Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (110
..pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ
ККАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ
СЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель А. А. Куликов
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2012
Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 30 апреля 2012 г., протокол № 9
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. М. А. Артемов
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 3-го курса факультета прикладной математики, информатики и механики всех форм обучения.
Для специальностей: 010501 – Прикладная математика и информатика, 010901 – Механика
2
Предисловие
В настоящем пособии рассматривается одна из наиболее сложных тем курса уравнений математической физики – классификация и приведение к каноническому виду квазилинейных уравнений с частными производными второго порядка.
Изложение материала в пособии опирается на результаты, содержащиеся в курсах математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций одной и многих комплексных переменных. В отличие от ряда общедоступных учебников по уравнениям математической физики значительное внимание в пособии уделено понятиям вещественного, а также комплексного общего интеграла обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, используемых соответственно для приведения к каноническому виду уравнений гиперболического и эллиптического типов.
Пособие предназначено для студентов 3-го курса факультета прикладной математики, информатики и механики. Оно содержит ряд упражнений и задач, решение которых позволит успешно освоить рассматриваемую тему.
§ 1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
Рассмотрим квазилинейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными x , y :
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
|||
a |
|
∂ |
+ 2a |
|
∂ |
+ a |
|
∂ |
+ B x, y, u, |
∂u , ∂u |
= 0 , |
(1.1) |
|||||||||
11 |
|
12 |
|
22 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
∂x |
|
∂x∂y |
∂ y |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x ∂y |
|
|
||||||||||
где a11 = a11 ( x, y ), a12 |
= a12 ( x, y ), a22 |
= a22 ( x,y ) и B – заданные вещест- |
венные функции, u = u( x, y ) – неизвестная функция. Функции a11 , a12 , a22
называются коэффициентами уравнения (1.1).
Мы будем предполагать, что: 1) коэффициенты a11 , a12 , a22 непрерыв-
но дифференцируемы в некоторой области Ω R2 и одновременно не обращаются в нуль ни в одной точке этой области; 2) функция B определена при ( x, y ) Ω; 3) функция u принимает вещественные значения и дважды
непрерывно дифференцируема в Ω. |
M0 = ( x0 , y0 ) Ω. Без ограничения |
|
Зафиксируем произвольную точку |
||
общности можно считать, что существует окрестность Ω0 Ω точки |
M0 , |
|
такая, что a11 ( x, y ) ≠ 0 для всех |
( x, y ) Ω0 . Действительно, |
если |
3
a11 ( x0 , y0 ) ≠ 0 , то указанная окрестность существует в силу непрерывности коэффициента a11 . Если a11 ( x0 , y0 ) = 0 , a 22 ( x0 , y0 ) ≠ 0 , то, меняя местами переменные x и y (то есть используя замену переменных x'= y , y'= x ), получим уравнение того же вида, что и (1.1), в котором коэффициент, иг-
рающий роль |
a11 , |
будет |
отличен от |
нуля. Если a11 ( x0 , y0 ) = 0 , |
a12 ( x0 , y0 ) ≠ 0, |
a22 ( x0 , y0 ) = 0 , |
то введем новые независимые переменные |
||
ξ = 1 ( x + y ), |
η = 1 |
( x − y ), |
так что |
x = ξ + η , y =ξ −η . Пусть |
2 |
2 |
|
|
|
v( ξ,η ) = u( ξ + η, ξ − η) = u( x, y ) . Используя приведенные ниже формулы (1.5) – (1.9) , легко показать, что функция v( ξ,η ) удовлетворяет уравнению
того же вида, что и (1.1), и коэффициент при производной |
|
∂2v |
отличен от |
|||||||||||||||||
|
∂ξ 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нуля в точке |
( ξ |
|
, η ), где ξ |
|
= |
1 |
( x |
|
+ y |
|
) , η |
= |
1 |
( x |
|
− y |
|
), а следователь- |
||
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|||||||||||||
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но (в силу непрерывности), и в некоторой окрестности точки ( ξ0 , η0 ).
Задание 1. Повторить теоремы о неявной функции, о разрешимости системы функциональных уравнений и о независимости функций из курса математического анализа [1, § 41, 42].
