- •Нелинейная механика грунтов
- •Дисперсные грунты крупнообломочные грунты
- •Физические характеристики грунтов
- •1.2. Формы расчётных областей, системы координат, правила знаков
- •1.3. Условия предельного напряженного состояния грунтов
- •Матрицы (1.10), (1.12), (1.13) связаны равенством
- •1.4. Зависимость между перемещениями, напряжениями и деформациями
- •1.5. Расчётные модели геотехнических систем
- •1.5.1. Упрощённые модели
- •Дифференциальные уравнения равновесия. Принцип Лагранжа, равновесие узлов системы мкэ Равновесие тела обрушения и его частей (отсеков). Предельное напряженное состояние в точке
- •Жёстко-пластическая среда
- •Задача Фламана Задача Буссинеска
- •Начальная критическая нагрузка на основание Метод горизонтальных сил г.М. Шахунянца
- •Метод угловых точек
- •1.5.2. Нелинейные модели грунта
- •Контрольные вопросы для самопроверки
- •2. Метод конечных элементов в механике грунтов
- •2.1. Теоретические основы мкэ. Идеи, постулаты
- •2.2. Матрицы жёсткости конечных элементов
- •2.2.1. Общие положения
- •2.2.2. Матрица жёсткости стержневого кэ
- •2.2.3. Функции перемещений континуальных конечных элементов
- •2.2.4. Построение матриц жёсткости континуальных кэ
- •1…16 – Номера степеней свободы
- •2.3. Глобальная матрица жёсткости системы
- •2.3.1. Общая и местная системы координат
- •2.3.2. Формирование систем уравнений
- •2.3.3. О решении системы уравнений
- •2.3.4. Завершающие процедуры статического расчёта
- •2.4. Специальные конечные элементы
- •2.5. Решения физически нелинейных задач средствами мкэ
- •2.6. Заключительные замечания. Ключевые положения мкэ
- •Контрольные вопросы для самопроверки
- •Равновесие узлов системы мкэ. Принцип Лагранжа
- •Уравнение
- •Мора - Кулона
- •Закон Кулона (для заданных поверхностей сдвига)
- •Уравнение Мизеса -
- •Шлейхера - Боткина
- •Закон Гука
- •Смешанная (упругопластическая) задача теорий упругости и пластичности
- •Плоская деформация Пространственная и осесимметричная задача
- •3.2. Программное обеспечение. Критерии предельных состояний
- •3.3. Примеры решения научно-технических задач1
- •Контрольные вопросы для самопроверки
- •Заключительные замечания
- •Библиографический список
- •Сведения из алгебры матриц
- •Понятия, определения
- •Действия с матрицами
- •Давид Моисеевич Шапиро нелинейная механика грунтов
- •3 94006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
3.3. Примеры решения научно-технических задач1
1. Расчёт основания ленточного фундамента является частью научного исследования, результаты которого более полно изложены в статье [26].
Размеры расчётной области 20×40 м, размеры ленточного фундамента: ширина 3 м, глубина заложения 2 м; граничные условия, членение на КЭ приняты в соответствии с рис. 44. Основание сложено тугопластичным суглинком с модулем деформации Е=25 МПа, коэффициентом поперечной деформации ν=0,35, углом внутреннего трения φ=210, удельным сцеплением с=25 кПа, Λ*=0,18.
Давление, передаваемое фундаментом, было приложено к основанию по трём схемам: в виде полосовой нагрузки (ПН); «гладкого штампа» (ГШ), не препятствующего горизонтальным перемещениям основания на контактной поверхности; «шероховатого штампа» (ШШ), допускающего только вертикальные перемещения на контактной поверхности.
Расчёты выполнены МКЭ в сочетании со способом получения физически нелинейных решений по процедуре Ньютона-Рафсона с использованием программы Midas GTS. Была принята упругопластическая модель грунта в соответствии с описанием в п. 3.1 со следующими допущениями:
– описание пластического деформирования элементарных объёмов грунта в соответствии с уравнением (1.29) неассоциированного закона течения;
– распределение природного давления грунта в основании по гидростатическому закону: σx=σz=–γz, где γ – удельный вес грунта основания, z – вертикальная координата, считая от поверхности основания.
