- •Введение
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Нахождение суммы знакоположительного ряда
- •1.3. Исследование сходимости знакоположительных рядов
- •1.4. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов
- •1.5. Приближенное вычисление суммы знакочередующегося ряда
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные теоретические сведения
- •2.2. Нахождение области сходимости функциональных рядов
- •2.3. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •2.4. Нахождение суммы функционального ряда
- •2.5. Разложение функций в степенной ряд Тейлора
- •2.6. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.5. Разложение функций в степенной ряд Тейлора
Всякая функция f(x), бесконечно дифференцируемая в интервале , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора
, (15)
если в этом интервале выполняется условие: где остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа, где - положительное число меньше 1.
При ряд Тейлора называют рядом Маклорена: . (15)
Если в некотором интервале, содержащем точку , все производные ограничены некоторой константой, т.е. при любом n выполняется неравенство , где М – положительная постоянная, то . Тогда функция f(x) будет суммой ряда (15), причем только для тех значений х, при которых при (необходимое и достаточное условие равенства (15) в разложении f(x) в ряд Тейлора).
Приведем основные разложения в ряд Маклорена:
Биномиальный ряд
Причем это последнее разложение при является
абсолютно сходящимся рядом в граничных точках интервала,
т.е. при х=-1 и при х=1; при ряд расходится при
х=-1 и условно сходится при при х=1; при ряд расходится на обеих границах интервала (-1;1).
При разложении функции f(x) в ряд Тейлора по степеням х (когда ) преобразуют, если возможно, функцию f(x) к виду, допускающему использование основных разложений , а также сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число. Затем определяют область сходимости полученного ряда к функции f(x).
Замечание. Если требуется разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , то сначала делают замену переменной , находят разложение по степеням t и затем возвращаются к переменной х.
Пример. Разложить ln x в ряд по степеням (х-1).
Решение. Имеем , то (t=x-1), где
область сходимости есть полуинтервал .
Задание 19. Разложить функции f(x) в ряд Тейлора по
степеням х.
Задача 3.
Решение. Данную рациональную функцию сначала разложим на элементарные дроби:
Так как
-
Геометрические прогрессии, сходящиеся соответственно при и , то окончательно имеем разложение функции в ряд:
(16)
Областью сходимости которого является пересечение интервалов .
Ответ: Формула (16) справедлива при -1<x<1.
Задача 4.
Решение. Имеем
Пользуясь биномиальным рядом при :
Подставим в разложении:
где или - бифакториал нечетных, - бифакториал четных чисел. Последнее равенство умножим почленно на , получаем искомое разложение f(x) по степеням х: , с областью сходимости ряда .
2.6. Приближенное вычисление определенных интегралов
Многие интегралы не могут быть выражены в конечном виде через элементарные функции. Одним из способов приближенного вычисления таких интегралов является разложение подынтегральной функции в степенной ряд и его почленное интегрирование. Известно, что функция, бесконечно дифференцируемая в интервале сходимости (-R,R), разлагается в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора.
,
если в этом интервале сходимости где- остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа, где - положительное число меньше 1.
Практически степенные ряды для многих функций можно найти формально, используя основные разложения функций или формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Итак, чтобы вычислить интеграл с точностью ε, где
функция f(x) разложена в степенной ряд, имеющий радиус сходимости R>b, надо:
1) Разложить функцию в степенной ряд по степеням х: и определить его интервал сходимости. Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то на таком отрезке можно интегрировать почленно полученный ряд, используя формулу Ньютона-Лейбница:
2) Вычислить сумму полученного числового ряда с
заданной точностью (оценивая остаток ряда). Заметим, что при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется.
Задание 20. Вычислить интеграл с точностью
Задача 1.
Решение.
Разлагаем функцию в ряд Тейлора по степеням х ( , = ). Получаем ряд: сходящийся также на всей числовой прямой. Интегрируем ряд
Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся, члены которого убывают по абсолютной величине
при
и , то справедливо неравенство
(остаток ряда не превосходит
первого из отброшенных членов). Если , то тем более . Поэтому, оценив неравенство , находим количество членов ряда, необходимых для вычисления суммы с заданной точностью ε. Практически прикидывают, сколько надо взять членов ряда для заданной точности. Здесь достаточно взять первые два члена ряда, т.к. и, следовательно, . Вычисляем:
Ответ:
Задача 2.
Решение. Используем разложение
,
и заменяя в нем на , получаем ряд
,
сходящийся при всех . Интегрируем почленно полученный ряд
Так как , то оценивая это неравенство, получаем, что для вычисления интеграла с точностью достаточно взять два члена ряда, ибо . Вычисляем
Ответ: