Дифференциальные уравнения (1500
..pdfa.a. tuganbaew
differencialxnye urawneniq
u^EBNOE POSOBIE
3-E IZDANIE, DOPOLNENNOE
mOSKWA iZDATELXSTWO "flinta"
2012
УДК 510(075.8) ББК 22.1я73
Т81
Туганбаев А.А.
Т81 Дифференциальные уравнения [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А.А. Туганбаев. – 3-е изд., доп. – М. : ФЛИН-
ТА, 2012. – 34 с.
ISBN 978-5-9765-1408-9
В книге рассмотрен следующий важный раздел математики: дифференциальные уравнения. Книга соответствует программам курсов математического анализа для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий.
Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.
УДК 510(075.8) ББК 22.1я73
ISBN 978-5-9765-1408-9 |
© Издательство «Флинта», 2012 |
|
© Туганбаев А.А., 2012 |
oGLAWLENIE
1. |
kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII |
4 |
2. |
zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI |
11 |
3. |
zADA^I |
16 |
4. |
kONTROLXNYE WOPROSY I ZADANIQ |
21 |
5. |
sPRAWO^NYJ MATERIAL |
29 |
3
4 |
dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ |
1.kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII
uRAWNENIE, W KOTOROM NEIZWESTNAQ FUNKCIQ OT ODNOJ PEREMEN- NOJ WHODIT POD ZNAK PROIZWODNOJ ILI DIFFERENCIALA, NAZYWA-
ETSQ (OBYKNOWENNYM) DIFFERENCIALXNYM URAWNENIEM ILI D.U.
(DLQ KRATKOSTI). pORQDKOM D.U. NAZYWAETSQ MAKSIMALXNYJ PO- RQDOK WHODQ]EJ W NEGO PROIZWODNOJ (ILI DIFFERENCIALA) NEIZ- WESTNOJ FUNKCII. rE[ENIEM NA INTERWALE (a b) URAWNENIQ
F(x y y0 : : : y(n)) = 0 PORQDKA n NAZYWAETSQ L@BAQ TAKAQ n RAZ
DIFFERENCIRUEMAQ NA (a b) FUNKCIQ y = y(x), ^TO
F(x y(x) y0(x) : : : y(n)(x)) = 0 DLQ WSEH x 2 (a b). gRAFIK RE-
[ENIQ y = '(x) URAWNENIQ F (x y y0 : : : y(n)) = 0 NAZYWAETSQ
INTEGRALXNOJ KRIWOJ \TOGO URAWNENIQ. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ PERWOGO PORQDKA
rASSMOTRIM URAWNENIE PERWOGO PORQDKA y0 = f(x y), RAZRE- [ENNOE OTNOSITELXNO y0, GDE x { NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ I y = y(x) { NEIZWESTNAQ FUNKCIQ. |TO URAWNENIE MOVNO ZAPISATX W DIFFERENCIALXNOJ FORME M(x y)dx + N(x y)dy = 0, OBOZNA-
^AQ f(x y) = ;M(x y) (OBE FORMY ZAPISI RAWNOPRAWNY). zA-
N(x y)
DA^EJ kO[I (ILI NA^ALXNOJ ZADA^EJ) URAWNENIQ y0 = f(x y)
NAZYWAETSQ ZADA^A POISKA TAKOGO RE[ENIQ y = y(x) \TOGO URAW- NENIQ, ^TO y(x0) = y0 (PRI \TOM TO^KA (x0 y0) NAZYWAETSQ NA-
^ALXNOJ TO^KOJ, A USLOWIE y(x0) = y0 { NA^ALXNYM USLOWIEM).
~ASTNYM RE[ENIEM URAWNENIQ y0 = f(x y) NAZYWAETSQ RE[ENIE y = y(x) ZADA^I kO[I PRI KAKOM-NIBUDX KONKRETNOM ZNA^ENII y0. ~ASTNYM INTEGRALOM URAWNENIQ y0 = f(x y) NAZYWAETSQ SO- OTNO[ENIE F (x y) = 0, KOTOROE OPREDELQET KAK NEQWNU@ FUNK- CI@ NEKOTOROE ^ASTNOE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ. oSOBYM RE[E- NIEM URAWNENIQ y0 = f(x y) NAZYWAETSQ L@BOE TAKOE EGO RE[ENIE
y= y(x), ^TO DLQ KAVDOJ TO^KI (x0 y(x0)) INTEGRALXNOJ KRIWOJ
y= y(x) SU]ESTWUET HOTQ BY E]E ODNA INTEGRALXNAQ KRIWAQ
\TOGO URAWNENIQ, KOTORAQ PROHODIT ^EREZ \TU TO^KU I NE SOWPA- DAET S INTEGRALXNOJ KRIWOJ y = y(x). oB]IM RE[ENIEM URAWNE- NIQ y0 = f(x y) W OBLASTI D NA PLOSKOSTI Oxy NAZYWAETSQ TAKAQ FUNKCIQ y = y(x C), ZAWISQ]AQ OT PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ C, ^TO PRI L@BOM DOPUSTIMOM ZNA^ENII POSTOQNNOJ C FUNKCIQ y = y(x C) QWLQETSQ RE[ENIEM NA[EGO URAWNENIQ NA NEKOTOROM
dy
INTERWALE (a b) (T.E. dx(x C) = f(x y(x C)) DLQ WSEH x 2 (a b))
kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII |
|
|
|
5 |
I DLQ L@BOJ NA^ALXNOJ TO^KI |
(x0 y0) |
2 |
D |
SU]ESTWUET TAKOE |
DOPUSTIMOE ZNA^ENIE C0 POSTOQNNOJ C, ^TO FUNKCIQ y = y(x C0) QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ y0 = f(x y) S NA^ALXNYM USLO-
WIEM y(x0) = y0. oB]IM INTEGRALOM URAWNENIQ y0 = f(x y)
W OBLASTI D NAZYWAETSQ SOOTNO[ENIE F(x y C) = 0, KOTOROE SODERVIT PROIZWOLXNU@ POSTOQNNU@ C I OPREDELQET KAK NEQW- NU@ FUNKCI@ OB]EE RE[ENIE W D URAWNENIQ y0 = f(x y).
1.1. tEOREMA SU]ESTWOWANIQ I EDINSTWENNOSTI RE[E- NIQ ZADA^I kO[I DLQ D.U. PERWOGO PORQDKA.1
pUSTX FUNKCIQ f(x y) I EE ^ASTNAQ PROIZWODNAQ fy0(x y) NE- PRERYWNY W OBLASTI D. tOGDA DLQ L@BOJ NA^ALXNOJ TO^KI (x0 y0) 2 D SU]ESTWUET TAKOJ INTERWAL (x0 ; h x0 + h), ^TO NA \TOM INTERWALE IMEETSQ ROWNO ODNO RE[ENIE y = y(x)
URAWNENIQ dydx = f(x y), UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNOMU USLOWI@ y(x0) = y0.
gEOMETRI^ESKI TEOREMA 1.1 OZNA^AET, ^TO W NEKOTOROJ OKRES- TNOSTI TO^KI (x0 y0) SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ INTEGRALXNAQ KRIWAQ URAWNENIQ
dxdy = f(x y), PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KU (x0 y0). oTMETIM, ^TO SU-
]ESTWOWANIE RE[ENIQ y = y(x) I EGO EDINSTWENNOSTX GARANTI- RU@TSQ LI[X W DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI (x0 ; h x0 + h) TO^KI x0, PRI^EM USLOWIQ TEOREMY MOGUT BYTX NE WYPOLNENY, NO TEM NE MENEE RE[ENIE SOOTWETSTWU@]EJ ZADA^I kO[I MOVET SU]ESTWOWATX.
1.2. mETOD IZOKLIN.
eSLI y = y(x) { INTEGRALXNAQ KRIWAQ URAWNENIQ
dxdy = f(x y) ( ), TO W KAVDOJ SWOEJ TO^KE (x y(x)) \TA KRIWAQ IMEET KASATELXNU@ S UGLOWYM KO\FFICIENTOM k = f(x y(x)).
zAPOLNIM |
OBLASTX |
D |
WEKTORAMI |
f1 f(x y)g: |
pOLU^ENNYJ |
|
NABOR WEKTOROW NAZYWAETSQ POLEM NAPRAWLENIJ |
URAWNENIQ ( ). |
|||||
iSPOLXZUQ |
TOLXKO |
POLE |
NAPRAWLENIJ, MOVNO |
|
PRIBLIVENNO |
WY^ERTITX NA BUMAGE INTEGRALXNYE KRIWYE URAWNENIQ ( ). w OBLASTI D SU]ESTWU@T KRIWYE , W KAVDOJ TO^KE (x y) KOTORYH WERNO RAWENSTWO f(x y) = k = const. tAKIE KRIWYE NAZYWA@TSQ IZOKLINAMI URAWNENIQ ( ). rAWENSTWO f(x y) = k NAZYWAETSQ URAWNENIEM IZOKLIN, KOTOROE POKAZYWAET, ^TO W KAVDOJ TO^KE
1tEOREMA 8.2 PRIWODITSQ BEZ DOKAZATELXSTWA.
6 |
dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ |
(x y) DANNOJ |
IZOKLINY INTEGRALXNYE KRIWYE URAWNENIQ ( ) |
IME@T ODNO I TO VE NAPRAWLENIE f1 kg = f1 f(x y)g: pOSTROIW DOSTATO^NO GUSTU@ SETKU IZOKLIN, OTWE^A@]IH RAZLI^NYM ZNA^ENIQM POSTOQNNOJ k I IZOBRAZIW NA KAVDOJ IZOKLINE
SOOTWETSTWU@]IE EJ NAPRAWLENIQ f1 kg BUDEM (DWIGAQSX OT KONKRETNOJ TO^KI (x0 y0) 2 D) PROWODITX KRIWU@, KOTORAQ PRI PERESE^ENII S IZOKLINOJ f(x y) = k KASAETSQ NAPRAWLENIQ f1 kg: pOLU^ENNAQ TAKIM OBRAZOM KRIWAQ, BUDET PRIBLIVENNYM \SKIZOM INTEGRALXNOJ KRIWOJ URAWNENIQ ( ).
1.3. uRAWNENIQ S RAZDELENNYMI PEREMENNYMI. tAKIMI URAWNENIQMI NAZYWA@TSQ D.U. f(x)dx = g(y)dy, GDE f(x) { NEPRERYWNAQ FUNKCIQ OT ODNOJ PEREMENNOJ x I g(y) { NEPRE-
RYWNAQ FUNKCIQ OT ODNOJ PEREMENNOJ y. pOSLE INTEGRIROWANIQ |
||||||
OBEIH ^ASTEJ \TOGO URAWNENIQ POLU^IM URAWNENIE |
R |
f(x)dx = |
||||
R |
g(y)dy, QWLQ@]EESQ OB]IM INTEGRALOM ISHODNOGO URAWNENIQ. |
|
||||
1.4. uRAWNENIQ S RAZDELQ@]IMISQ PEREMENNYMI. |
|
|||||
|
. |
|
. M1(x) M2(y)dx = N1(x) |
|||
tAKIMI URAWNENIQMI NAZYWA@TSQ D |
U |
|
|
|
|
N2(y)dy, GDE M1(x), N1(x) { NEPRERYWNYE FUNKCII OT ODNOJ PE- REMENNOJ x I M2(y), N2(y) { NEPRERYWNYE FUNKCII OT ODNOJ PEREMENNOJ y. rAZDELIM OBE ^ASTI NA M2(y)N1(x), PREDPOLAGAQ
|
, |
|
|
M2(y)N1(x) = 0. |
|
|
|
|
M1(x) |
dx = |
N2 |
(y) |
dy |
||
POKA |
|
^TO |
6 |
|
|
iZ URAWNENIQ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
N1(x) |
|
M2(y) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
M1(x) |
|
N2(y) |
|
|
|
|
||
POLU^IM oB]IJ INTEGRAL |
|
N1(x) dx = Z |
|
M2(y)dy URAWNENIQ |
|||||||||||
M1(x) |
|
M2 |
(y)dx = N1(x) |
|
N2 |
(y) |
|
M2(y)N1(x) = 0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
W SLU^AE |
|
|
6 |
eSLI |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VE M2( ) = 0 ILI N1( ) = 0 (GDE I { POSTOQNNYE), TO NE- POSREDSTWENNOJ PODSTANOWKOJ x = I y = W ( ) POLU^AEM, ^TO FUNKCII x = I y = QWLQ@TSQ RE[ENIQMI \TOGO URAW- NENIQ (PRI \TOM TO^KU M( ) SLEDUET ISKL@^ITX IZ PRQMYH
x = I y = TAK KAK W \TOJ TO^KE URAWNENIE M1(x) M2(y)dx = |
||||||||||
N1(x) N2(y) |
NE ZADAET NIKAKOGO NAPRAWLENIQ |
). |
rE[ENIQ |
x = |
I |
|||||
y = MOGUT BYTX OSOBYMI (\TO NUVNO PROWERITX OTDELXNO) IH |
||||||||||
NUVNO DOBAWITX K OB]EMU INTEGRALU Z |
M1(x) |
|
|
N2(y) |
|
|||||
N1(x) dx = Z |
M2(y) dy. |
|||||||||
1.5. uRAWNENIQ WIDA dy |
= f(ax + by + c), a b c |
R, b = 0. |
||||||||
|
dx |
dz |
dy |
|
dy |
12 |
dz 6 |
|
||
pOLOVIM z = ax+ by + c. tOGDA dx = a + b dx |
, dx |
= b |
|
dx ; a! |
dz
I IZ ISHODNOGO URAWNENIQ POLU^AEM URAWNENIE dx = bf(z) + a,
kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII |
7 |
KOTOROE PRI x = const \KWIWALENTNO URAWNENI@ S RAZDELQ@]I- |
|||||
6 |
|
|
|
|
|
MISQ PEREMENNYMI dz = [bf(z) + a]dx. |
|
|
|||
|
dy |
|
y |
|
|
1.6. uRAWNENIQ WIDA |
dx |
= f x . |
|
|
|
pOLOVIM u = y=x I POLU^IM y = xu, y0 = u+xu0, dxdy = u + xdxdu, |
|||||
u + xdu = F (u) I PRIHODIM K URAWNENI@ S RAZDELQ@]IMISQ PE- |
|||||
dx |
|
|
|
|
|
REMENNYMI |
|
|
|
|
|
xdu = (F(u) ; u)dx. |
dxdy = g(x y), GDE g(tx ty) = g(x y) |
||||
1.7. uRAWNENIQ WIDA |
|||||
DLQ L@BOGO DOPUSTIMOGO ^ISLA t. |
|
|
|||
|
|
|
dy |
y |
|
tAKIE URAWNENIQ SWODQTSQ K URAWNENIQM dx |
= f x IZ 1.6, POS- |
||||
KOLXKU g(x y) = g x 1 x |
xy = g 1 xy = f xy . |
|
|||
|
dy |
|
a1x + b1y + c1 |
|
|
1.8. uRAWNENIQ WIDA |
dx |
= F |
a2x + b2y + c2 !. |
|
|
|
|
a1x + b1y + c1 = 0 |
|
||
sOSTAWIM SISTEMU URAWNENIJ ( a2x + b2y + c2 = 0 |
. eSLI \TA |
SISTEMA NE IMEET RE[ENIJ, TO NAJDETSQ TAKOE ^ISLO k, ^TO
a1 |
= ka2 |
I b1 |
= kb2. w \TOM SLU^AE |
|
ISHODNOE |
URAWNENIE |
||||||||
dy |
= F |
k(a2x + b2y) + c1 |
! POSLE ZAMENY z = a2x + b2y, dz = |
|||||||||||
dx |
|
a2x + b2y + c2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
kz + c1 |
||
a2dx + b2dy PREWRA]AETSQ W URAWNENIE |
dx |
= a2 + b2F |
z + c2 ! |
|||||||||||
S RAZDELQ@]IMISQ PEREMENNYMI. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
eSLI SISTEMA |
a1x + b1y + c1 = 0 |
IMEET RE[ENIE (x0 y0), |
|||||||||||
|
|
|
|
( a2x + b2y + c2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
TO NADO SDELATX ZAMENU u = x |
|
x0, z = y |
|
y0, du |
= dx, dz = dy |
|||||||||
|
|
|
|
dz |
|
; a1u + b1z; |
|
a1 + b1 |
z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
uz |
||||||||
I PRIDTI K URAWNENI@ du |
= F |
a2u + b2z |
! = F |
a2 |
+ b2 |
!. |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
1.9. lINEJNYE D.U. PERWOGO PORQDKA.