Интенсивность нагрузки увеличивалась ступенями. К основанию, сложенному тугопластичным суглинком, сначала было приложено давление р1=293 кПа (полная нагрузка на штамп F1=879 кН/м), затем нагрузка добавлялась ступенями по 0,17р1: р2=1,17р1=343 кПа (F2=1029 кН/м), р3=1,34р1=392 кПа (F3=1176 кН/м) до исчерпания несущей способности.
На рис. 47 показаны области предельного напряжённого состояния по условию Мора-Кулона (пластические области) при трёх значениях внешней нагрузки р1–F1, р2–F2, р3–F3, действующей по схемам ПН и ГШ–ШШ. Пластические области, полученные по расчёту по схемам ГШ и ШШ, практически совпали и по форме отличаются от результатов расчёта с приложением нагрузки по схеме ПН.
а) |
б) |
|
|
Рис. 47. Результаты расчёта основания ленточного фундамента:
пластические области в основании с Е=25 МПа, ν=0,35, φ=210, с=25 кПа с при нагрузках р1=293 кПа (области 1), р2=343 кПа (области 2), р3=392 кПа (область 3); а – ПН, б – ГШ-ШШ
На рис. 48 представлены диаграммы зависимостей s=f(p) для трёх рассмотренных схем приложения нагрузки. Линиями 4 и 5 обозначены:
– «начальная критическая нагрузка» – расчётное сопротивление R по СП 22.13330.2011, формула (5.7), соответствующие предположению о границе правомерного использования (корректности) решения теории упругости для расчёта осадки;
– предельное сопротивление основания р=ри=N/b по СП 22.13330.2011, формула (5.32), в соответствии с решением теории предельного напряжённого состояния..
Полученные по результатам расчёта осадки s=f(p) становятся прогрессирующими при нагрузках, близких к предельному сопротивлению р=ри.
Рис. 48. Диаграммы зависимостей «осадка–нагрузка» s=f(p):
1 – ПН, 2 – ГШ, 3 – ШШ, 4 – начальная критическая нагрузка,
5 – предельное сопротивление основания
Полученные результаты иллюстрируют развитие напряжённо-деформированного состояния основания, позволяют определить осадки и степень их прогрессирования при пройденных расчётами уровнях нагрузки. Метод расчёта оснований с использованием решения упругопластической задачи может быть применён на правах более информативного «контрольного расчёта», выполняемого параллельно с обычным расчётом по СП (СНиП). Изложенный способ решения смешанной (упругопластической) задачи полезен для расчётов обследуемых эксплуатируемых и реконструируемых зданий.
2. Расчётное моделирование фундаментов в пробитых скважинах (ФПС). Выполненное исследование (Д.М. Шапиро, Н.Л. Зоценко, С.В. Беда, 1996) посвящено сравнению результатов статических испытаний и математического моделирования ФПС, изготовленных по следующей технологии. Цилиндрической трамбовкой диаметром 50 см были пробиты три скважины глубиной 2 м. В две скважины после их образования были втрамбованы объёмы щебня Vщ=0,45 и 0,9 м, образующие уширения по форме эллипсоидов. После этого стволы ФПС были забетонированы враспор.
В качестве исходных данных были приняты механические характеристики грунтов, полученные путём исследования околосвайной области основания, включавшие компрессионные, сдвиговые испытания, пенетрацию и зондирование Расчёты были выполнены по осесимметричной версии программы START. Граничные условия и членение на конечные элементы приняты в соответствии с изображениями на рис. 49, а.
|
|
Рис. 49. Схемы к расчётному моделированию нагружения ФПС вдавливающей силой:
а – расчётная область и граничные условия ФПС с =0; б, в – фрагменты расчётных областей ФПС с =0,45; 0,90м3; г – фрагмент расчётной области ФПС ( =0,90м3) с членением на конечные элементы и выделением подобласти предельного напряжённого состояния (10) при Р=147 кН; 1 – железобетонная свая; 2 – щебеночное уширение; 3 – уплотненная зона грунта; 4 – суглинок Е=5 МПа, n=0,35, с=17кПа, j=13°; 5 – суглинок Е=12МПа, n=0,35, с=37кПа, j=14°; 6 – ось симметрии;
подобласти в уплотненной зоне: 7 – Е=6МПа, n=0,35, с=18кПа, j=13°, 8 – Е=9МПа, n=0,35, с=20кПа, j=14°; 9 – Е=13МПа, n=0,35, с=25кПа, j=15°
Процедурные параметры расчётов были приняты в следующих размерах: коэффициент ускорения сходимости k=1,5, допустимая норма невязки силы ЕР в размере 0,05 от предполагаемой предельной вдавливающей силы Р. На последних ступенях нагрузки число шагов итерации, требуемых для достижения сходимости, составило 30 – 50.
