Математика. Функции одной переменной. Пределы. Дифференцирование (110
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” (ФГБОУ ВПО «ВГУ»)
МАТЕМАТИКА
Функции одной переменной. Пределы. Дифференцирование
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители: Ю.Б. Савченко С.А. Ткачева
Воронеж
2012
2
Утверждено научно-методическим советом математического факультета
14 декабря 2012 года протокол № 0500-09
Рецензент: д.ф-м. н., проф. Костин В.А.
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета
Воронежского государственного университета
Рекомендуется для студентов 1 курса очной формы обучения геологического факультета, обучающихся по специальностям:
020700 – геология
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
1. Предел переменной величины.
1.1. Предел числовой последовательности.
Число a называется пределом последовательности x1 , x2 ,...,xn ,…:
lim xn a ,
n
если для любого 0 существует число N N( ) такое, что
xn a при n N .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность n называется бесконечно малой, если
lim n 0
n
Последовательность xn называется бесконечно большой, если
Для любого |
числа |
E 0 |
существует номер N |
такой, что при n N |
выполняется |
неравенство |
| xn | E . |
|
|
Теорема 1.1. |
Если xn - бесконечно большая |
последовательность, то |
|
1 |
|
, |
(xn 0) - бесконечно малая последовательность, |
|
|
|
||||
|
|||||
xn |
|
|
|
|
1 |
|
|
( n 0) |
||
бесконечно малая последовательность, то |
|
|
, |
||||
|
|
||||||
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
если n -
- бесконечно
большая последовательность.
|
|
|
|
1.2. |
|
Предел функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Число A называется пределом функции |
f (x) |
при x a , |
если для любого |
|||||||||||||||||||||||||
сколь |
угодно |
|
|
|
малого |
0 |
|
найдется |
такое |
|
|
0 , что |
при |
|||||||||||||||
0 |
|
x a |
|
|
|
f (x) A |
|
. Пишут lim |
f (x) A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x) A |
|
|
при | x | N( ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
если |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
lim f (x) означает, |
|
f (x) |
|
E |
|
0 |
|
x a |
|
(E), где E |
|||||||||||||||
Запись |
|
|
что |
|
при |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- произвольное положительное число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Односторонние пределы. |
Если |
x a и |
x a , то |
условно пишут |
|||||||||||||||||||||
x a 0 ; аналогично, если |
x a |
и |
|
|
x a , |
то |
это |
записывают |
как |
|||||||||||||||||||
x a 0. Числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (a 0) lim |
f (x) |
и f (a 0) lim f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a 0 |
|
|
|
|
|
x a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
называются соответственно пределом слева функции |
f (x) |
в точке |
a и |
|||||||||||||||||||||||||
пределом справа функции |
f (x) |
в точке a (если эти числа существуют). |
4
|
|
|
|
Для существования предела функции |
f (x) при |
|
x a |
необходимо и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
достаточно, чтобы имело место равенство |
|
f (a 0) f (a 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 1. Доказать, что |
|
|
lim |
1 |
|
0 . |
|
При каких значениях |
n N будет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
выполнено неравенство |
1 |
0,001? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Решение. Неравенство |
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
будет выполняться, когда n |
1 |
. В |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
числа |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
качестве N |
можно взять целую часть |
. Таким образом, |
для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
любого 0 |
|
можно указать N |
|
|
, такое что для всех n |
|
|
1 |
|
|
будет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
выполняться |
|
неравенство |
|
|
1 |
|
. |
Таким |
|
образом, |
|
согласно |
определению, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
последовательность |
1 |
|
|
является |
|
|
|
|
|
бесконечно малой. |
Пусть 0,001, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
неравенство |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
будет иметь |
место, когда |
n 1000 , следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
N 1000. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Пример 2. |
|
Доказать, что lim |
|
4 |
|
|
|
|
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Решение. Возьмем произвольное число 0 и составим разность |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
a 4 |
1 |
4 |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
была меньше , |
|||||||||||||||||||
Потребуем, чтобы эта разность по абсолютной величине |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.е., |
1 |
, |
|
1 |
3n . |
Логарифмируя обе части неравенства, |
получим |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lg |
|
n lg 3 , |
откуда |
|
|
. |
|
