- •Введение
- •1. Дискретность (квантование)
- •2. Корпускулярно-волновой дуализм
- •3. Волновая функция свободно движущейся частицы
- •4. Принцип суперпозиции состояний. Волновой пакет
- •5. Статистическое толкование волновой функции
- •6. Свободная частица в ограниченном объеме пространства
- •7. Операторы физических величин
- •8. Собственные функции и собственные значения операторов
- •9. Соотношение неопределенности и принцип дополнительности
- •10. Волновое уравнение Шредингера
- •11. Стационарные состояния
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
10. Волновое уравнение Шредингера
Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде
, (40)
где – оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Вид оператора определяется свойствами системы. Для нерелятивистского движения частицы массы в потенциальном поле оператор действителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы:
. (41)
Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным.
Хотя уравнение (40) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (40) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (40) при известном виде оператора позволяет определить значение волновой функции в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике.
Волновое уравнение Шредингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов
H , (42)
то переход к классическому уравнению Гамильтона-Якоби для функций действия
H
можно получить из (42) формальным преобразованием
, .
Уравнение (40) получается из (42) при переходе от (42) к операторному уравнению путем формального преобразования
, , (43)
если (42) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (43) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (40). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, также как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.
Легко убедиться, что уравнение (40) удовлетворяется при волновой функцией , описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (40) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения.
11. Стационарные состояния
Рассмотрим систему, у которой оператор Гамильтона не зависит явно от времени, т. е.
. (44)
В этом случае волновое уравнение Шредингера (40) допускает решение с разделенными переменными
. (45)
Подставляя (45) в (40), находим
, (46)
где – постоянная величина. Из (46) следуют два уравнения:
, (47)
. (48)
Уравнение (47) является уравнением, определяющим собственные значения оператора Гамильтона, который при условии (44) является оператором энергии. Волновые функции соответствуют состояниям системы, в которых энергия имеет определенное значение. Решение уравнения (48) может быть записано в явном виде:
. (49)
В квантовой механике состояния, имеющие определенную энергию, называются стационарными состояниями. Согласно (45), (47) и (49), волновая функция стационарных состояний имеет вид
. (50)
Стационарные состояния в квантовой механике обладают рядом особенностей:
Зависимость волновых функций стационарных состояний системы от времени (50) однозначно определяется значением энергии в этом состоянии.
В стационарных состояниях плотность вероятности и плотность тока вероятности не зависят от времени.
В стационарных состояниях среднее значение любой физической величины, оператор которой явно не зависит от времени, является постоянным. Сами физические величины могут иметь определенное значение в стационарных состояниях в тех случаях, когда их операторы коммутируют с оператором Гамильтона.
Вероятность обнаружения определенного значения любой физической величины в стационарном состоянии не зависит от времени.