На рис. 50 представлены шесть кривых «осадка-нагрузка» s=f(P): три расчетных (2, 4, 6) и три (1, 3, 5) по результатам испытаний ФПС с объёмом щебня Vщ= 0; 0,45; 0,9 м3. Попарное сравнение кривых 1–2, 3–4, 5–6 свидетельствует о близости результатов, полученных по расчётам, и данных измерений.
Рис. 50. Сравнение зависимостей s=f(P) по результатам расчётов и статических испытаний: 1 – испытание, 2 – расчет – ФПС Vщ=0; 3 – испытание, 4 – расчет – ФПС Vщ=0,45 м3; 5 – испытание, 6 – расчет – ФПС Vщ =0,9 м3
3. Расчёт несущей способности буронабивных свай. Ниже приводятся два примера численного моделирования средствами МКЭ статических испытаний (вдавливания ступенчато возрастающей нагрузкой) буронабивных свай (Шапиро Д. М., Мельничук Н. Н. 2006 – 2007). При изготовлении таких свай (в отличие от свай, устраиваемых с уплотнением грунта основания) сохраняются природные характеристики грунтов, принимаемые в качестве исходных данных.
Условие предельного напряжённого состояния принимается в соответствии с уравнением (1.17). В расчёты введено ограничение касательных напряжений τ на боковой поверхности буронабивной сваи: τ≤f, где f – предельное удельное сопротивление грунта по боковой поверхности в соответствии с СП 24.13330.2011, таблица 7.3.
В расчёте использованы кольцевые осесимметричные конечные элементы треугольного сечения: упругие, представляющие на расчётной схеме буронабивную сваю; упругопластические, моделирующие грунтовую среду.
Радиус расчётной области одиночной сваи принят в размере 6d, где d – диаметр сваи. Нижняя граница «сжимаемой толщи», учитываемой при расчёте осадки сваи, определяется по условию о соотношении дополнительного (связанного с действием осевой силы) σzp и σzg природного давлений: σzp=0,2 σzg. В соответствии с этим условием при добавлении нагрузки (на каждой ступени вдавливающей силы) размер «сжимаемой толщи» увеличивается, т. е. даже на линейной стадии деформирования диаграмма «осадка−нагрузка» является криволинейной (прогрессирующей).
В расчётах был принят размер параметра невязки ξ=ЕР/Р=0,05 при числе шагов итерации до 50, коэффициент ускорения сходимости k=1,5.
Ниже приводятся результаты сопоставительных расчётов с использованием осесимметричной версии программы УПРОС к статическим испытаниям двух буронабивных свай.
Пример № 1. Для расчета использованы результаты статических испытаний двух буронабивных свай диаметром 1,0 м длиной 18 м, выполненных на испытательной площадке в зоне строительства Волгодонского завода тяжелого машиностроения (А.А. Григорян, И.И. Хабибуллин, 1977). Расчетная область, геологическое строение и членение на конечные элементы изображены на рис. 51, а. Основание буронабивных свай сложено тремя разновидностями суглинков. Для всех слоев суглинков принят коэффициент поперечной деформации ν=0,35, параметр дилатансии Λ=α/2=(sinφ)/6. Для литого бетона буронабивных свай принят модуль деформации 26600 МПа, установленный авторами экспериментов. Нижние концы свай заделаны в суглинок «среднего яруса» на глубину 4 м.
Диаграммы «осадка – нагрузка» s=f(P) по данным статических испытаний буронабивных свай и по результатам расчетов с использованием упругопластической модели грунта показаны на рисунке 51, б.
При выполнении расчетов нагрузка прикладывалась ступенями по схеме 10х0,25МН+15х0,1МН. По ходу расчетов предельное напряженное состояние было получено в такой последовательности: сначала было достигнуто предельное сопротивление грунта касательным напряжениям на боковой поверхности буронабивной сваи (Р=2,5¸3,0 МН); при Р=2,5 МН получено предельное напряженное состояние в трех конечных элементах (рис. 51, в); при нагрузке Р=3,1 МН область предельного напряженного состояния пересекла ось симметрии на расчетной схеме. После этого размеры пластической области прогрессивно увеличивались при сохранении плавности кривой s=f(P).
Достижение предельного напряжённого состояния в соответствии с уравнением (1.17) в конечных элементах на оси симметрии в слое грунта высотой 0,5 м, равной половине диаметра сваи, (Р=3,1 МН) совпало с исчерпанием несущей способности при статическом испытании и с расчетной осадкой (s=37,6 мм), близкой к 40 мм, принятой в п. 7.3.5 СП 24.13330.2011 в качестве одного из показателей предельного сопротивления сваи. Отношение приращений осадки и на двух соседних ступенях увеличения нагрузки (i-й и (i-1)-й) достигло максимума (η=3,94) при достижении предельного сопротивления трению по боковой поверхности буронабивной сваи. На заключительных ступенях нагрузки (после Р=3,0МН) параметр η оставался практически постоянным (η=1,15¸1,22).
|
|
|
Инженерно-геологические элементы: |
|
|
- суглинок «верхнего» яруса (Е=12 МПа, с=15 кПа, j=19°, g=17,3 кН/м3); |
||
- суглинок «среднего» яруса (Е=12 МПа, с=24 кПа, j=17°, g=17,9 кН/м3); |
||
- суглинок «нижнего» яруса (Е=22 МПа, с=30 кПа, j=19°, g=19,2 кН/м3). |
||
Рис. 51. Графические изображения к примеру № 1: а – расчетная область, членение на КЭ, граничные условия; б – диаграммы зависимостей s=f(P): 1, 2 – по данным статических испытаний; 3, 4 – по результатам упругопластического расчета при значениях расчетного сопротивления грунта трению по боковой поверхности сваи без понижающего коэффициента и с коэффициентом γcf=0,8; 5 – упругое решение, 6, 7 – разгрузка, в–области предельного напряженного состояния: 1, 2, 3 – при нагрузке P соответственно 2,5; 3,1 и 3,5 МН |
Линия 5 на рис. 51, б изображает зависимость s=f(P) в соответствии с линейным решением задачи. При осевой силе Р=3,1 МН «упругая» часть осадки составила 15 мм, пластическая часть 22,6 мм, т. е. их доли в общей осадке сваи составили 40 и 60%.
Пример № 2. Буронабивная свая диаметром 1,7 м длиной 26,8 м (рис. 52, а) была изготовлена при строительстве свайного фундамента большого моста в 1992 г. При бурении скважины были пройдены (табл. 11) три разновидности песков (φ=28÷330) и четыре слоя пылевато-глинистых грунтов (φ=19÷270, с=15÷54 кПа). Свая была заделана на 1,6 м в слой пылеватого плотного песка (Е=28 МПа, φ=320) общей мощностью 4,0 м. Подстилающие слои: тугопластичный суглинок (мощность 1,2 м, Е=17 МПа, φ=200, с=17 кПа), полутвёрдая глина (Е=23 МПа, φ=180, с=40 кПа). В расчетах принят удельный вес грунтов γ=19 кН/м3.
|
|
|
|
Рис 52. Графические изображения к примеру 2: а–расчетная область, членение на КЭ, граничные условия; … - номера ИГЭ в соответствии с табл. 11; б – диаграммы зависимостей : 1 – по данным статического испытания; 2 – по результатам упругопластического расчета, 3 – упругое решение, 4, 5 – при разгрузке сваи; в – области предельного напряженного состояния: 1, 2, 3 – при нагрузках P соответственно 15,0, 17,0 и 18,0 МН
Свая была испытана в проектном положении как одиночная. Испытание доведено до нагрузки 12,5 МН и было прекращено в связи с исчерпанием мощности анкерной системы. Несущая способность (предельное сопротивление) сваи не была достигнута. При выполнении упругопластического расчета, моделирующего испытание буронабивной сваи, была принята конечно-элементная расчетная схема с размерами: радиусом 10,2 м, высотой 37 м. Расчет был доведен до нагрузки 20 МН.