Пусть ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) – функции, дважды непрерывно дифференцируемые в некоторой окрестности G0 точки M0 и такие, что якобиан
|
D(ϕ ,ψ) |
|
∂ϕ |
∂ϕ |
|
|
|||
J( x, y ) = |
= |
∂x |
∂ y |
|
|
∂ψ |
∂ψ |
||
|
D( x, y ) |
|||
|
|
|
∂x |
∂ y |
отличен от нуля в точке M0 . Заметим, что функции ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) яв-
ляются независимыми в области G0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как функция J( x, y ) непрерывна в точке |
M0 , то она отлична от |
||||||||||||||||
нуля и в некоторой окрестности Q0 G0 |
данной точки. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
В уравнении (1.1) сделаем замену независимых переменных |
|
|
|||||||||||||||
|
|
ξ =ϕ ( x, y ), η =ψ ( x, y ). |
|
|
|
|
|
(1.2) |
|||||||||
Так как J( x0 , y0 ) ≠ 0 , |
то функции ϕ и ψ |
осуществляют взаимно од- |
|||||||||||||||
нозначное отображение некоторой окрестности Q0* |
точки M0 |
на некоторую |
|||||||||||||||
~ |
|
= ( ξ |
|
, η ) , где ξ |
= ϕ( x |
|
, y |
|
), η |
|
=ψ ( x |
|
, y |
|
). |
||
окрестность точки M |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть V0 – окрестность точки |
M0 , являющаяся подмножеством мно- |
жества Ω0 ∩Q0 ∩Q0* . Тогда при отображении (1.2) область V0 переходит в
4
~ |
точки |
~ |
, в которой существует единственная пара функ- |
|
окрестность V0 |
M0 |
|||
ций |
|
|
x = ϕ~ (ξ ,η ), y =ψ~ (ξ ,η ) , |
|
|
|
|
(1.3) |
являющаяся решением системы функциональных уравнений
ϕ( x, y ) −ξ = 0 ,
ψ( x, y ) −η = 0 .
Посмотрим, какой вид примет уравнение (1.1) в новых независимых переменных ξ , η. Для этого выразим частные производные функции u по
переменным x , y через производные этой функции по переменным ξ , η. В
дальнейшем для краткости будем наряду с обычными обозначениями использовать следующие обозначения для частных производных:
ux = ∂∂ux ,
и т. п. Пусть
uy = |
∂ u |
, uxx = |
∂ 2 u |
, ux y |
|
∂ y |
|
∂ x2 |
|
v( ξ, η) = u (ϕ~ ( ξ,η), ψ~
= |
∂ 2 u |
= |
∂ 2 u |
, uy y = |
∂2 u |
|
∂ y∂ x |
∂ x∂ y |
∂ y2 |
||||
|
|
|
( ξ,η)) = u( x, y ). |
(1.4) |
Используя правило дифференцирования сложной функции от нескольких переменных, имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux |
= vξξx |
+ vηηx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uy |
= vξξy |
+ vηηy , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.6) |
|||||||
u |
|
|
= |
|
∂ |
(v |
ξ |
|
|
+ v η |
|
) = (v |
|
ξ |
|
+ v |
|
η |
|
)ξ |
|
+ |
||||||
xx |
|
|
x |
x |
ξξ |
x |
ξη |
x |
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂ x |
|
ξ |
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ vξξxx + (vηξ ξx + vηηηx )ηx + vηηxx = |
|
|
||||||||||||||||||||||
= v |
ξξ |
ξ 2 |
+ 2v |
ξη |
ξ η |
x |
+ v |
|
η2 |
+ v |
ξ |
xx |
+ v η |
xx |
, |
|
(1.7) |
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
ηη |
x |
|
ξ |
|
|
η |
|
|
|
uxy = ∂∂y (vξξx + vηηx ) = (vξξξy + vξηηy )ξx +
+ vξξxy + (vηξ ξy + vηηηy )ηx + vηηx y =
5
|
= vξξξxξy + vξη (ξxηy + ξyηx )+ vηηηxηy + |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ vξξxy + vηηxy , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.8) |
||||||||||||
u |
yy |
= v |
ξξ |
ξ 2 + 2v |
ξη |
ξ η |
|
|
+ v |
|
|
η2 |
+ v |
ξ |
yy |
+ v η |
yy |
. |
(1.9) |
|||||||||
|
|
y |
|
|
y y |
|
|
|
ηη |
|
y |
|
|
ξ |
|
η |
|
|
||||||||||
Подставив выражения (1.3) – (1.9) в уравнение (1.1), получим уравне- |
||||||||||||||||||||||||||||
ние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A11vξξ + 2A12vξη + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 , |
|
|
|
(1.10) |
||||||||||||
|
|
|
A22vηη + B |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
11 |
= a ξ 2 |
+ 2a |
12 |
ξ |
x |
ξ |
y |
|
+ a |
|
ξ 2 |
, |
|
|
|
|
(1.11) |
||||||||
|
|
|
11 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||
A12 |
= a11ξxηx + a12 (ξxηy |
+ ξyηx )+ a22 ξyηy , |
|
|
(1.12) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
A |
22 |
= a |
11 |
η2 |
+ 2a |
12 |
η η |
y |
+ a |
22 |
η2 |
, |
|
|
|
(1.13) |
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
~
B – функция, зависящая в общем случае от ξ , η, v , vξ , vη и от частных производных до второго порядка включительно функций ξ и η по переменным x и y .
