7a(2v/+a)
d = 2,S(a,t) = 2	$	[ v /+ a /2 - x 2/(2a)lctc=
	о	J

=^(2v/+a)^a(2vt+aj,

2 K	-Ja(2vl+a)
d =3, F(a,/) = J</<p J		[v/+a / 2 - Г2 /(2a)lrdr =
o	o	J

(6.103)

=^ a(2v/+ a)2,

ивыделим из этих соотношений геометрический фактор 6у(а, f ) , соответствующий такой форме дендрита:

ч - з .

№ , ( * . » ■

<6ЛМ)

Заметим, что Gy(a, f ) зависит от времени. Это объясняется

тем, что рост дендритных ветвей происходит не из-за их равномер­ ного растяжения (преобразования подобия), а за счет перемеще­ ния параболы как жесткого целого со скоростью v; при этом свой­ ство самоподобности сохраняется.

Результаты применения модели случайных фракталов

Проанализируем результаты применения предложенной моде­ ли для двумерной задачи. Форма дендритных ветвей задается па­ раболами. Вычислим площадь, занимаемую дендритной частицей в единичном квадрате. Пока не будем рассматривать рост дендри­ та. Полученные результаты сравним с экспериментальными дан­ ными, определенными посредством обработки снимка дендритной частицы (рис. 6.38) с помощью пакета «Image Tool». По снимку оп­ ределялись площадь, занимаемая дендритной частицей в квадра-

Рис. 6.38. Структура дендритного кристалла в разрезе. Дендрит извлечен из усадочной раковины крупной отливки 1110]

те, длины ветвей нулевого, первого и второго порядков, число вет­ вей следующего порядка на каждой ветви. Были определены ин­ тервалы значений названных величин (табл. 6.1). Предполагалось, что величины р и к распределены равномерно. Заметим, что для

приведенных значений выполняется соотношение р/{к?} <1. Вычисления проводились для нескольких реализаций случай­

ных величин. По заданным распределениям для величин р и к с помощью генератора случайных чисел составлялись выборки, со­ держащие по 100 элементов. Затем по выборке определялись сред­ нее значение М( ) и среднее квадратичное отклонение а (•), кото­ рые и подставлялись в соотношения (6.94), (6.99) для нахождения занимаемой площади и фрактальной размерности.

Приведем результаты вычислений для пяти реализаций слу­ чайных величин. В табл. 6.2 даны параметры модели, средние зна-

Таблица 6.1

Интервалы значений параметров дендритной структуры

р	к	k	5
19-40	2 -1 0	1	0,47±0,03

Д(19; 40)

Ж 2; 10)

-

-

Параметры структуры и результаты вычислений для сформировавшегося дендрита

№ п/п	М(р)	а(р)	М ( к )	<т(Аг)	а	v t	S	h
1	29,716	6,433	5,601	2,278			0,464	1,825
2	29,680	6,417	5,458	2,414			0,424	1,781
3	29,607	6,192	5,769	2,475	0,005	1	0,384	1,771
4	29,353	6,450	5,694	2,130			0,464	1,812
5	30,014	6,047	5,367	2,504			0,402	1,780
Среднее							0,4276	1,794

чения, стандартные отклонения величин р и к; величины площа­ ди и фрактальной размерности, вычисленные согласно предложен­ ной модели. Как видно из таблицы, площадь, занимаемая дендри­ том, и его фрактальная размерность меняются при различных ре­ ализациях случайных величин, однако разброс остается в пределах реальных значений и достаточно близок к замеренным по фото­ графии.

На рис. 6.39 показано, как изменяется величина Sj в зависи­ мости от числа поколений фрактала. Для каждого п определялись средние значения и стандартные отклонения величин по соответ­ ствующим выборкам, по которым и определялись площадь и раз­ мерность. Из рисунка можно заметить, что после достижения п = 25 дальнейшее увеличение числа поколений фрактала не при­ водит к заметному изменению площади (эти установившиеся зна­ чения и приведены в табл. 6.2). Очевидно, именно эту величи-

П

Рис. 6.39. Зависимость площади

от числа уровней самоподобия

ну и нужно принимать за площадь, занимаемую фрактальной ча­ стицей.