В качестве числа N можно взять меньшее из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
lg |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
двух целых чисел, между которыми заключено число |
|
. Тогда при всех |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lg 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n N |
указанное |
|
неравенство будет |
выполняться, |
|
а |
это |
|
значит, |
что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim xn lim |
4 |
|
|
|
|
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
Одновременно |
|
доказано, |
что |
lim |
1 |
|
0 , т.е. |
величина |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
есть бесконечно малая величина lim |
1 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Пример 3. |
Доказать, что lim |
3x 7 |
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
7x |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Решение. Для доказательства достаточно убедится, что разность между |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменной |
|
|
величиной y |
3x 7 |
|
|
и |
постоянной |
A |
3 |
|
при |
x есть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|||||
величина бесконечно малая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Преобразуем эту разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 7 |
|
|
3 |
|
|
3x 7 3x |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Так |
|
|
как |
величина |
1 |
|
|
при |
|
|
x является бесконечно малой, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3x 7 |
|
3 |
|
, |
где - бесконечно малая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7x |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1. |
|
Начиная с какого номера значения каждой из последовательностей: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) |
|
x |
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
2) |
y |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
3) z |
|
|
1 |
, ( n 1,2,3,...) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
становятся |
|
|
и |
|
|
остаются |
|
|
меньше |
|
0,0001? |
Показать, |
что |
каждая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последовательность имеет пределом нуль. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2. |
|
Доказать, что каждая из последовательностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
, |
z |
|
|
|
( 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
2n |
|
|
|
|
n |
|
2n |
|
n |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
имеет пределом нуль. Начиная с какого |
|
номера значения каждой из них по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
абсолютной величине остаются меньше 0,001? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3. |
|
Даны три последовательности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
3 |
|
1 |
|
; |
|
|
|
z |
|
|
7 |
( 1)n |
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
5n |
|
|
|
|
n |
|
6n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Доказать, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1) |
|
lim xn 2 ; |
|
|
|
|
2) lim yn |
3 ; |
|
3) lim zn 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4. Доказать, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1) lim |
|
4x 5 |
|
|
4 |
; |
|
|
|
|
2) lim (4x 7) 5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
5x |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3) |
|
lim (5x 8) 3 ; |
|
|
|
|
4) lim (3x2 4x 6) 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Найти |
|
|
|
односторонние |
пределы |
при |
|
x 2 |
|
слева и |
справа для |
следующих функций:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
1) |
f (x) |
8 |
; |
2) |
f (x) |
4 |
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
2 x |
(x 2)2 |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
f (x) 2 2 x ; |
4) |
f (x) arctg |
|
. |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1.3.Нахождение пределов
Практическое вычисление пределов основывается на следующих
теоремах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если существуют конечные пределы lim f (x) |
и lim g(x) , то |
||||||||||||
|
lim f (x) g(x) lim |
|
|
x a |
x a |
||||||||
1) |
f (x) lim g(x); |
|
|||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
x a |
|
|
2) |
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) ; |
|
|||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
x a |
|
|
3) |
lim |
c f (x) c lim f (x) , |
(c const ); |
|
|||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
4) |
lim f (x) n lim f (x) n , |
( n - целое число, |
n 0 ); |
||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
||
|
|
|
f (x) |
|
|
lim f (x) |
|
|
|
|
|||
5) |
lim |
|
|
x a |
|
(при lim g(x) 0 ); |
|
||||||
|
g(x) |
lim g(x) |
|
||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6) |
lim n f (x) n lim f (x) ; |
|
|
||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
7) |
lim c c |
|
(c const ) . |
|
|
||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Найти lim (3x2 2x 4) .