|
Таблица 11
Механические характеристики грунтов
Номер ИГЭ |
Наименование грунта |
Е, МПа |
с, кПа |
j° |
n |
1 |
Глина полутвердая |
23,0 |
40,0 |
18 |
0,40 |
2 |
Суглинок тугопластичный |
17,0 |
17,0 |
20 |
0,35 |
3 |
Песок пылеватый плотный |
28,0 |
0,1 |
32 |
0,35 |
4 |
Суглинок тугопластичный |
28,0 |
24,0 |
21 |
0,35 |
5 |
Глина полутвердая |
30,0 |
54,0 |
19 |
0,40 |
6 |
Суглинок полутвердый |
45,0 |
28,0 |
24 |
0,35 |
7 |
Песок пылеватый плотный |
33,0 |
4,7 |
33 |
0,30 |
8 |
Супесь твердая |
60,0 |
15,3 |
27 |
0,30 |
9 |
Песок средней крупности |
30,0 |
0,1 |
33 |
0,30 |
10 |
Песок средней крупности |
25,0 |
0,01 |
28 |
0,30 |
Диаграммы на рис. 52, б показывают хорошее совпадение зависимостей «осадка–нагрузка» по результатам упругопластического расчета и статического испытания. Расчетная кривая получена плавной до конца расчета. На рис. 52, в показаны области предельного напряженного состояния при трех значениях нагрузки Р=15,0; 17,0 и 18,0 МН.
При вдавливающей силе Р=17,5 МН область предельного напряженного состояния грунта под нижним концом буронабивной сваи пересекла ось симметрии расчётной области и достигла высоты 0,9 м (0,5 диаметра сваи); расчетная осадка составила 80 мм (0,047 диаметра сваи); доля «упругой» части 30 мм (см. рисунок 52, б, линия 3) составляет 37 % от общей осадки.
Обобщение результатов расчётного моделирования статических испытаний буронабивных свай различных диаметров позволило обосновать в качестве критериев предельного сопротивления следующие показатели:
– образование на оси симметрии области предельного напряжённого состояния высотой, равной половине диаметра сечения сваи;
– осадка, равная 0,05 диаметра сваи;
– отношение пластической и упругой частей общей осадки Sпласт./Sупр.=1,5.
4. Расчёт водопропускной трубы в дорожной насыпи. На рисунке 53, а показан пример расчётной области земляного полотна автомобильной дороги с водопропускной трубой отверстием 3,89 м со стенками из гофрированной стали с расчётным сопротивлением 265 МПа. Форма гофров с размером 164×57 мм, толщиной стенки 3.5 мм показана на рис. 53, б. Диаметр трубы по средней линии гофров 3,92 м, высота насыпи 8,7 м (включая дорожную одежду). Геометрические характеристики гофров, образующих стенки трубы на рисунке 53, б: площадь сечения 44,8 см2/м, момент инерции 181,4 см4/м, момент сопротивления крайних волокон 60,0 см3/м. Расчётный удельный вес: грунта насыпи 19,5 кН/м3, грунтов основания 18,7 кН/м3. Механические характеристики грунтов приводятся в подписи к рисунку 53.
а) |
|
б) |
|
Рис. 53. Расчётная область водопропускной трубы диаметром 3,92м в насыпи высотой 8,72м на основании, сложенном полутвёрдым и мягкопластичным суглинком (а) и геометрическая схема гофров (б);
1 – труба из гофрированной стали,
2 – обойма из плотного грунта Е=30 МПа, ν=0,35, φ=330, с=1 кПа,
3 – насыпь из мелкого песка Е=15 МПа, ν=0,35, φ=330, с=1 кПа,
4 – суглинок полутвёрдый Е=13 МПа, ν=0,36, φ=190, с=21 кПа,
5 – суглинок мягкопластичный Е=6.3 МПа, ν=0,36, φ=180, с=16 кПа,
6 – временная вертикальная нагрузка с интенсивностью 38 кПа
При подготовке исходных данных и решении упругопластической задачи (программа PLAXIS 2D) использована симметрия расчётной области. Граничные условия расчётной области на рис. 53, а: на вертикальных границах запрещены горизонтальные перемещения, вертикальные перемещения не ограничиваются; на нижней границе установлены вертикальные и горизонтальные связи.
В расчёте использованы 15-узловые треугольные КЭ, распределённые по схеме на рис. 53, а. Нагрузка от веса насыпи и временная вертикальная нагрузка приложены в одну ступень.
а) |
б) |
|
|
Рис. 54. К расчёту водопропускной трубы: а – членение расчётной области
на 15-узловые треугольные конечные элементы, б – эпюра моментов в стенках трубы
Из результатов расчёта на рисунках 54, б, в показаны эпюры расчётных моментов (от 6,48 до –3,31 кНм/м) в сечениях металлической гофрированной трубы. Предельный момент 15,9 кНм/м. Уменьшение вертикального диаметра трубы составило 17,6 мм, увеличение горизонтального диаметра –22,9 мм