tAKIMI URAWNENIQMI NAZYWA@TSQ URAWNENIQ y0 = p(x)y + q(x), GDE p(x) I q(x) { IZWESTNYE NEPRERYWNYE NA OTREZKE [a b] FUNK- CII. pRI q(x) 0 URAWNENIE y0 = p(x)y NAZYWAETSQ ODNORODNYM, A PRI q(x) 6 0 URAWNENIE y0 = p(x)y + q(x) NAZYWAETSQ NEODNO-
RODNYM.
oB]EE RE[ENIE URAWNENIQ y0 = p(x)y+q(x) I]ETSQ W WIDE y =
8 dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ
uv, GDE u = u(x) { NOWAQ NEIZWESTNAQ FUNKCIQ I v = v(x) { KAKOE- NIBUDX NENULEWOE ^ASTNOE RE[ENIE URAWNENIQ S RAZDELQ@]IMI- SQ PEREMENNYMI v0 = vp(x). pODSTAWLQQ y = uv I y0 = u0v + uv0 W
URAWNENIE y0 = p(x)y + q(x), POLU^IM u0v + uv0 = uvp(x) + q(x).
tAK KAK uv0 = p(x)uv, TO u0v = q(x), u0 = q(x), u = Z q(x)dx, v(x) v(x)
u = F (x) + C, GDE F (x) { KAKAQ-NIBUDX PERWOOBRAZNAQ DLQ q(x). v(x)
tOGDA y = (F (x) + C)v(x).
1.10. uRAWNENIQ bERNULLI.
tAKIMI URAWNENIQMI NAZYWA@TSQ URAWNENIQ WIDA y0 = p(x)y + q(x)yn, GDE p(x) I q(x) { IZWESTNYE NEPRERYWNYE NA [a b] FUN- KCII. uRAWNENIQ bERNULLI RE[A@TSQ IZLOVENNYM WY[E DLQ LINEJNYH URAWNENIJ METODOM PREDSTAWLENIQ FUNKCII y W WIDE y = uv.
1.11. uRAWNENIQ W POLNYH DIFFERENCIALAH.
tAKIMI URAWNENIQMI NAZYWA@TSQ URAWNENIQ WIDA M(x y)dx + N(x y)dy = 0 W SLU^AE, ESLI SU]ESTWUET TAKAQ DIFFERENCIRUE-
MAQ FUNKCIQ u(x y), ^TO du(x y) = M(x y)dx+ N(x y)dy. tOGDA u(x y) = C { OB]IJ INTEGRAL URAWNENIQ M(x y)dx+N(x y)dy = 0. eSLI FUNKCII M(x y), N(x y) I IH ^ASTNYE PROIZWODNYE My0 I Nx0 NEPRERYWNY W NEKOTOROJ ODNOSWQZNOJ OBLASTI D, TO MOVNO DOKAZATX, ^TO M(x y)dx + N(x y)dy = 0 { URAWNENIE W POLNYH DIFFERENCIALAH W TO^NOSTI TOGDA, KOGDA Nx0 = My0 DLQ WSEH (x y) 2 D (W \TOM SLU^AE FUNKCIQ u = u(x y) OPREDELQETSQ IZ URAWNENIJ u0x = M(x y) I u0y = N(x y).