Упражнение 1. Показать, что если уравнение (1.1) линейно, то уравнение (1.10) также будет линейным.
Упражнение 2. Непосредственной проверкой убедиться, что
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D( ξ,η) 2 |
|
|
A12 |
− A11 A22 |
= |
( |
a12 |
− a11a22 |
) |
|
|
(1.14) |
|||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D( x,y ) |
|
|
Выберем функции ξ =ϕ ( x, y ) |
и η =ψ ( x, y ) так, чтобы коэффициен- |
|||||||||||||||||||
ты A11 и A22 обращались в нуль в области V0 . Тогда функции ξ и η долж- |
||||||||||||||||||||
ны удовлетворять дифференциальным уравнениям |
|
|
||||||||||||||||||
a |
ξ 2 |
+ 2a |
12 |
ξ |
x |
ξ |
y |
|
+ a |
|
ξ |
2 |
= 0 , |
|
(1.15) |
|||||
|
11 |
x |
|
|
|
|
|
|
22 |
|
y |
|
|
|
|
|||||
a |
11 |
η2 |
+ 2a |
12 |
η η |
y |
+ a |
22 |
η2 = 0 . |
|
(1.16) |
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
Уравнения (1.15) и (1.16) идентичны, поэтому в дальнейшем будем рассматривать уравнение (1.15).
Так как a11 ( x, y ) ≠ 0 при ( x, y ) V0 , то уравнение (1.15) можно записать в виде
(ξx + λ1ξy )(ξx + λ2ξy ) = 0 , ( x, y ) V0 , |
(1.17) |
где
6
λ1 |
= λ1 |
( x, y) = a12 ( x, y ) + d( x, y ) |
, |
|
|
a 11 ( x, y ) |
|
λ2 |
= λ2 |
( x, y) = a12 ( x, y ) − d( x, y ) |
, |
|
|
a 11 ( x, y ) |
|
d( x, y ) = a122 ( x, y ) − a11 ( x, y )a22 ( x, y ).
Задание 2. Повторить теорему существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка [3, § 1].
Пусть G R2 – некоторая область. Через C(G ) будем обозначать совокупность всех непрерывных в области G функций, а через C k (G ), где k =1, 2,… – совокупность всех функций, имеющих в этой области непрерывные частные производные до порядка k включительно.
Пусть μ ( x, y ) – функция класса C 1(G ) и g( x, y ) – функция класса C(G ), для которой существует производная gy ( x, y ) C (G ). Предполагается, что функции μ и g принимают вещественные значения.
Будем говорить, что соотношение μ ( x, y ) = const является общим ин-
тегралом (вещественным общим интегралом) обыкновенного дифферен-
циального уравнения
d y |
= g( x, y ) |
(1.18) |
|
d x |
|||
|
|
в области G , если для любой фиксированной точки ( x* , y* ) G найдется постоянная δ * > 0 , такая, что: 1) для любого x , удовлетворяющего условию x − x* <δ * , существует единственное решение y = f ( x,C* ) уравнения μ ( x, y ) = C* , где C* = μ( x* , y* ), причем точка ( x, y ) G ; 2) функция y = f ( x,C* ) является решением уравнения (1.18) при x − x* <δ * .
