейшие понятия и закономерности данной области, имеются и такие разделы, которые посвящены созданию и изучению специальной аппаратуры, служащей для овладения изучаемым предметом; значение таких разделов не столько принципиальное, сколько техническое; и тем не менее методологическая важность их бывает настолько велика, что без их систематического изложения невозможно никакое цельное построение соответствующей теории.
Теория рядов в отношении к основным понятиям и важнейшим закономерностям математического анализа играет роль такого технического орудия, вспомогательного аппарата; и тем не менее, многочисленными и разнообразными применениями этого аппарата настолько проникнуто все здание как самого анализа, так и большинства опирающихся на его основы прикладных наук, что теории рядов следует отдать центральное место в арсенале методов современной математики. Поэтому ни один курс математического анализа не может обойтись без систематического изложения этого раздела.
7
ГЛАВА 1 РЯДЫ
1.1. Ряд. Сумма ряда
Определение 1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел
|
u1 , u 2 , u 3 , |
, u n ,... |
|
Выражение |
|
|
|
u1 |
u 2 u 3 |
u n ... |
(1.1) |
называется числовым |
рядом. |
При этом |
числа |
u1 , u 2 , , u n ,... называются членами ряда.
Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда:
sn u1 u 2 |
u n . |
Рассмотрим частичные суммы
sn |
u1 , |
|
|
|
|
sn |
u1 |
u 2 , |
|
|
|
s n |
u1 |
u 2 |
u |
3 , |
|
………………….……. |
|
||||
sn |
u1 |
u 2 |
u |
3 |
u n |
Если существует конечный предел
S lim Sn ,
n
8
то его называют суммой ряда (1.1) и говорят, что ряд схо-
дится.
Если |
не существует (например, sn |
при |
n ), то говорят, что ряд (1.1) расходится и суммы не имеет.
Теорема 1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда (1.1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов.
Иными словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.
1.2. Необходимый признак сходимости ряда
Теорема. Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.
Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю при n , то ряд расходится.
Пример. Ряд
1 |
|
2 |
3 |
... |
n |
... |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
5 |
7 |
2n 1 |
||||||
|
|
расходится, так как
lim un |
lim |
n |
1 |
0 . |
||
|
|
|
||||
2n 1 |
2 |
|||||
n |
n |
|
||||
|
|
|
|
Подчеркнем, что рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, т.е. из
9
того, что n-й член стремится к нулю, еще не следует, что ряд сходится, - ряд может и расходиться.
Например, так называемый гармонический ряд
1 |
1 |
1 |
|
1 |
... |
1 |
... |
||
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
3 |
4 |
n |
||||||
|
|
|
расходится, хотя
lim un |
lim |
1 |
0 . |
|
n |
||||
n |
n |
|
||
|
|
1.3. Сравнение рядов с положительными членами
Пусть имеем два ряда с положительными членами
u1 |
u 2 |
u 3 |
u n ... , |
(1.2) |
|
1 |
2 |
3 |
n |
... . |
(1.3) |
|
|
Для них справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. Если члены ряда (1.2) не больше соответствующих членов ряда (1.3), т.е.
un |
n (n 1, 2, ...) , |
(1.4) |
и ряд (1.3) сходится, то сходится и ряд (1.2).
Теорема 2. Если члены ряда (1.2) не меньше соответствующих членов ряда (1.3), т.е.
un |
n , |
(1.5) |
и ряд (1.3) расходится, то и ряд (1.2) расходится.
10
Пример. Ряд
1 |
1 |
1 |
|
... |
1 |
|
... |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
3 |
|
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
расходится, так как его члены (начиная со второго) больше соответствующих членов гармонического ряда
1 |
1 |
1 |
|
1 |
... |
1 |
... |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
3 |
4 |
n |
|||||||
|
|
|
|
который, как известно, расходится.
1.4. Признак Даламбера
Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами
u1 u 2 u 3 |
u n ... |
(1.6) |
отношение (n+1)-го члена к n-му при n имеет конечный предел l, т.е.
lim |
un |
1 |
l , |
(1.7) |
un |
|
|||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
то:
1)ряд сходится в случае l<1,
2)ряд расходится в случае l>1.
(В случае l=1ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает)
11
Пример. Исследовать сходимость ряда
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
... |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 2 |
|
|
|
1 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
3 ... n |
|
||||||||||||
Решение: Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
un |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
2 |
... n |
n! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
un 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 2 |
... n(n |
1) |
|
|
(n |
1)! |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
un |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
un 1 |
|
|
|
|
(n |
|
1)! |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
un |
1 |
|
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
1. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
un |
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд сходится.
1.5. Признак Коши
Теорема (признак Коши). Если для ряда с положительными членами
|
|
|
u1 u 2 |
|
u 3 |
u n ... |
(1.8) |
|
|
|
|
имеет конечный предел l при n |
|
||||
величина n u |
n |
, т.е. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim n |
u |
n |
l , |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то: |
|
|
|
|
|
|
|
12