1.12. uRAWNENIQ S INTEGRIRU@]IM MNOVITELEM.
tAKIMI |
URAWNENIQMI |
NAZYWA@TSQ URAWNENIQ M(x y)dx + |
N(x y)dy |
= 0, DLQ |
KOTORYH SU]ESTWUET TAKAQ FUNKCIQ |
(x y), NAZYWAEMAQ INTEGRIRU@]IM MNOVITELEM, ^TO (x y) |
||
M(x y)dx + (x y) N(x y)dy = 0 { URAWNENIE W POLNYH DIFFE- |
||
RENCIALAH. |
|
|
|
@M |
@N |
eSLI FUNKCIQ |
@y |
; @x ! =N ZAWISIT TOLXKO OT x, NEPRE- |
RYWNA I IMEET PERWOOBRAZNU@ F (x), TO W KA^ESTWE INTEGRIRU@- ]EGO MNOVITELQ MOVNO WZQTX FUNKCI@ eF (x).
eSLI VE FUNKCIQ |
@N |
; |
@M |
! =M ZAWISIT TOLXKO OT y, NE- |
@x |
@y |
kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII |
9 |
PRERYWNA I IMEET PERWOOBRAZNU@ F(y), TO W KA^ESTWE INTEGRI- RU@]EGO MNOVITELQ MOVNO WZQTX FUNKCI@ eF (y).
dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA
|
1.13. uRAWNENIQ WIDA y00 = f(x). |
|
|
|
|||
eSLI FUNKCIQ |
f(x) NEPRERYWNA NA INTERWALE |
(a b) |
|||||
I |
F1(x) |
{ |
KAKAQ-NIBUDX |
PERWOOBRAZNAQ |
DLQ |
f(x), |
|
TO |
y0 |
= |
F1(x) + C1. |
aNALOGI^NO |
POLU^AEM, |
^TO |
|
y |
= |
F2(x) |
+ C1x + C2. |
nAPRIMER, |
DLQ |
URAWNENIQ |
|
y00 |
= 6x+sin x POLU^AEM: y0 = Z (6x + sin x)dx = 3x2 ; cos x + C1, |
y = Z (3x2 ; cos x + C1)dx = x3 ; sin x + C1x + C2.
1.14. uRAWNENIQ F(x y0 y00) = 0, NE SODERVA]IE QWNO ISKOMOJ FUNKCII.
tAKIE URAWNENIQ POSLE OBOZNA^ENIQ z = y0 SWODQTSQ K URAWNE- NIQM PERWOGO PORQDKA F(x z z0) = 0.
1.15. uRAWNENIQ F(y y0 y00) = 0, NE SODERVA]IE QWNO
NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x. |
|
|
|
|
||||||
C^ITAQ |
y |
NEZAWISIMOJ |
PEREMENNOJ, WWEDEM |
FUNKCI@ |
||||||
p = p(y) = dxdy |
(GDE y = y(x)). pO TEOREME 2.1.6 O |
PROIZWOD- |
||||||||
NOJ SLOVNOJ |
FUNKCII y00 = |
d |
y0 |
= |
d |
p(y) = dydp dxdy = pdydp. |
||||
dx |
dx |
|||||||||
pO\TOMU |
URAWNENIE |
F(y y0 |
y00) = |
0 SWODITSQ K |
URAWNENI@ |
|||||
PERWOGO PORQDKA G |
y p dpdy |
! = 0 PORQDKA n ; 1 OTNOSITELXNO |
NEIZWESTNOJ FUNKCII p = p(y). eSLI BUDET NAJDENO OB]EE RE[E- NIE p = '(y C1) URAWNENIQ G y p dydp! = 0,
dy
ISHODNOGO URAWNENIQ I]ETSQ IZ URAWNENIQ dx = '(x C1).
1.16. uRAWNENIQ y00 + py0 + qy = 0, GDE p q 2 R. uRAWNENIE TAKOGO WIDA NAZYWAETSQ LINEJNYM ODNORODNYM URAW-
NENIEM (WTOROGO PORQDKA) S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI I EGO OB]EE RE[ENIE yO.O. ZAWISIT OT DWUH PROIZWOLXNYH POSTOQN- NYH C1 I C2 I IMEET WID yO.O.
