§ 3. Степенные ряды
Функциональный ряд вида
,
где - действительные числа, называется степенным.
Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если степенной ряд сходится при , то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значении , удовлетворяющем неравенству (теорема Абеля).
Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости , или с центром в точке , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точках ) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах, другие- либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся, третьи расходятся на обоих концах.
Число - половина длины интервала сходимости - называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда может быть равен нулю или бесконечности. Если , то степенной ряд сходится лишь при ; если же , то ряд сходится на всей числовой оси.
Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного
ряда можно пользоваться одним из следующих способов.
1. Если среди коэффициентов ряда нет
равных нулю, т.е. ряд содержит все целые положительные степени разности , то , при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует.
2. Если исходный ряд имеет вид
,
(где - некоторое определенное целое положительное число:
2,3,…), то .
3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степеней разности любая (т.е. не образует арифметическую прогрессию как в предыдущем случае), то радиус сходимости можно находить по формуле в которой используются только значения , отличные от нуля.
4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.
Отметим следующее свойство степенных рядов: ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.
Таким образом, если , то
,
где .
Операции почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над степенным рядом сколько угодно раз. Следовательно, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией.
3.1. Исследовать сходимость степенного ряда
.
Решение. Здесь . Найдем радиус сходимости ряда: Следовательно, ряд сходится для значений , удовлетворяющих неравенству
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. При , получаем гармонический ряд , который, как известно, расходится. При получаем ряд . Этот ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница. Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством .
3.2. Исследовать сходимость степенного ряда
.
Решение. Здесь . Найдем радиус сходимости ряда:
Следовательно, ряд сходится, если , т.е.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. При , получаем ряд , который сходится, так как ряд сходится при . При получаем ряд . Этот ряд сходится (и притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов. Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством .
3.3. Исследовать сходимость степенного ряда
.
Решение. Здесь . Найдем радиус сходимости ряда:
Следовательно, ряд сходится при любом значении .
3. 4. Исследовать сходимость степенного ряда
.
Решение. Ряд является геометрической прогрессией со знаменателем . Он сходится, если , и расходится, если .Следовательно, промежуток сходимости ряда определяется двойным неравенством
Исследовать сходимость степенного ряда
Решение. Применим признак Даламбера, учитывая, что
получим .
Отсюда, при выполнении неравенства по признаку Даламбера ряд сходится. Преобразуем последнее неравенство
Отсюда, при выполнении неравенства по признаку Даламбера ряд сходится. Преобразуем последнее неравенство
.
Итак, при ряд сходится абсолютно, а при - расходится. Следовательно, - интервал сходимости данного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала, т.е. в точках и .
При получим ряд
Применяя второй признак сравнения, сравниваем этот ряд с гармоническим рядом :
Поскольку ряд расходится, а полученный предел не ра-
вен нулю, то ряд расходится.
При получим ряд
Этот ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится.
Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, используя признак Лейбница.
1) Очевидно, неравенство выполнено для всех .
2)
Для знакочередующегося ряда выполнены оба условия признака Лейбница, значит, данный ряд сходится. Так как он не является абсолютно сходящимся, то ряд сходится условно. Окончательно получим, область сходимости исходного ряда – промежуток
3.6. Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд
Решение. Воспользовавшись формулой суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии , получаем Остается продифференцировать полученное равенство:
Найти области сходимости степенных рядов:
3.7. 3.8.
3.9. 3.10.
3.11. 3.12.
3.13. 3.14.
3.15. 3.16.
Применив почленное интегрирование и дифференцирова-
ние, найти суммы указанных радов:
3.17. 3.18. 3.19.
Ответы. 3.7. 3.8. 3.9.
3.10. 3.11. 3.12.
3.13. 3.14. 3.15. .
3.16. . 3.17.
3.18. 3.19. .