x 1
Так как предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов, и константу можно выносить за знак предела, то
lim (3x2 2x 4) = 3lim x2 |
2lim x lim 4= 3 ·12 +2·1-4=1. |
|||
x 1 |
|
x 1 |
x 1 |
x 1 |
Замечание 1. |
Чтобы вычислить предел многочлена |
|||
P (x) b b x b x2 ... b xn |
|
|||
n |
0 1 |
2 |
n |
|
при x a |
достаточно найти Pn (a) , например, |
lim (3x5 4x4 3x3 2x2 4) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3( 1)5 4( 1)4 3( 1)3 2( 1)2 4 3 4 3 2 4 4. |
|||||||||||||||
Пример 5. |
Найти lim |
5x2 4x 7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
|
как |
предел |
частного |
равен |
частному |
пределов, то |
||||||||
|
|
2 |
4x 7 |
|
lim (5x2 4x 7) |
|
2 |
1 7 |
|
|
|
|
|||
lim |
5x |
|
= |
x 1 |
|
= |
5 1 |
4 |
|
2 |
|
2 . |
|||
x 1 |
x2 |
2x 3 |
|
lim (x2 2x 3) |
|
12 |
2 1 2 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7
|
Замечание 2. Если P(x) |
|
|
|
и Q(x) |
- |
целые многочлены и |
P(a) 0 |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Q(a) 0 , |
|
то |
|
предел |
|
|
|
рациональной |
|
|
дроби |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
P(x) |
|
находится |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|||||
непосредственно, |
т.е. lim |
|
P(x) |
|
P(a) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
Q(x) |
|
Q(a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Если же |
|
|
P(a) Q(a) 0 |
, то дробь |
|
|
|
|
|
P(x) |
|
|
|
|
рекомендуется сократить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
один или несколько раз на x a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
lim |
|
x2 4 |
|
lim |
|
|
(x 2)(x 2) |
|
lim |
|
|
x 2 |
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2)(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 x2 3x |
2 |
|
x 2 |
|
|
|
|
x 2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Замечание 3. При отыскании предела отношения многочленов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
относительно x , |
|
при |
x оба члена отношения разделим на |
xn , где |
n - |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наивысшая степень этих многочленов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a x a |
|
|
x2 |
|
|
|
... a |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
lim R(x) |
a |
0 |
2 |
|
|
n |
|
a |
n |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b0 b1x b2 x |
2 |
bm x |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Предел частного |
|
двух |
|
|
многочленов |
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
x равен |
отношению |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициентов при старших членах, |
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
степени числителя |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знаменателя равны; |
предел этот равен |
|
|
0 |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
, |
|
если степень числителя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответственно меньше или больше степени знаменателя. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 7. |
|
Найти |
|
lim |
2x 3 (3x 5)(4x 6) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3x3 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2x 3 (3x 5)(4x 6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(3 |
|
|
|
|
)(4 |
|
|
|
) |
|
|
|
|
2 3 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
8 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3x3 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Выражения, использующие иррациональности, приводятся к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рациональному виду путем введения новой переменной |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Пример 8. |
|
|
Найти |
|
|
|
lim |
|
|
|
1 x |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 3 |
|
1 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Решение. Полагая |
|
|
1 x y6 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
y 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
1 x 1 |
= lim |
y |
lim |
|
= |
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 1 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
y 1 |
y |
1 |
|
|
|
yx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 9. |
Найти |
|
|
lim |
|
|
sin 2 x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
cos3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
Разлагая числитель и знаменатель на множители, сокращая |
|||||||||||||||||||||||||
на множитель 1 cosx 0 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
sin 2 |
x |
|
lim |
1 cos2 |
x |
lim |
|
(1 cos x)(1 cos x) |
|
|
||||||||||||||
|
cos3 |
|
|
|
cos3 |
|
|
|
cos x)(1 cos x cos2 |
|
||||||||||||||||
x 1 |
x |
x |
1 |
x |
x (1 |
x) |
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
1 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
1 ( 1) |
|
|
2 |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) ( 1)2 |
|
|
|
||||||||||||||
x 1 cos x cos2 |
x |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример 10. |
|
Найти |
lim |
|
1 3 5 ... (2n 1) |
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 2 3 ... n |
|
|
Решение. Числитель и знаменатель дроби являются суммой n членов соответствующих арифметических прогрессий. Находя эти суммы, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (2n 1) |
n |
|
|
|
||||
|
|
1 3 5 ... (2n 1) |
|
|
2 |
|
1 (2n 1) |
|
|
|||||||||||||
lim |
lim |
|
|
lim |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|||||||||||
x |
1 2 3 ... n |
|
|
x |
|
1 n |
n |
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
2n |
2 lim |
1 |