При |
|
x − x* |
<δ * выполняется равенство μ ( x, f ( x,C* ) ) = C* , и, в ча- |
|||||
стности, |
μ ( x* , f ( x * ,C* ) ) = C* . C |
другой стороны, C* = μ( x* , y* ) и, сле- |
||||||
довательно, y* = f ( x* ,C* ). |
|
|
|
|
|
|||
Пусть имеется функция y = f1 |
( x ), которая является решением уравне- |
|||||||
ния (1.18) на интервале I = {x R |
: |
|
x − x* |
|
<δ * }, причем y* = f1 ( x* ) . То- |
|||
|
|
гда, в силу теоремы единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, это решение совпадает на интервале I
с решением |
y = f ( x,C* ) , которое получается |
из |
соотношения |
μ ( x, y ) = C* . |
Поэтому соотношение μ( x, y ) = const |
дает |
все решения |
7
уравнения (1.18) в области G , чем и объясняется, что оно носит название «общий интеграл уравнения (1.18) в области G ».
Заметим, что если μ y ( x, y ) ≠ 0 в области G , то, в силу теоремы о не-
явной функции, условие 1) в определении общего интеграла будет выполнено.
Т е о р е м а. Пусть d( x, y ) ≥ 0 при ( x, y ) V0 . Тогда для того, чтобы функция ξ = ϕ ( x, y ) была решением уравнения (1.15) в области V0 , необхо-
димо и достаточно, чтобы соотношение ϕ ( x, y ) = const было общим интегралом одного из обыкновенных дифференциальных уравнений
|
d y |
= λ1 ( x, y ) |
(1.19) |
|
d x |
||
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
d y |
= λ2 ( x, y ) |
(1.20) |
|
d x |
||
|
|
|
в области V0 .
До к а з а т е л ь с т в о
Не о б х о д и м о с т ь. Предварительно отметим, что в силу условия d( x, y ) ≥ 0 функции λ1 ( x, y ) и λ2 ( x, y ) принимают вещественные значе-
ния.
Пусть функция ξ = ϕ ( x, y ) является в области V0 решением уравнения (1.15), или, что то же самое, уравнения (1.17), то есть
|
(ϕx + λ1ϕy )(ϕx + λ2ϕy ) = 0 , ( x, y ) V0 . |
(1.21) |
|
Если |
предположить, |
что в некоторой точке |
( x1 , y 1 ) V0 |
ϕ y ( x1 , y1 ) = 0 , то из (1.21) |
будет следовать, что ϕ x ( x1 , y1 ) = 0 . Но тогда |
||
якобиан |
D(ϕ , ψ) обращается в нуль в точке ( x1 , y 1 ), что противоречит |
||
|
D( x, y ) |
|
|
определению области V0 . Поэтому ϕ y ( x, y ) ≠ 0 для всех ( x, y ) V0 .
В силу (1.21) функция ϕ ( x, y ) должна удовлетворять одному из урав-
нений |
|
ϕx + λ1ϕy = 0 , ( x, y ) V0 |
(1.22) |
или |
|
ϕx + λ2ϕy = 0 , ( x, y ) V0 . |
(1.23) |
8
Предположим, что функция ϕ ( x, y ) удовлетворяет уравнению (1.22), и покажем, что в этом случае соотношение ϕ ( x, y ) = const является общим интегралом уравнения (1.19) в области V0 .
Пусть ( x* , y* ) – произвольная точка области V0 . Так как ϕ y ( x, y ) ≠ 0 для ( x, y ) V0 , то, как уже отмечалось выше, условие 1) в определении общего интеграла выполнено. Покажем, что функция y = f ( x,C* ), где C* =ϕ ( x* , y* ), удовлетворяющая уравнению ϕ ( x, y ) = C* , является решением уравнения (1.19).