I y2 IME@T RAZNYJ WID W ZAWISIMOSTI OT ZNAKA DISKRIMINAN- TA D KWADRATNOGO URAWNENIQ 2 + p + q = 0 ( ), NAZYWAEMOGO
HARAKTERISTI^ESKIM URAWNENIEM DIFFERENCIALXNOGO URAWNE-
NIQ y00 + py0 + qy = 0.
10 |
dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ |
D > 0 I ( ) IMEET DWA RAZNYH KORNQ 1 2 2 R. w \TOM SLU^AE yO.O. = C1e 1x + C2e 2x.
D = 0 I ( ) IMEET ODIN KORENX 1 = 2 2 R KRATNOSTI 2. w \TOM SLU^AE yO.O. = C1e 1x + C2xe 1x.
D < 0, ( ) NE IMEET DEJSTWITELXNYH KORNEJ, NO IMEET DWA RAZNYH KOMPLEKSNYH KORNQ 1 = a + bi I 2 = a ; bi, GDE a = ;p=2, b = qjDj=2, i { SIMWOL MNIMAQ EDINICA (i2 =
;1).
w\TOM SLU^AE yO.O. = C1eax cos bx + C2eax sin bx.
1.17.uRAWNENIQ y00 + py0 + qy = f(x), GDE p q 2 R I f(x) NEPRERYWNA.
uRAWNENIE TAKOGO WIDA NAZYWAETSQ LINEJNYM NEODNORODNYM URAWNENIEM WTOROGO PORQDKA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTA-
MI I EGO OB]EE RE[ENIE yO.N. IMEET WID yO.N. = yO.O. + y^., GDE yO.O. = C1y1 + C2y2 { RASSMOTRENNOE RANEE OB]EE RE[ENIE ODNO- RODNOGO URAWNENIQ y00+py0+qy = 0, A y^. { KAKOE-NIBUDX ^ASTNOE RE[ENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ y00 + py0 + qy = f(x). tAKIM OBRAZOM, ZADA^A POISKA OB]EGO RE[ENIQ yO.N. SWODITSQ K POISKU ODNOGO ^ASTNOGO RE[ENIQ y^. ISHODNOGO URAWNENIQ.
pRI POISKE y^. METODOM WARIACII POSTOQNNYH ISKOMOE ^AS-
TNOE RE[ENIE I]UT W WIDE y^. = C1(x)y1 + C2(x)y2, GDE y1 I y2 { IZWESTNYE FUNKCII IZ FORMULY yO.O. = C1y1 + C2y2 OB]EGO RE-
[ENIQ ODNORODNOGO URAWNENIQ y00+py0 + qy = 0, A FUNKCII C1(x)
|
( |
C0y1 |
+ C0y2 |
= |
0 |
|
I C2(x) I]UT IZ SISTEMY URAWNENIJ |
1 |
2 |
|
|
||
C0y0 |
+ C0y0 |
= |
f(x): |
|||
|
||||||
|
1 1 |
2 2 |
|
|
dOPUSTIM TEPERX, ^TO FUNKCIQ f(x) IZ PRAWOJ ^ASTI NEOD-
NORODNOGO URAWNENIQ y00 + py0 + qy = f(x) IMEET WID f(x) = e x[Pm(x) cos x + Qn(x) sin x], GDE Pm(x) I Qn(x) { MNOGO^LE-
NY STEPENEJ m I n SOOTWETSTWENNO. oPREDELIM ^ISLO k TAK, ^TO k = 0, ESLI + i NE QWLQETSQ KORNEM HARAKTERISTI^ESKOGO URAW-
NENIQ 2 + p + q = 0 ( ), I k { KRATNOSTX KORNQ + i, ESLI |
|
+ i { KORENX URAWNENIQ ( ). dALEE, PUSTX s = max(m n) I |
|
b |
b |
Ps(x), Qs(x) { PROIZWOLXNYE MNOGO^LENY STEPENI s S NEIZWEST- NYMI KO\FFICIENTAMI, KOTORYE I]UTSQ IZ RAWENSTWA, POLU^EN- NOGO PODSTANOWKOJ W NEODNORODNOE URAWNENIE y00+py0+qy = f(x)