Заметим, что относительную площадь, занимаемую дендрит­ ной частицей, можно рассматривать как долю твердой фазы для плоской задачи кристаллизации, и предложенная модель дает удов­ летворительную оценку этой величины.

Проведем расчет изменения площади, занимаемой дендритом, и его фрактальной размерности со временем. Для этого длина оси нулевого порядка и параметры равномерного распределения R (а; Ь) числа дендритных ветвей задавались в виде линейных фун­ кций времени, а расстояние между вторичными ветвями —неко­ торой постоянной величиной */п. В табл. 6.3 даны вид этих функ­ ций, значения параметров, используемых в расчетах, а также зна­ чения площади и размерности в момент /= 1. Затем на каждом шаге по времени генерировалась выборка случайных чисел для ко­ личества дендритных ветвей с текущими параметрами распределе­ ния, определялись ее среднее значение и стандартное отклонение и по соотношениям (6.94), (6.99) вычислялись площадь и фрак­ тальная размерность.

Таблица 6.3 Параметры структуры и результаты вычислений для растущего дендрита

А)	du	а	Ъ	V	4)	5	D f
0,1+vf	0,025	0,3 { Ш и )	/(Mi	1	0,01	0,431	1,752

На рис. 6.40 и 6.41 приведены зависимости соответственно площади и фрактальной размерности растущего дендрита от вре­ мени.

Можно показать, что форма элементарных фрагментов фрак­ тала, то есть те фигуры, которые аппроксимируют форму дендрит­ ных ветвей, несущественно сказываются на результатах вычисле­ ний. Для примера сравним значения, полученные для формы вет­ вей, ограниченной параболой, равнобедренным треугольником и половиной эллипса. В табл. 6.4 приведены уравнения кривых, пло­ щади и геометрические факторы фигур, ограниченных соответству­ ющими кривыми и прямой z = 0.

Параметры выбирались таким образом, чтобы совпадали точки пересечения этих кривых и координатных осей: меньшая полуось

/

25 50 75 100 125 150 1755

Рис. 6.40. Зависимость площади

растущего дендрита от времени

1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0	25	50	75	100	125 150175 Df

Рис. 6.41. Зависимость фрактальной размерности

растущего дендрита от времени

						Таблица 6.4
Параметры кривых, аппроксимирующих дендритные ветви
Тип	Уравнение кривой				Площадь	Геометрический
фигуры						фактор Gf(сЦ)
Пара­	z = vt + a / 2 - x 2/( 2а)				■|(2v/ + a)yja(2vt + a)	8>/a
бола						3y/2vt+a
Треу-	2v*+a		^	' , JC>0
						2j a
Г О Л Ь -	(i-
Н И К	2				(2vt + a)Ja(2vt + a)	y/2vt+a
	Z='
	2w+a			, x<0
	2	yjaQtf+d)
Эллипс	2vf+ a	1	x 2		^(2v/+ a)yja(2vt + a)	ny/a
			x
	*" 2	i	a(2vf +a)			y/2 vt +a

	эллипса равна yja(2vt + а) , большая
	полуось —/0; основание равнобед­
	ренного треугольника равно 2, вы­
	сота равна 10 (как показано на рис.
	6.42). Сплошная линия соответству­
	ет параболе, штриховая —верхней
	половине эллипса, штрихпунктир-
	ная —равнобедренному треуголь­
	нику. В этом случае характерная
	длина	по-прежнему имеет	вид
	IQ =(2vt + a)/2.
	По	сути, независимость	от
	типа фигуры элементарного фраг­
	мента	фрактала заложена изна­
Рис. 6.42. Кривые, аппроксими­	чально	в соотношениях (6.94) и
рующие форму дендритной ветви	(6.96). Площади дендритных час­

тиц будут отличаться лишь на кон­ станту, а размерность вообще не изменится. Сказанное подтверж­ дают результаты расчетов, приведенные в табл. 6.5.

		Таблица 6.5
	Сравнение результатов для
	разных типов фигур
	Тип	S
	фигуры		D f
	Парабола	0,465	1,812
	Треугольник	0,349
	Эллипс	0,548

Как и следовало ожидать, наибольшую площадь занимает ден­ дритная частица, ветви которой аппроксимируются половиной эл­ липса, наименьшую —частица с ветвями, аппроксимируемыми равнобедренными треугольниками.