Дифференцируя тождество |
|
|
|
|
|
|
ϕ ( x, f ( x,C* ) ) = C* |
|
|||||
по x , имеем: |
|
|
|
|
|
|
ϕx ( x, y ) +ϕy ( x, y ) d y |
|
|
= 0 , |
|
||
|
|
|||||
поэтому |
d x |
|
y= f ( x, C* ) |
|
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
d y |
= −ϕx ( x, y ) |
|
(1.24) |
|||
|
. |
|||||
d x |
ϕy ( x, y ) |
|
y= f ( x, C* ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Из (1.22) и (1.24) следует, что функция |
y = f ( x,C* ) является решени- |
ем уравнения (1.19), что и требовалось показать.
С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что если функция ϕ ( x, y ) удовлетворяет уравнению (1.23), то соотношение
ϕ ( x, y ) = const является общим интегралом уравнения (1.20). Таким обра-
зом, необходимость доказана.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть соотношение ϕ ( x, y ) = const является общим интегралом одного из уравнений (1.19) или (1.20), например, урав-
нения (1.19) |
в области V0 . |
Тогда для |
каждой |
фиксированной |
точки |
||||||
( x* , y* ) V |
функция y = f ( x,C* ) является решением уравнения (1.19). Из |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.19) и (1.24) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
( x, y ) |
+ λ |
|
|
|
|
= 0 . |
(1.25) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
( x,y ) |
|
|
||||
|
|
ϕy |
( x, y ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y= f ( x, C* ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая в (1.25) x = x* и учитывая, что y* = f ( x* ,C* ), получим
ϕx ( x* , y * ) + λ1( x* , y* )ϕy ( x* , y* ) = 0 .
9
Так как ( x* , y* ) – произвольная точка области V0 , то отсюда следует, что функция ξ =ϕ ( x, y ) является решением уравнения
ξx + λ1ξy = 0 ,
аследовательно, и уравнения (1.15) в области V0 .
Аналогично рассматривается и случай, когда соотношение ϕ ( x, y ) = const является общим интегралом уравнения (1.20). Теорема до-
казана.
Каждая линия из семейства линий, задаваемых общими интегралами уравнений (1.19) и (1.20), называется характеристикой уравнения (1.1). Сами уравнения (1.19) и (1.20) называются дифференциальными уравне-
ниями характеристик уравнения (1.1).
Будем говорить, что уравнение (1.1) является в точке M0 = ( x0 , y0 ) Ω
уравнением |
|
гиперболического |
|
типа, |
|
если |
||
d( x0 , y 0 ) = a122 ( x0 , y0 ) − a11 ( x0 , y 0 )a22 ( x0 , y0 ) > 0 ; |
уравнением параболиче- |
|||||||
ского типа, |
если |
d( x0 , y 0 ) = 0 ; |
уравнением |
эллиптического |
типа, |
если |
||
d( x0 , y 0 ) < 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
(1.14) |
следует, что |
уравнение |
(1.10) имеет |
в |
точке |
||
~ |
, η0 ) |
= (ϕ ( x0 , y0 ), ψ( x0 , y0 ) ) тот же тип, |
что и уравнение (1.1) в |
|||||
M0 = ( ξ0 |
точке M0 (то есть тип уравнения не меняется при преобразовании незави-
симых переменных).
Будем говорить, что уравнение (1.1) является уравнением гиперболиче-
ского (соответственно параболического или эллиптического) типа в некото-
рой области W Ω, если оно является уравнением гиперболического (соответственно параболического или эллиптического) типа в каждой точке области W .
Рассмотрим отдельно каждый из перечисленных типов уравнений. А) Уравнения гиперболического типа
Пусть уравнение (1.1) имеет гиперболический тип в некоторой области W Ω. Зафиксируем точку M0 = ( x0 , y0 ) W . Как показано ранее, без ог-
раничения общности можно считать, что a11 ( x, y ) ≠ 0 в некоторой окрест-
ности Ω0 W |
точки M0 . Так как d( x, y ) > 0 в |
области Ω0 , то |
|
λ1 ( x, y ) ≠ λ2( x, y ) для ( x, y ) Ω0 . |
|
|
|
Мы будем предполагать, что найдется такая окрестность W0 Ω0 |
точ- |
||
ки M0 , что уравнения (1.19) и (1.20) имеют в области W0 |
общие интегралы |
||
ϕ ( x, y ) = const |
и ψ ( x, y ) = const соответственно, причем функции ϕ |
и ψ |
10