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x n 1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеют место два замечательных предела |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1) |
lim |
sin |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 8 ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
|
e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 9 ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При нахождении пределов вида |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
( x) |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 10 ) |
|||||
lim (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следует иметь в виду, что:
1) если существуют конечные пределы lim (x) A и
x a
2) lim (x) B ,
x a
то C AB ; |
|
|
|
|
|
(11) |
3) если lim (x) |
A 1 и |
lim (x) , то вопрос о нахождении |
||||
x a |
|
x a |
|
|
|
|
предела (10) решается непосредственно; |
|
|
||||
4) если lim (x) |
1 и lim (x) |
, то полагают |
(x) 1 (x), |
|||
x a |
x a |
|
|
|
|
|
где (x) 0 при x a и, следовательно, |
|
|
||||
|
( x) ( x) |
|
lim ( x) ( x) |
lim ( x) 1 ( x) |
||
C lim 1 (x) 1 ( x) |
|
ex a |
ex a |
. |
||
x a |
|
|
|
|
|
|
9
Пример 11. |
|
Найти |
|
|
|
lim |
sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Положим |
|
x , откуда |
x |
. Если |
x 0 , |
то и 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому lim |
sin x |
lim |
sin |
|
a lim |
|
|
sin |
a 1 a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 12. |
|
|
Найти |
lim |
sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 sin bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. |
|
Разделив числитель и знаменатель на |
x , |
(см. |
|
пример 11) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
lim |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
lim |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x 0 sin bx |
|
|
|
x 0 sin bx |
|
|
|
lim |
|
sin bx |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 13. |
|
|
Найти |
lim 1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
При |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
выражение |
|
1 |
|
|
1, |
|
|
|
получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
неопределенность 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Введем новую переменную по формуле |
|
k |
|
, откуда |
|
x |
k |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если x , то 0 , поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim 1 |
|
|
|
lim 1 |
|
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пользуясь свойством (4) и формулой (9), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
x |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
3 |
|
|||||||||||
Следовательно, lim 1 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
. |
|
|
В частности, при k 3 , lim 1 |
|
|
|
e |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
e 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
при k 2 получаем lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 14. |
|
|
Найти |
lim |
ln(1 x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 x) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
Так как |
|
|
|
ln(1 x) ln(1 x) x |
, |
|
то на основании |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулы (9) находим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 x) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
lim ln(1 |
x) x |
ln lim (1 |
x) x |
ln e 1. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x 0 |
x |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 14. |
|
Найти |
lim |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Это предел вида (10), где (x) |
sin 3x |
, |
(x) x 2 . Так как |
|||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(см. пример |
11), |
|
lim |
|
|
|
|
3, |
и lim (x 2) 2 , |
то в соответствии с |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
||||||||||
формулой (11) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
sin 3x x 2 |
3 |
2 |
9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные примеры
Найти пределы:
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 4x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1. |
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2. lim 1 |
3x x |
|
|
3. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
lim x ln(1 x) ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x n x |
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. lim xsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x x m |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9. lim |
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
10. lim |
sin ax |
|
|
|
|
|
|
11. lim |
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
tgbx |
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
3 x |
|
|
|
|
|
sin( x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
1 cos x tg 2 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
13. lim |
|
14. lim |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
xsin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
x2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
16. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
18. |
lim cos x |
|
|
|
19. lim cos x |
|
|
|
|
|
|
|
20. lim 1 sin x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ctg |
x |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
lim sin x tg |
2 |
x |
22. lim 1 tg 2 x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
21. |
|
|
|
|
|
23. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x 9 3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|